Lektion 2.4

Rechenregeln in Ringen

15 min Lesezeit

Aus den Ring-Axiomen folgen automatisch nützliche Rechenregeln. Diese gelten in jedem Ring.

Definition

Abgeleitete Rechenregeln

Für alle $x, y \in R$ gilt:

1. Multiplikation mit Null:
$0 \cdot x = x \cdot 0 = 0$

2. Vorzeichen:
$(-x) \cdot y = -(x \cdot y) = x \cdot (-y)$
$(-1) \cdot x = -x$
$(-x) \cdot (-y) = x \cdot y$

0 \cdot x = 0, \quad (-x)(-y) = xy

Beispiel

Beweis: $0 \cdot x = 0$

$0 \cdot x = (0 + 0) \cdot x = 0 \cdot x + 0 \cdot x$

Subtrahiere $0 \cdot x$ auf beiden Seiten:
$0 = 0 \cdot x$ ✓

Beispiel

$(-x) \cdot y + x \cdot y = (-x + x) \cdot y = 0 \cdot y = 0$

Also ist $(-x) \cdot y$ das additive Inverse von $x \cdot y$ .

Beispiel

Gilt aus $ax = ay$ immer $x = y$ ?

Nein! In $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ : $[3] \cdot [2] = [0] = [3] \cdot [4]$ , aber $[2] \neq [4]$ .

Die Kürzungsregel gilt nur, wenn $a$ kein Nullteiler ist.

Aufgabe 1Multiple Choice

Gilt $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ für Matrizen?