Lektion 2.3

Die Implikation – Wenn...Dann

15 min Lesezeit

Die Implikation ist die vielleicht wichtigste Verknüpfung in der Logik. Sie drückt eine "Wenn...dann"-Beziehung aus:

"Wenn es regnet, dann ist die Straße nass."

In der Mathematik sind fast alle Sätze Implikationen:

  • "Wenn n gerade ist, dann ist n² gerade."
  • "Wenn eine Funktion differenzierbar ist, dann ist sie stetig."

Um die Implikation zu verstehen, müssen wir genau klären, wann sie wahr und wann sie falsch ist.

Definition

Implikation

Die Implikation A→BA \rightarrow B ("Wenn A, dann B") ist definiert als:

ABA→BA \rightarrow B
WWW
WFF
FWW
FFW

Die Implikation ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.

In Worten: Ein "Wenn...dann"-Satz ist nur dann falsch, wenn die Bedingung erfüllt ist, aber die Folgerung nicht eintritt.

A→B"Wenn A, dann B"A \rightarrow B \quad \text{"Wenn A, dann B"}
Beispiel

Implikationen in der Mathematik

Satz: "Wenn n durch 4 teilbar ist, dann ist n durch 2 teilbar."

Prüfen wir verschiedene Fälle:

  • n = 8: Durch 4 teilbar ✓, durch 2 teilbar ✓ → Implikation wahr
  • n = 6: Nicht durch 4 teilbar, aber durch 2 teilbar → Implikation wahr (Bedingung nicht erfüllt)
  • n = 7: Nicht durch 4 teilbar, nicht durch 2 teilbar → Implikation wahr (Bedingung nicht erfüllt)
  • n = ?: Durch 4 teilbar, aber nicht durch 2 teilbar → Gibt es nicht! Deshalb ist die Aussage immer wahr.
Definition

Äquivalenz

Die Äquivalenz A↔BA \leftrightarrow B ("A genau dann, wenn B") ist wahr, wenn beide Aussagen denselben Wahrheitswert haben.

ABA↔BA \leftrightarrow B
WWW
WFF
FWF
FFW

Die Äquivalenz bedeutet: (A→B)(A \rightarrow B) und (B→A)(B \rightarrow A)

A↔B"A genau dann, wenn B"A \leftrightarrow B \quad \text{"A genau dann, wenn B"}

Zusammenfassung

  • A→BA \rightarrow B ist nur falsch, wenn A wahr und B falsch ist

  • Wenn die Bedingung A falsch ist, ist die Implikation automatisch wahr

  • A↔BA \leftrightarrow B ist wahr, wenn A und B denselben Wahrheitswert haben

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Sei A wahr und B falsch. Was ist der Wahrheitswert von A→BA \rightarrow B?