Lektion 1.2

Spannung, Plattenkondensator und Kapazität

30 min Lesezeit

Wasser fließt bergab, weil es einen Höhenunterschied gibt. Dabei kommt es nicht auf die absolute Höhe an, sondern auf den Unterschied zwischen oben und unten. Genauso fließt elektrischer Strom nur, wenn es einen Unterschied im elektrischen „Niveau" gibt, die Spannung.

Die einfachste Anordnung, in der man die Spannung in einem gleichmäßigen elektrischen Feld erleben kann, ist der Plattenkondensator: zwei parallele Metallplatten mit Abstand $d$ , die entgegengesetzt aufgeladen sind. Er ist gleichzeitig ein Energiespeicher, der in jedem elektronischen Gerät (Blitzgerät, Netzteil, Touchscreen) vorkommt. Im Werkzeug Elektrizitätslehre kannst du Kondensatoren aufladen, entladen und das Feld zwischen den Platten betrachten.

Definition

Elektrische Spannung

Verschiebt man eine Ladung $q$ in einem elektrischen Feld, wird Arbeit verrichtet. Die elektrische Spannung $U$ zwischen zwei Punkten ist die dabei umgesetzte Arbeit pro Ladung. Die Einheit ist das Volt, $1\,\text{V} = 1\,\text{J/C}$ .

Wenn eine Ladung von $1\,\text{C}$ zwischen zwei Punkten mit $1\,\text{V}$ Spannung wandert, wird die Energie $1\,\text{J}$ umgesetzt. In einem homogenen Feld (gleiche Stärke und Richtung überall), wie zwischen den Platten eines Kondensators, hängt die Spannung einfach von der Feldstärke und dem Plattenabstand ab: $U = E\cdot d$ . Daraus folgt umgekehrt, dass $E = \frac{U}{d}$ gilt, was die Einheit $\text{V/m}$ für die Feldstärke erklärt.

U = \frac{W}{q}, \qquad U = E\cdot d \quad (\text{homogenes Feld})

Definition

Kapazität

Lädt man die Platten eines Kondensators mit $+Q$ und $-Q$ auf, so liegt zwischen ihnen eine Spannung $U$ . Die beiden Größen sind proportional: Doppelte Ladung bedeutet doppelte Spannung. Der Proportionalitätsfaktor ist die Kapazität $C$ des Kondensators. Sie sagt, wie viel Ladung er pro Volt aufnehmen kann.

Die Einheit ist das Farad, $1\,\text{F} = 1\,\text{C/V}$ . Übliche Kondensatoren haben Mikro- bis Nanofarad. Für einen Plattenkondensator mit Plattenfläche $A$ und Abstand $d$ gilt: Die Kapazität wächst mit der Fläche und sinkt mit dem Abstand. Befindet sich Luft oder Vakuum zwischen den Platten, ist $\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}\,\text{F/m}$ . Ein Isolator (Dielektrikum) mit der Zahl $\varepsilon_r$ erhöht die Kapazität auf das $\varepsilon_r$ -fache.

C = \frac{Q}{U}, \qquad C = \varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\frac{A}{d}

Beispiel

Kapazität und Feldstärke

Ein Plattenkondensator mit Luft hat die Plattenfläche $A = 0{,}01\,\text{m}^2$ ( $10\,\text{cm} \times 10\,\text{cm}$ ) und den Abstand $d = 1\,\text{mm}$ :

C = 8{,}854\cdot 10^{-12}\cdot \frac{0{,}01}{0{,}001}\,\text{F} = 8{,}854\cdot 10^{-11}\,\text{F} \approx 88{,}5\,\text{pF}

Wird er an $U = 100\,\text{V}$ angeschlossen, nimmt er die Ladung $Q = C U \approx 8{,}9\,\text{nC}$ auf. Die Feldstärke zwischen den Platten ist $E = U/d = 100\,\text{V} / 0{,}001\,\text{m} = 10^5\,\text{V/m}$ . Verdoppelst du die Plattenfläche, verdoppelt sich $C$ , halbierst du den Abstand, verdoppelt sich $C$ ebenfalls.

Satz

Energie des Kondensators

Ein aufgeladener Kondensator speichert elektrische Energie im Feld zwischen den Platten. Die Energie steigt quadratisch mit der Spannung. Der Faktor $\frac12$ entsteht, weil die Spannung während des Ladens erst langsam ansteigt: Die ersten Ladungen müssen gegen eine kleine Spannung transportiert werden, die letzten gegen die volle.

W = \tfrac12\,C\,U^2 = \tfrac12\,Q\,U = \frac{Q^2}{2C}

Beispiel

Energie in einem Blitzgerät

Ein Kondensator mit $C = 10\,\mu\text{F}$ ist auf $U = 100\,\text{V}$ geladen. Er speichert:

W = \tfrac12 \cdot 10\cdot 10^{-6}\,\text{F}\cdot (100\,\text{V})^2 = 0{,}05\,\text{J}

Das klingt wenig, doch die Energie lässt sich in sehr kurzer Zeit abgeben. Bei einer Entladezeit von einer Millisekunde entspricht das einer Leistung von $50\,\text{W}$ . Deshalb nutzt man Kondensatoren in Blitzgeräten: langsam laden, schlagartig entladen.

Zusammenfassung

Spannung ist Arbeit pro Ladung, $U = W/q$ in Volt; im homogenen Feld gilt $U = E\,d$ .
Kapazität: $C = Q/U$ in Farad; Plattenkondensator $C = \varepsilon_0\varepsilon_r A/d$ .
Mehr Fläche oder kleinerer Abstand erhöhen die Kapazität.
Gespeicherte Energie: $W = \frac12 C U^2$ .
Parallel addieren sich Kapazitäten, in Reihe die Kehrwerte.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Ein Plattenkondensator (Luft) hat die Fläche $0{,}02\,\text{m}^2$ und den Abstand $2\,\text{mm}$ . Wie groß ist seine Kapazität in Pikofarad? (Mit $\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot 10^{-12}\,\text{F/m}$ .)

Aufgabe 2Numerisch

Zwischen zwei Platten im Abstand $0{,}5\,\text{cm}$ liegt die Spannung $100\,\text{V}$ . Wie groß ist die Feldstärke in $\text{V/m}$ ?

Aufgabe 3Numerisch

Welche Energie in Joule speichert ein Kondensator mit $C = 10\,\mu\text{F}$ bei $U = 100\,\text{V}$ ?

Aufgabe 4Freitext

Zwei Kondensatoren mit $C_1 = 4\,\mu\text{F}$ und $C_2 = 12\,\mu\text{F}$ werden einmal parallel und einmal in Reihe geschaltet. Berechne jeweils die Gesamtkapazität.