In einem ebenen System liegen Bauteil und alle Kräfte in einer Ebene. Ein starrer Körper hat dort drei Freiheitsgrade: waagerecht verschieben, senkrecht verschieben, drehen. Lager sperren Freiheitsgrade und üben dafür Kräfte aus, die Lagerreaktionen. Die Wertigkeit nennt, wie viele Freiheitsgrade ein Lager sperrt.

Ein Gelenk verbindet zwei Körper. Es überträgt Kräfte, aber kein Drehmoment, denn die Körper dürfen sich gegeneinander verdrehen. Seine Wertigkeit ist 2.

Ein System ist statisch bestimmt, wenn die Lager genau so viele Freiheitsgrade sperren, wie nötig sind, um es festzuhalten. Besteht es aus $n$ starren Körpern, haben sie zusammen $3n$ Freiheitsgrade. Die Summe der Wertigkeiten aller Lager und Gelenke sei $r$. Aus beiden bildet man die Kennzahl $f$ (Formel darunter). Bei $f = 0$ ist das System statisch bestimmt, bei $f < 0$ statisch unbestimmt (mehr Lagerreaktionen, als sich ohne Verformungsrechnung bestimmen lassen), bei $f > 0$ beweglich. $f = 0$ ist nur notwendig: Drei parallele Loslager halten einen Balken nicht waagerecht fest.

Im Zugversuch spannt man einen Stab mit Querschnittsfläche $A_0$ und Anfangslänge $L_0$ in eine Prüfmaschine und steigert die Kraft $F$. Gemessen werden $F$ und die Verlängerung $\Delta L$. Daraus entstehen zwei Größen, die nicht von der Stabgröße abhängen: die Spannung $\sigma = F / A_0$ in N/mm² und die Dehnung $\varepsilon = \Delta L / L_0$ (ohne Einheit). Anfangs sind beide proportional. Dieses Hooke'sche Gesetz gilt mit dem Elastizitätsmodul $E$, einer Werkstoffkonstante in N/mm²:

Trägt man $\sigma$ über $\varepsilon$ auf, entsteht das Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Seine Anfangssteigung ist der E-Modul, ein Maß für die Steifigkeit: Stahl etwa 210000 N/mm², Aluminium etwa 70000 N/mm², Fichtenholz in Faserrichtung etwa 11000 N/mm². Bei Baustahl hat die Kurve diese Abschnitte:

• Elastischer Bereich: eine Gerade. Nach dem Entlasten geht die Dehnung auf null zurück.
• Streckgrenze $R_e$: Der Stahl beginnt zu fließen, die Dehnung wächst bei fast gleicher Spannung, danach bleibt eine Verformung zurück. Baustahl S235 hat $R_e$ von etwa 235 N/mm².
• Zugfestigkeit $R_m = F_{\text{max}} / A_0$: die höchste Spannung. Danach schnürt sich der Stab ein und reißt.

Werkstoffe ohne ausgeprägte Streckgrenze, zum Beispiel Aluminium, haben eine Dehngrenze $R_{\mathrm{p}0{,}2}$: die Spannung, nach deren Entlasten 0,2 % Dehnung bleiben. Man bemisst Bauteile so, dass die Spannung deutlich unter Streck- oder Dehngrenze bleibt.

Ein quer belasteter Balken biegt sich durch. Die größte Durchbiegung $w$ hängt von Kraft, Länge, Werkstoff und Querschnitt ab. Der Werkstoff geht über $E$ ein, der Querschnitt über das Flächenträgheitsmoment $I$ in mm⁴. Für ein Rechteck mit Breite $b$ und Höhe $h$ (in Lastrichtung) ist $I = b h^3 / 12$. Das ist die Formel hinter der Aussage aus Klasse 9-10, dass ein hochkant stehendes Brett viel steifer ist. Für kleine Verformungen im elastischen Bereich, ohne Eigengewicht, gilt:

• Balken auf zwei Stützen, Einzelkraft $F$ in der Mitte, Abstand der Stützen $L$: $w = \dfrac{F L^3}{48\,E I}$
• Kragträger (einseitig eingespannt), Kraft $F$ am freien Ende, Länge $L$: $w = \dfrac{F L^3}{3\,E I}$

Die Durchbiegung wächst mit $L^3$. Doppelte Höhe macht $I$ achtmal so groß und die Durchbiegung achtmal kleiner, doppelte Breite halbiert sie nur.

Beim Schnittprinzip denkst du dir den Körper aus der Umgebung herausgeschnitten und zeichnest an jeder Schnittstelle die Kraft ein, die die Umgebung ausübt, also die Lagerreaktionen. Ruht der Körper, heben sich alle Wirkungen auf. In der Ebene gibt es drei Gleichgewichtsbedingungen: Die Summe der Kräfte in $x$-Richtung ist null, die in $y$-Richtung ist null, und die Summe der Momente (Drehmomente) um einen beliebigen Punkt ist null. Drei Gleichungen reichen für drei Unbekannte, darum ist $f = 0$ der bestimmte Fall.

Ein schlanker Stab unter Druck kann seitlich ausweichen, lange bevor der Werkstoff fließt. Das heißt Knicken. Die kleinste Druckkraft, bei der ein gerader Stab ausknickt, ist die Euler'sche Knicklast $F_K = \dfrac{\pi^2 E I}{s_K^2}$. Darin ist $I$ das kleinste Flächenträgheitsmoment und $s_K = \beta \cdot L$ die Knicklänge mit der Stablänge $L$.

Die Knicklast hängt vom E-Modul ab, nicht von der Festigkeit. Doppelte Länge ergibt ein Viertel. Die Formel gilt nur für schlanke Stäbe, gedrungene versagen vorher durch Fließen.