Fast alle heutigen Computer folgen dem Von-Neumann-Modell (nach John von Neumann, 1940er Jahre). Seine wichtigste Idee: Programm und Daten stehen im selben Speicher, beide als Bitmuster. Das Modell hat vier Teile:

• Das Rechenwerk führt Rechnungen und logische Verknüpfungen aus.
• Das Steuerwerk liest die Befehle und steuert den Ablauf.
• Der Arbeitsspeicher besteht aus nummerierten Zellen. Die Nummer einer Zelle ist ihre Adresse. Er verliert beim Ausschalten seinen Inhalt.
• Die Ein- und Ausgabe verbindet den Rechner mit der Außenwelt, etwa Tastatur und Bildschirm.

Rechenwerk und Steuerwerk bilden zusammen den Prozessor. Im Prozessor liegen Register: wenige, sehr schnelle Speicherplätze. Zwei sind wichtig: Der Befehlszähler enthält die Adresse des nächsten Befehls. Der Akkumulator hält das Zwischenergebnis einer Rechnung. Daten und Befehle laufen über Leitungen, den Bus, zwischen Prozessor und Arbeitsspeicher.

Der Prozessor arbeitet ein Programm im Befehlszyklus ab. Er wiederholt drei Schritte:

• Holen: Das Steuerwerk liest den Befehl aus der Zelle, auf die der Befehlszähler zeigt, und erhöht den Befehlszähler um 1.
• Dekodieren: Es stellt fest, welche Operation der Befehl verlangt und mit welcher Adresse.
• Ausführen: Das Rechenwerk führt die Operation aus. Dann beginnt der Zyklus von vorn.

Ein Sprungbefehl setzt den Befehlszähler auf eine andere Adresse, so entstehen Verzweigungen und Schleifen. Echte Befehle sind Bitmuster. Hier benutzen wir einen Mini-Prozessor mit vier Befehlen, die wir lesbar schreiben: LADE a kopiert die Zelle a in den Akkumulator, ADDIERE a addiert die Zelle a zum Akkumulator, SPEICHERE a schreibt den Akkumulator in die Zelle a, HALT hält an.

Im Rechner steht jedes Bit für eine elektrische Spannung: hoch bedeutet 1, niedrig bedeutet 0. Weil nur zwei Zustände unterschieden werden, stören kleine Schwankungen nicht. Logische Verknüpfungen machen aus Bits ein neues Bit. Eine Wahrheitstafel listet für jede Eingabe das Ergebnis auf. Es gibt drei Grundverknüpfungen:

• UND ($A \land B$) ist 1, wenn beide Eingaben 1 sind.
• ODER ($A \lor B$) ist 1, wenn mindestens eine Eingabe 1 ist.
• NICHT ($\lnot A$) kehrt die Eingabe um.

Bei n Eingaben hat die Tafel $2^n$ Zeilen, denn jedes Bit hat zwei Werte.

Ein Gatter ist ein Baustein, der eine Verknüpfung ausführt. Es besteht aus Transistoren, das sind winzige elektrisch gesteuerte Schalter. Es gibt UND-, ODER- und NICHT-Gatter. Verbindest du mehrere Gatter so, dass die Signale nur von den Eingängen zu den Ausgängen laufen und nirgends zurück, entsteht ein Schaltnetz. Sein Ausgang hängt nur von den Eingaben ab, es speichert nichts. Die Wahrheitstafel eines Schaltnetzes rechnest du Gatter für Gatter aus.

Wie addiert man zwei Bits? Schreibe alle Fälle auf: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1 und 1 + 1 = 10. Das Ergebnis hat bis zu zwei Stellen: die Summenstelle S und den Übertrag C (englisch carry). Die Tafel zeigt: S ist das XOR der Eingaben, C ist ihr UND. Ein Halbaddierer ist ein Schaltnetz aus einem XOR-Gatter und einem UND-Gatter.

Er heißt „halb“, weil er einen Übertrag aus der Stelle davor nicht mitrechnet.

Ab der zweiten Stelle einer Binärzahl kann von rechts ein Übertrag ankommen. Dann müssen drei Bits addiert werden: A, B und der Übertrag Ci (carry in) von der Stelle davor. Das leistet der Volladdierer. Er besteht aus zwei Halbaddierern und einem ODER-Gatter. Der erste addiert A und B, der zweite addiert dessen Summe und Ci. Das ODER vereint die beiden Überträge zum Übertrag-Ausgang Co. Die Summe aus drei Bits ist höchstens 3, binär 11, und passt in die zwei Ausgänge Co und S.

Reihst du Volladdierer hintereinander, geht Co jeder Stelle in Ci der nächsten. So addieren n Volladdierer zwei n-stellige Binärzahlen, wie du es schriftlich von rechts nach links tust. Die niedrigste Stelle hat keinen Übertrag von rechts, dort genügt Ci = 0.

Ein Register hat eine feste Zahl von Bit. Mit n Bit lassen sich ohne Vorzeichen nur die Zahlen von 0 bis $2^n - 1$ darstellen, bei 8 Bit also 0 bis 255. Ist das Ergebnis einer Addition größer, entsteht an der höchsten Stelle ein Übertrag, für den kein Platz ist. Er geht verloren, das Ergebnis ist falsch. Das heißt Überlauf. Beispiel mit 4 Bit: 9 + 8 = 17, binär 1001 + 1000 = 10001. In 4 Bit bleibt 0001, also 1.

Auch bei Brüchen gibt es Grenzen: Die Zahl 0,1 lässt sich im Zweiersystem nicht mit endlich vielen Stellen schreiben (0,000110011...), so wie ein Drittel im Dezimalsystem nicht endet. Ein Rechner rundet und rechnet deshalb mit kleinen Abweichungen.