Biologie

Populationsdynamik

Logistisches Wachstum

Ablauf

Die Werte der Beispiele sind gewählt, nicht gemessen: Sie zeigen das typische Bild des Modells.

Zeitverlauf

05101520253035400100200300400500IndividuenZeit in TagenKN

Wachstum je nach Populationsgröße

050100150200250300350400450500010203040Wachstum in Individuen pro TagPopulationsgröße N in Individuen
  • N: Wasserflöhe
  • dünn: der ganze Lauf nach dem Modell
  • angezeigter Zeitpunkt
  • K: Kapazitätsgrenze
  • größtes Wachstum bei K/2

Regler

0,30 pro Tag
500 Individuen
10 Individuen

Messwerte

Zeit
0,0 Tage
Populationsgröße N
10,0 Individuen
Wachstum jetzt
2,94 Individuen pro Tag
Kapazitätsgrenze K
500 Individuen
Auslastung N/K
2 %
Größtes Wachstum
37,5 Individuen pro Tag

Rechnung

Gleichung
dNdt=r⋅N⋅(1−NK)\displaystyle \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = r \cdot N \cdot \left(1 - \frac{N}{K}\right)
dNdt=0,30⋅N⋅(1−N500)\displaystyle \phantom{\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}} = 0{,}30 \cdot N \cdot \left(1 - \frac{N}{500}\right)
Je näher N an der Kapazitätsgrenze K liegt, desto kleiner ist der Faktor in der Klammer. Bei N = K ist das Wachstum null, darüber negativ.
Lösung
N(t)=K1+K−N0N0⋅e−r⋅t\displaystyle N(t) = \frac{K}{1 + \frac{K - N_0}{N_0} \cdot e^{-r \cdot t}}
N(t)=5001+49⋅e−0,30⋅t\displaystyle \phantom{N(t)} = \frac{500}{1 + 49 \cdot e^{-0{,}30 \cdot t}}
Am Ende des Laufs, nach 40 Tagen: N = 500.
Größtes Wachstum
N=K2=250:dNdt=r⋅K4=37,5\displaystyle N = \frac{K}{2} = 250: \quad \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = \frac{r \cdot K}{4} = 37{,}5
Dort ist die Kurve am steilsten (Wendepunkt), in diesem Lauf nach 13,0 Tagen.
Gleichgewicht
N=K=500\displaystyle N = K = 500
Stabil: Jede Population über null läuft auf K zu. Auch N = 0 ändert sich nicht, doch schon wenige Individuen wachsen von dort weg.

Logistisches Wachstum: am Ende des Laufs 500 Individuen.

Wertetabelle des Laufs
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