Lektion 1.2

Energie- und Impulserhaltung

30 min Lesezeit

Zwei Billardkugeln stoßen zusammen. Wie schnell und in welche Richtung rollen sie danach? Mit dem zweiten Newtonschen Axiom müsstest du die genaue Kraft während des Stoßes kennen, und die ist kurz, stark und praktisch nicht messbar.

Hier hilft ein anderer Zugang. Statt den Verlauf Schritt für Schritt zu verfolgen, fragst du: Was bleibt vor und nach dem Stoß gleich? Solche Erhaltungsgrößen sind eines der mächtigsten Werkzeuge der Physik. Sie erlauben es, das Ergebnis eines Vorgangs zu berechnen, ohne die Einzelheiten dazwischen zu kennen. Zwei davon begegnen dir in der Mechanik zuerst: der Impuls und die Energie.

Definition

Impuls und Impulserhaltung

Der Impuls eines Körpers ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit. Er misst, wie schwer ein Körper in Bewegung „aufzuhalten" ist: Ein langsamer Lastwagen und ein schnelles Geschoss können gleichen Impuls haben.

Das zweite Axiom lässt sich auch so schreiben: Die Kraft ist die zeitliche Änderung des Impulses. Wirken auf ein System von Körpern nur innere Kräfte (Kräfte zwischen den Körpern, wie bei einem Stoß), dann heben sich diese nach dem dritten Axiom paarweise auf. Der Gesamtimpuls des Systems ändert sich nicht.

p⃗=m v⃗,F⃗=dp⃗dt,∑p⃗vor=∑p⃗nach\vec{p} = m\,\vec{v}, \qquad \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}, \qquad \sum \vec{p}_{\text{vor}} = \sum \vec{p}_{\text{nach}}
Definition

Kinetische Energie und Energieerhaltung

Die kinetische Energie (Bewegungsenergie) eines Körpers der Masse mm mit der Geschwindigkeit vv beträgt Ekin=12mv2E_{\text{kin}} = \frac12 m v^2. Sie wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit: Doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfache Energie, und deshalb ist der Bremsweg eines Autos bei doppeltem Tempo etwa viermal so lang.

Die potentielle Energie im Schwerefeld ist Epot=mghE_{\text{pot}} = m g h. In einem System ohne Reibung bleibt die Summe aus beiden konstant. Allgemein gilt der Energieerhaltungssatz: Die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems ändert sich nicht. Energie wird nur umgewandelt, etwa bei Reibung in Wärme.

Ekin=12 m v2,Epot=m g h,Ekin+Epot=konstantE_{\text{kin}} = \tfrac12\,m\,v^2, \qquad E_{\text{pot}} = m\,g\,h, \qquad E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} = \text{konstant}
Beispiel

Geschwindigkeit beim Fallen aus Energieerhaltung

Ein Körper fällt aus h=5 mh = 5\,\text{m} Höhe. Am Anfang hat er nur potentielle, am Ende nur kinetische Energie. Aus mgh=12mv2m g h = \frac12 m v^2 kürzt sich die Masse heraus:

v=2 g h=2⋅9,81⋅5 m/s≈9,9 m/sv = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 5}\,\text{m/s} \approx 9{,}9\,\text{m/s}

Ohne Kenntnis der Zeit oder der Kräfte erhältst du direkt die Endgeschwindigkeit. Dasselbe gilt für eine reibungsfreie Rutsche beliebiger Form: Es kommt nur auf die Höhendifferenz an, nicht auf den Weg.

Definition

Elastischer und unelastischer Stoß

Bei jedem Stoß ohne äußere Kräfte bleibt der Impuls erhalten. Ob auch die kinetische Energie erhalten bleibt, unterscheidet zwei Arten:

  • Elastischer Stoß: Die kinetische Energie bleibt erhalten (zwei Stahlkugeln, Billard, näherungsweise).
  • Vollständig unelastischer Stoß: Die Körper bleiben zusammen und bewegen sich mit gemeinsamer Geschwindigkeit weiter (Knetmasse, ein Anhänger, der einrastet). Ein Teil der kinetischen Energie wird in Verformung und Wärme umgewandelt.

Für den zentralen Stoß (eindimensional) mit Körper 1 (Masse m1m_1, Geschwindigkeit v1v_1) auf ruhenden Körper 2 (Masse m2m_2) gelten folgende Endgeschwindigkeiten.

unelastisch: v′=m1v1m1+m2,elastisch: v1′=m1−m2m1+m2 v1,v2′=2m1m1+m2 v1\text{unelastisch: } v' = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}, \qquad \text{elastisch: } v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1,\quad v_2' = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}\,v_1
Beispiel

Wagenstoß mit m1=2 kgm_1 = 2\,\text{kg}, m2=1 kgm_2 = 1\,\text{kg}, v1=3 m/sv_1 = 3\,\text{m/s}

Unelastisch: Der Gesamtimpuls ist 2⋅3=6 kg m/s2 \cdot 3 = 6\,\text{kg}\,\text{m/s}. Beide Wagen zusammen haben 3 kg3\,\text{kg}, also v′=6/3=2 m/sv' = 6/3 = 2\,\text{m/s}. Die kinetische Energie sinkt von 12⋅2⋅9=9 J\frac12\cdot 2\cdot 9 = 9\,\text{J} auf 12⋅3⋅4=6 J\frac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6\,\text{J}. Es gehen 3 J3\,\text{J} als Wärme und Verformung verloren.

elastisch: v1′=2−12+1⋅3=1 m/s,v2′=2⋅23⋅3=4 m/s\text{elastisch: } v_1' = \tfrac{2-1}{2+1}\cdot 3 = 1\,\text{m/s}, \qquad v_2' = \tfrac{2\cdot 2}{3}\cdot 3 = 4\,\text{m/s}

Probe beim elastischen Stoß: Impuls: 2⋅1+1⋅4=62\cdot 1 + 1 \cdot 4 = 6, stimmt. Energie: 12⋅2⋅1+12⋅1⋅16=1+8=9 J\frac12 \cdot 2 \cdot 1 + \frac12 \cdot 1 \cdot 16 = 1 + 8 = 9\,\text{J}, stimmt ebenfalls. Der leichtere Wagen wird schneller als der Stoßende: eine typische Eigenschaft, wenn die stoßende Masse größer ist.

Zusammenfassung

  • Impuls p⃗=mv⃗\vec{p} = m\vec{v} ist in einem System ohne äußere Kräfte erhalten, bei jedem Stoß.

  • Kinetische Energie 12mv2\frac12 m v^2, potentielle Energie mghm g h; ohne Reibung ist ihre Summe konstant.

  • Fall aus der Höhe hh: v=2ghv = \sqrt{2 g h}, unabhängig von der Masse.

  • Elastischer Stoß: Impuls und kinetische Energie bleiben erhalten. Vollständig unelastischer Stoß: nur der Impuls, die Körper bewegen sich gemeinsam weiter.

  • Erhaltungssätze liefern Ergebnisse, ohne den genauen zeitlichen Ablauf zu kennen.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Ein Wagen (2 kg2\,\text{kg}, 3 m/s3\,\text{m/s}) stößt auf einen ruhenden Wagen (1 kg1\,\text{kg}) und beide bleiben zusammen (unelastisch). Wie schnell sind sie danach in m/s\text{m/s}?

Aufgabe 2Numerisch

Ein Körper fällt reibungsfrei aus 5 m5\,\text{m} Höhe. Mit welcher Geschwindigkeit in m/s\text{m/s} trifft er auf? (g=9,81 m/s2g = 9{,}81\,\text{m/s}^2, Ergebnis auf eine Nachkommastelle.)

Aufgabe 3Numerisch

Elastischer Stoß: Ein Wagen (2 kg2\,\text{kg}, 3 m/s3\,\text{m/s}) trifft einen ruhenden Wagen (1 kg1\,\text{kg}). Welche Geschwindigkeit in m/s\text{m/s} hat der zuvor ruhende Wagen danach?

Aufgabe 4Freitext

Beim unelastischen Stoß aus dem Beispiel geht kinetische Energie verloren. Berechne, wie viel, und erkläre, wohin die Energie geht, obwohl die Energie erhalten sein soll.