Was sind Relationen? · Relationen und Funktionen

In der Mathematik und im Alltag sprechen wir ständig über Beziehungen zwischen Objekten:

"3 ist kleiner als 5"
"Paris liegt in Frankreich"
"Anna ist die Schwester von Ben"

Wie können wir solche Beziehungen mathematisch präzise beschreiben? Die Mengenlehre gibt uns die Werkzeuge dafür.

Die Grundidee

Erinnere dich an das kartesische Produkt: $A \times B$ ist die Menge aller geordneten Paare $(a, b)$ mit $a \in A$ und $b \in B$ .

Betrachte die Relation "ist kleiner als" auf den natürlichen Zahlen. Welche Paare gehören dazu?

$(1, 2)$ – ja, denn $1 < 2$
$(3, 7)$ – ja, denn $3 < 7$
$(5, 3)$ – nein, denn $5 \not< 3$

Die Relation $<$ ist also eine Teilmenge von $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ !

Definition

Relation

Eine Relation $R$ zwischen zwei Mengen $A$ und $B$ ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts:

$R \subseteq A \times B$

Wenn $(a, b) \in R$ , sagen wir " $a$ steht in Relation $R$ zu $b$ " und schreiben auch $a R b$ .

Spezialfall: Eine Relation auf einer Menge $A$ ist eine Teilmenge $R \subseteq A \times A$ .

R \subseteq A \times B

Beispiel

Beispiele für Relationen

Die "kleiner als"-Relation auf $\mathbb{N}$ :
$< \;= \{(a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid a \text{ ist kleiner als } b\}$

Die Gleichheit auf einer Menge A:
$= \;= \{(a, a) \mid a \in A\}$
(Jedes Element steht nur zu sich selbst in Relation)

Die Teilbarkeitsrelation auf $\mathbb{N}$ :
" $a$ teilt $b$ " geschrieben $a \mid b$
$\mid \;= \{(a, b) \mid b \text{ ist Vielfaches von } a\}$