Lektion 1.1

Ladung, Coulomb-Gesetz und elektrisches Feld

30 min Lesezeit

Reibst du einen Luftballon an deinem Pullover, bleibt er danach an der Wand hängen. Kämme dich mit einem Kunststoffkamm, und er hebt kleine Papierschnipsel auf. Zwischen den Gegenständen wirkt eine Kraft, obwohl sie sich nicht berühren. Schon die Griechen kannten dieses Verhalten bei geriebenem Bernstein (griechisch elektron).

Die Ursache ist die elektrische Ladung, eine Eigenschaft der Materie neben der Masse. Anders als die Masse gibt es sie in zwei Sorten, die wir positiv und negativ nennen. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Im Werkzeug Elektrizitätslehre kannst du Ladungen im Raum platzieren und die Kraftwirkung sowie das Feld beobachten.

Definition

Elektrische Ladung

Die elektrische Ladung QQ wird in Coulomb gemessen (1 C=1 A⋅s1\,\text{C} = 1\,\text{A}\cdot\text{s}). Es gibt zwei Eigenschaften, die alle Experimente bestätigen:

  • Quantelung: Jede Ladung ist ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e=1,602⋅10−19 Ce = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\text{C}. Ein Elektron trägt −e-e, ein Proton +e+e.
  • Ladungserhaltung: In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aller Ladungen konstant. Beim Reiben werden nur Elektronen von einem Körper auf den anderen verschoben; der eine wird positiv, der andere negativ geladen, die Gesamtladung bleibt null.

Ein einzelnes Coulomb ist riesig, in der Praxis rechnet man mit Mikro- (μC=10−6 C\mu\text{C} = 10^{-6}\,\text{C}) und Nanocoulomb (nC=10−9 C\text{nC} = 10^{-9}\,\text{C}).

e=1,602⋅10−19 C,Q=n⋅ee = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{C}, \qquad Q = n\cdot e
Satz

Coulombsches Gesetz

Zwei punktförmige Ladungen Q1Q_1 und Q2Q_2 im Abstand rr üben aufeinander eine Kraft aus, deren Betrag proportional zum Produkt der Ladungen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands ist. Die Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie: abstoßend bei gleichem Vorzeichen, anziehend bei verschiedenem.

Die Konstante k=14πε0≈8,99⋅109 N m2/C2k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8{,}99 \cdot 10^9\,\text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2 folgt aus der elektrischen Feldkonstante ε0=8,854⋅10−12 C2/(N m2)\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}\,\text{C}^2/(\text{N}\,\text{m}^2). Das Gesetz ist dem Gravitationsgesetz sehr ähnlich, nur gibt es bei der Gravitation keine abstoßende Kraft. Wegen der 1/r21/r^2-Abhängigkeit gilt: Verdoppelst du den Abstand, sinkt die Kraft auf ein Viertel.

F=k ∣Q1 Q2∣r2,k=14πε0F = k\,\frac{|Q_1\,Q_2|}{r^2}, \qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}
Beispiel

Kraft zwischen zwei Mikrocoulomb-Ladungen

Zwei Kugeln tragen je 1 μC1\,\mu\text{C} und sind 0,3 m0{,}3\,\text{m} voneinander entfernt:

F=8,99⋅109⋅(10−6)2(0,3)2 N=8,99⋅109⋅10−120,09 N≈0,10 NF = 8{,}99\cdot 10^{9}\cdot \frac{(10^{-6})^2}{(0{,}3)^2}\,\text{N} = 8{,}99\cdot 10^{9}\cdot \frac{10^{-12}}{0{,}09}\,\text{N} \approx 0{,}10\,\text{N}

Das entspricht der Gewichtskraft von etwa 10 g10\,\text{g}. Die Kraft ist hier gut messbar, obwohl die Ladungen sehr klein sind, denn kk ist riesig. Das erklärt, warum elektrische Kräfte im Atom die Gravitation um viele Größenordnungen übertreffen.

Definition

Elektrisches Feld

Das elektrische Feld beschreibt, was eine Ladung im umgebenden Raum bewirkt, auch wenn keine zweite Ladung da ist. Bringt man eine kleine Probeladung qq an einen Ort, so spürt sie dort eine Kraft F⃗\vec{F}. Die elektrische Feldstärke ist die Kraft pro Ladung:

Die Einheit ist N/C\text{N/C}, gleichbedeutend V/m\text{V/m}. Die Feldstärke ist ein Vektor: Sie zeigt in die Richtung, in die eine positive Probeladung gedrückt würde. Für eine Punktladung QQ gilt im Abstand rr die Formel unten. Weg von einer positiven Ladung zeigt das Feld nach außen, auf eine negative Ladung zeigt es hin. Zeichnet man Feldlinien, so zeigen sie die Richtung des Feldes, und wo sie dichter liegen, ist das Feld stärker. Feldlinien beginnen an positiven und enden an negativen Ladungen.

E⃗=F⃗q,E(r)=k ∣Q∣r2\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}, \qquad E(r) = k\,\frac{|Q|}{r^2}
Beispiel

Feldstärke einer Punktladung

Eine Punktladung Q=2 nCQ = 2\,\text{nC} erzeugt im Abstand r=0,5 mr = 0{,}5\,\text{m} die Feldstärke:

E=8,99⋅109⋅2⋅10−90,25 NC≈71,9 NCE = 8{,}99\cdot 10^{9}\cdot \frac{2\cdot 10^{-9}}{0{,}25}\,\frac{\text{N}}{\text{C}} \approx 71{,}9\,\frac{\text{N}}{\text{C}}

Bringst du eine Probeladung q=5 nCq = 5\,\text{nC} an diese Stelle, wirkt auf sie die Kraft F=qE≈3,6⋅10−7 NF = q E \approx 3{,}6 \cdot 10^{-7}\,\text{N}. Mehrere Ladungen überlagern sich: Die Feldstärken werden als Vektoren addiert (Superpositionsprinzip).

Zusammenfassung

  • Ladung gibt es in zwei Sorten; sie ist gequantelt (e=1,602⋅10−19 Ce = 1{,}602\cdot 10^{-19}\,\text{C}) und erhalten.

  • Coulomb-Gesetz: F=k ∣Q1Q2∣/r2F = k\,|Q_1 Q_2|/r^2; Verdopplung des Abstands viertelt die Kraft.

  • Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an.

  • Die Feldstärke E=F/qE = F/q gibt die Kraft pro Ladung an; für eine Punktladung gilt E=k∣Q∣/r2E = k|Q|/r^2.

  • Felder mehrerer Ladungen überlagern sich als Vektoren (Superposition).

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Zwei Ladungen von je 1 μC1\,\mu\text{C} sind 0,3 m0{,}3\,\text{m} voneinander entfernt. Wie groß ist die Kraft in Newton? (Mit k=8,99⋅109 N m2/C2k = 8{,}99\cdot 10^9\,\text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2, auf drei Stellen.)

Aufgabe 2Numerisch

Der Abstand zwischen zwei Ladungen wird verdoppelt. Auf das Wievielfache ändert sich der Betrag der Kraft?

Aufgabe 3Numerisch

Eine Punktladung von 2 nC2\,\text{nC} erzeugt im Abstand 0,5 m0{,}5\,\text{m} eine Feldstärke von wie vielen N/C\text{N/C}? (Auf eine Nachkommastelle.)

Aufgabe 4Freitext

Zwei gleich große positive Punktladungen liegen im Abstand dd voneinander. Wie groß ist die Feldstärke genau in der Mitte zwischen den beiden Ladungen, und warum?