Eine Menge $R$ mit zwei Verknüpfungen $+$ (Addition) und $\cdot$ (Multiplikation) heißt ein Ring, wenn gilt:

Axiom 1: $(R, +)$ ist eine abelsche Gruppe:

• Assoziativität: $(a + b) + c = a + (b + c)$
• Neutrales Element $0_R$: $a + 0_R = a$
• Additive Inverse: Zu jedem $a$ gibt es $-a$ mit $a + (-a) = 0_R$
• Kommutativität: $a + b = b + a$

Axiom 2: Die Multiplikation ist assoziativ:
$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Axiom 3: Es existiert ein Einselement $1_R$ mit:
$1_R \cdot a = a \cdot 1_R = a$ für alle $a \in R$

Axiom 4: Distributivgesetze:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
$(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$

Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn zusätzlich gilt:

$a \cdot b = b \cdot a$ für alle $a, b \in R$

Beispiele: $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Gegenbeispiel: Der Ring der $n \times n$-Matrizen (für $n \geq 2$)

Eine Teilmenge $T \subseteq R$ heißt Teilring, wenn:

1. $1_R \in T$
2. $t_1 + t_2 \in T$ und $t_1 \cdot t_2 \in T$ für alle $t_1, t_2 \in T$
3. $-t \in T$ für alle $t \in T$

Beispiel: $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$