Mechanik-Labor — studyra

Gleichförmige und beschleunigte Bewegung

Ablauf

Tempo

Um 0,04 s weiter

Zwei Wagen auf parallelen Bahnen. Die Marken darunter zeigen ihren Ort nach jeder vollen Sekunde.

Zeit: wie in Wirklichkeit

Geschwindigkeit
Beschleunigung
Körper nicht maßstäblich, Wege und Bahnen maßstäblich

Ort–Zeit

Wagen A
Wagen B

Die gestrichelte Tangente an Wagen A: Ihre Steigung ist die momentane Geschwindigkeit.

Geschwindigkeit–Zeit

Wagen A
Wagen B

Die getönte Fläche unter der Kurve von A ist der Weg, den A bisher zurückgelegt hat. Die Steigung ist die Beschleunigung.

Beschleunigung–Zeit

Wagen A
Wagen B

Die Fläche unter der a–t-Kurve ist die Geschwindigkeitsänderung seit dem Start.

Rechnung

Gleichförmige Bewegung

\displaystyle x(t) = x_0 + v \cdot t

Wagen B fährt so: Er hat $x_{0,B} = 10\,\mathrm{m}$ Vorsprung und fährt gleichförmig mit $v_B = 4{,}0\,\mathrm{m/s}$ . Nach $t = 5\,\mathrm{s}$ ist er also bei

\displaystyle x_B(5\,\mathrm{s}) = 10\,\mathrm{m} + 4{,}0\,\mathrm{m/s} \cdot 5\,\mathrm{s} = 30{,}0\,\mathrm{m}

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

\displaystyle v(t) = v_0 + a \cdot t

\displaystyle x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \tfrac{1}{2}\,a \cdot t^2

Für Wagen A mit $v_{0,A} = 0{,}0\,\mathrm{m/s}$ und $a_A = 1{,}0\,\mathrm{m/s^2}$ gilt zum Beispiel nach $t = 4\,\mathrm{s}$ :

\displaystyle v_A = 0{,}0 + 1{,}0 \cdot 4 = 4{,}0\,\mathrm{m/s}, \qquad x_A = 0{,}0 \cdot 4 + \tfrac12 \cdot 1{,}0 \cdot 4^2 = 8{,}0\,\mathrm{m}

Treffpunkt

Am Treffpunkt sind beide Wagen zur selben Zeit am selben Ort. Man setzt deshalb die beiden Ort-Zeit-Gesetze gleich:

\displaystyle v_{0,A}\,t + \tfrac12 a_A t^2 = x_{0,B} + v_{0,B}\,t + \tfrac12 a_B t^2

Bringt man alles auf eine Seite, entsteht eine quadratische Gleichung. Mit den eingestellten Werten:

\displaystyle \tfrac12 (a_A - a_B)\,t^2 + (v_{0,A} - v_{0,B})\,t - x_{0,B} = 0 \quad\Rightarrow\quad 0{,}50\,t^2 - 4{,}0\,t - 10 = 0

Eine Gleichung der Form $A t^2 + B t + C = 0$ löst die Mitternachtsformel $t = \dfrac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ . Hier ist $A = 0{,}50$ , $B = -4{,}0$ und $C = -10$ . Nur eine positive Zeit ist sinnvoll, denn negative Zeiten lägen vor dem Start.

\displaystyle t = \frac{4{,}0 \pm \sqrt{16{,}00 + 20{,}00}}{1{,}00} = \frac{4{,}0 \pm 6{,}000}{1{,}00} \quad\Rightarrow\quad t = 10{,}00\,\mathrm{s}

Am Treffpunkt ist Wagen A also nach $t = 10{,}00\,\mathrm{s}$ bei

\displaystyle x_A = 0{,}0 \cdot 10{,}00 + \tfrac12 \cdot 1{,}0 \cdot 10{,}00^2 = 50{,}0\,\mathrm{m}

Das ist der Schnittpunkt der beiden Kurven im Ort–Zeit-Diagramm, markiert als Treffpunkt.

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