Lektion 1.7

Gruppenoperationen

20 min Lesezeit

Bisher haben wir Gruppen als algebraische Strukturen für sich betrachtet. Aber oft interessiert uns, wie eine Gruppe auf anderen mathematischen Objekten "wirkt".

Beispiele aus der Intuition:

  • Die Drehgruppe wirkt auf die Punkte einer Ebene (sie dreht sie)
  • Die symmetrische Gruppe SnS_n wirkt auf Teilmengen von {1,…,n}\{1, \ldots, n\} (sie permutiert die Elemente)
  • Eine Gruppe kann sogar auf sich selbst wirken (durch Multiplikation von links)

Das Konzept der Gruppenoperation (oder Gruppenwirkung) formalisiert diese Idee. Es ist eines der mächtigsten Werkzeuge der Gruppentheorie und hat weitreichende Anwendungen.

Die Grundidee:

Wir haben eine Gruppe (G,∗)(G, *) und eine Menge MM. Eine "Operation" oder "Wirkung" von GG auf MM bedeutet: Jedes Gruppenelement g∈Gg \in G "tut etwas" mit den Elementen von MM.

Wenn wir g∈Gg \in G auf m∈Mm \in M anwenden, erhalten wir ein neues Element g∙m∈Mg \bullet m \in M.

Dabei müssen zwei natürliche Bedingungen gelten:

1. Das neutrale Element "tut nichts": e∙m=me \bullet m = m
2. Hintereinanderausführung funktioniert konsistent: (g1∗g2)∙m=g1∙(g2∙m)(g_1 * g_2) \bullet m = g_1 \bullet (g_2 \bullet m)

Definition

Gruppenoperation (Gruppenwirkung)

Es sei (G,∗)(G, *) eine Gruppe und MM eine Menge. Eine (Links-)Operation von GG auf MM ist eine Abbildung

∙:G×M→M,(g,m)↦g∙m\bullet: G \times M \to M, \quad (g, m) \mapsto g \bullet m

die folgende zwei Bedingungen erfüllt:

(O1) ∀m∈M:eG∙m=m\forall m \in M: e_G \bullet m = m (das neutrale Element wirkt trivial)

(O2) ∀m∈M,∀g1,g2∈G:g1∙(g2∙m)=(g1∗g2)∙m\forall m \in M, \forall g_1, g_2 \in G: g_1 \bullet (g_2 \bullet m) = (g_1 * g_2) \bullet m (Kompatibilität)

Wir sagen dann: "G operiert auf M" oder "G wirkt auf M".

∙:G×M→Mmite∙m=m,g1∙(g2∙m)=(g1∗g2)∙m\bullet: G \times M \to M \quad \text{mit} \quad e \bullet m = m, \quad g_1 \bullet (g_2 \bullet m) = (g_1 * g_2) \bullet m
Beispiel

Die natürliche Operation von SnS_n

Die symmetrische Gruppe SnS_n operiert auf die offensichtlichste Weise auf M={1,…,n}M = \{1, \ldots, n\}:

σ∙i:=σ(i)\sigma \bullet i := \sigma(i)

Für eine Permutation σ\sigma und ein Element ii ist σ∙i\sigma \bullet i einfach das Bild von ii unter σ\sigma.

Prüfung der Axiome:

(O1): Id∙i=Id(i)=i\text{Id} \bullet i = \text{Id}(i) = i

(O2): (σ∘τ)∙i=(σ∘τ)(i)=σ(τ(i))=σ∙(τ∙i)(\sigma \circ \tau) \bullet i = (\sigma \circ \tau)(i) = \sigma(\tau(i)) = \sigma \bullet (\tau \bullet i)

Diese Operation ist die "Urmutter" aller Gruppenoperationen, wie wir gleich sehen werden.

Beispiel

Linksoperation durch Multiplikation

Jede Gruppe GG operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation:

∙:G×G→G,g∙h:=g∗h\bullet: G \times G \to G, \quad g \bullet h := g * h

Prüfung der Axiome:

(O1): e∙h=e∗h=he \bullet h = e * h = h

(O2): g1∙(g2∙h)=g1∗(g2∗h)=(g1∗g2)∗h=(g1∗g2)∙hg_1 \bullet (g_2 \bullet h) = g_1 * (g_2 * h) = (g_1 * g_2) * h = (g_1 * g_2) \bullet h

Diese Operation wird später beim Satz von Cayley eine entscheidende Rolle spielen.

Satz

Zusammenhang: Operationen und Homomorphismen

Es gibt eine enge Beziehung zwischen Gruppenoperationen und Homomorphismen in die symmetrische Gruppe:

a) Jeder Homomorphismus Φ:G→SM\Phi: G \to S_M definiert eine Operation von GG auf MM durch:
g∙m:=Φ(g)(m)g \bullet m := \Phi(g)(m)

b) Umgekehrt: Jede Operation von GG auf MM stammt von einem Homomorphismus Φ:G→SM\Phi: G \to S_M.

Operationen von GG auf MM entsprechen also bijektiv den Homomorphismen G→SMG \to S_M.

Definition

Bahn und Stabilisator

Sei GG eine Gruppe, die auf MM operiert. Für m∈Mm \in M definieren wir:

Die Bahn von mm ist die Menge aller Elemente, auf die mm "bewegt" werden kann:
G∙m:={g∙m∣g∈G}⊆MG \bullet m := \{g \bullet m \mid g \in G\} \subseteq M

Der Stabilisator von mm ist die Menge aller Gruppenelemente, die mm festhalten:
StabG(m):={g∈G∣g∙m=m}⊆G\text{Stab}_G(m) := \{g \in G \mid g \bullet m = m\} \subseteq G

Der Stabilisator ist immer eine Untergruppe von GG.

G∙m={g∙m∣g∈G},StabG(m)={g∈G∣g∙m=m}G \bullet m = \{g \bullet m \mid g \in G\}, \quad \text{Stab}_G(m) = \{g \in G \mid g \bullet m = m\}
Satz

Die Bahnrelation ist eine Äquivalenzrelation

Operiert GG auf MM, so wird durch

m1∼m2:⇔∃g∈G:m1=g∙m2m_1 \sim m_2 :\Leftrightarrow \exists g \in G: m_1 = g \bullet m_2

eine Äquivalenzrelation auf MM definiert. Die Äquivalenzklassen sind genau die Bahnen.

Insbesondere ist MM die disjunkte Vereinigung aller Bahnen.

Beispiel

Bahnen bei der Zykelzerlegung

Sei σ∈Sn\sigma \in S_n und H=⟨σ⟩H = \langle \sigma \rangle die von σ\sigma erzeugte zyklische Untergruppe. Dann operiert HH auf {1,…,n}\{1, \ldots, n\}.

Die Bahnen dieser Operation entsprechen genau den Zykeln in der Zykelzerlegung von σ\sigma!

Beispiel: Für σ=(1  2  5)(3  4)∈S5\sigma = (1\;2\;5)(3\;4) \in S_5 sind die Bahnen:

  • {1,2,5}\{1, 2, 5\} (der erste Zykel)
  • {3,4}\{3, 4\} (der zweite Zykel)

Die Zerlegung in disjunkte Zykel ist also nichts anderes als die Zerlegung von {1,…,n}\{1, \ldots, n\} in Bahnen unter der Operation von ⟨σ⟩\langle \sigma \rangle.

Satz

Bahnbilanzformel

Sei GG eine endliche Gruppe, die auf MM operiert, und sei m∈Mm \in M. Dann gilt:

∣G∙m∣=∣G∣∣StabG(m)∣|G \bullet m| = \frac{|G|}{|\text{Stab}_G(m)|}

Die Größe einer Bahn ist also gleich dem Index des Stabilisators.

Insbesondere teilt ∣G∙m∣|G \bullet m| die Gruppenordnung ∣G∣|G|.

Zusammenfassung

  • Eine Gruppenoperation ist eine Abbildung G×M→MG \times M \to M mit e∙m=me \bullet m = m und g1∙(g2∙m)=(g1∗g2)∙mg_1 \bullet (g_2 \bullet m) = (g_1 * g_2) \bullet m

  • Gruppenoperationen entsprechen bijektiv Homomorphismen G→SMG \to S_M

  • Der Satz von Cayley: Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe

  • Die Bahn G∙mG \bullet m ist die Menge aller erreichbaren Elemente

  • Der Stabilisator StabG(m)\text{Stab}_G(m) ist die Untergruppe der Elemente, die mm festhalten

  • Bahnbilanzformel: ∣G∙m∣=∣G∣/∣StabG(m)∣|G \bullet m| = |G| / |\text{Stab}_G(m)|

Übungen

Aufgabe 1Freitext

Die Gruppe G=ZG = \mathbb{Z} operiert auf R\mathbb{R} durch n∙x:=x+nn \bullet x := x + n. Bestimme die Bahn von 0.50.5 und den Stabilisator von 0.50.5.

Aufgabe 2Multiple Choice

Die Gruppe S3S_3 operiert auf {1,2,3}\{1, 2, 3\}. Wie viele Bahnen hat diese Operation?

Aufgabe 3Freitext

Erkläre, warum der Stabilisator StabG(m)\text{Stab}_G(m) immer eine Untergruppe von GG ist.