Lektion 1.1

Die Newtonschen Axiome

30 min Lesezeit

Warum bleibt ein Eishockeypuck auf glattem Eis so lange in Bewegung? Warum fühlst du dich im anfahrenden Zug nach hinten gedrückt? Und warum spürst du die Wand, gegen die du drückst, ihrerseits an der Hand? Jahrhundertelang galt die Vorstellung des Aristoteles, ein Körper komme von selbst zur Ruhe und brauche eine dauernde Kraft, um sich zu bewegen. Das stimmt im Alltag scheinbar, weil dort Reibung wirkt, die man leicht übersieht.

Isaac Newton hat 1687 in drei Grundsätzen zusammengefasst, wie Kräfte und Bewegung zusammenhängen. Diese Axiome beweist man nicht, sie sind die Ausgangsannahmen der klassischen Mechanik und werden durch Experimente bestätigt. Aus ihnen folgt der Großteil dessen, was in der Mechanik berechnet wird. Im Werkzeug Mechanik-Labor kannst du alle drei Axiome in Simulationen nachvollziehen.

Definition

Erstes Axiom: Trägheitsgesetz

Ein Körper, auf den keine Kraft wirkt oder bei dem sich alle Kräfte zur Summe null aufheben, bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig weiter.

Die Eigenschaft eines Körpers, seinen Bewegungszustand beizubehalten, heißt Trägheit. Aus dem ersten Axiom folgt: Nicht die Bewegung, sondern die Änderung der Bewegung braucht eine Ursache, nämlich eine Kraft. Der Puck auf dem Eis gleitet weiter, weil fast keine Reibungskraft auf ihn wirkt.

\sum \vec{F} = \vec{0} \;\Longrightarrow\; \vec{v} = \text{konstant}

Definition

Zweites Axiom: Grundgleichung der Mechanik

Die Änderung der Bewegung ist proportional zur wirkenden Kraft und geschieht in deren Richtung. Für einen Körper konstanter Masse $m$ gilt: Die Summe aller Kräfte gleicht der Masse mal der Beschleunigung.

Die Kraft hat die Einheit Newton mit $1\,\text{N} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$ : Ein Newton beschleunigt eine Masse von einem Kilogramm mit einem Meter pro Sekunde zum Quadrat. Die Masse $m$ misst die Trägheit: Bei gleicher Kraft wird ein schwerer Körper weniger beschleunigt als ein leichter. Die Beschleunigung $a$ ist die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit, $a = \frac{dv}{dt}$ . Wichtig: Es muss die Summe aller Kräfte (Resultierende) eingesetzt werden, nicht nur eine einzelne.

\vec{F}_{\text{res}} = m\,\vec{a}, \qquad \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{x}}{dt^2}

Definition

Drittes Axiom: Wechselwirkungsgesetz

Übt ein Körper $A$ auf einen Körper $B$ eine Kraft aus, dann übt $B$ auf $A$ eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft aus. Man sagt kurz: Actio gleich Reactio.

Wichtig ist, dass die beiden Kräfte an verschiedenen Körpern angreifen. Deshalb heben sie sich nicht auf, auch wenn sie gleich groß sind. Wenn du gegen eine Wand drückst, wirkt die Kraft auf die Wand, und die Gegenkraft wirkt auf deine Hand. Wenn du von einem Boot an Land springst, erhältst du eine Geschwindigkeit nach vorn, und das Boot bekommt eine entgegengesetzte.

\vec{F}_{A \to B} = -\,\vec{F}_{B \to A}

Beispiel

Beschleunigung eines Autos und eines Körpers auf der schiefen Ebene

a) Ein Auto der Masse $1200\,\text{kg}$ soll mit $a = 2{,}5\,\text{m/s}^2$ beschleunigen. Die erforderliche resultierende Kraft ist:

F = m\,a = 1200\,\text{kg}\cdot 2{,}5\,\text{m/s}^2 = 3000\,\text{N}

b) Ein Block gleitet reibungsfrei eine schiefe Ebene mit Neigungswinkel $\alpha = 30^\circ$ hinunter. Nur die Komponente der Gewichtskraft entlang der Ebene beschleunigt ihn: $F_\parallel = m g \sin\alpha$ . Aus $m a = m g \sin\alpha$ folgt $a = g \sin\alpha = 9{,}81 \cdot 0{,}5 \approx 4{,}9\,\text{m/s}^2$ . Die Masse kürzt sich heraus: Alle Körper gleiten gleich schnell, egal wie schwer sie sind. Das kannst du im Mechanik-Labor mit verschiedenen Winkeln und Massen testen.

Beispiel

Freier Fall aus der Grundgleichung

Auf einen fallenden Körper wirkt (ohne Luftwiderstand) nur die Gewichtskraft $F = m g$ mit dem Ortsfaktor $g \approx 9{,}81\,\text{m/s}^2$ . Das zweite Axiom liefert sofort $a = g$ , unabhängig von der Masse. Bei konstanter Beschleunigung gelten die Formeln:

v(t) = g\,t, \qquad s(t) = \tfrac12\, g\, t^2 \;\Longrightarrow\; t = \sqrt{\frac{2h}{g}}

Aus $20\,\text{m}$ Höhe dauert der Fall $t = \sqrt{2\cdot 20 / 9{,}81}\,\text{s} \approx 2{,}02\,\text{s}$ . Die Aufprallgeschwindigkeit ist $v = g t \approx 19{,}8\,\text{m/s}$ , das sind etwa $71\,\text{km/h}$ .

Zusammenfassung

Erstes Axiom: Ohne resultierende Kraft bleibt die Geschwindigkeit konstant (Trägheit).
Zweites Axiom: $\vec{F}_{\text{res}} = m\,\vec{a}$ ; die Einheit der Kraft ist $1\,\text{N} = 1\,\text{kg}\,\text{m/s}^2$ .
Drittes Axiom: Kräfte treten paarweise auf, sind gleich groß und entgegengesetzt, greifen aber an verschiedenen Körpern an.
Beim freien Fall gilt $a = g$ unabhängig von der Masse; auf der schiefen Ebene (reibungsfrei) $a = g\sin\alpha$ .
Nicht die Bewegung, sondern ihre Änderung braucht eine Kraft.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Ein Auto der Masse $1200\,\text{kg}$ beschleunigt mit $2{,}5\,\text{m/s}^2$ . Welche resultierende Kraft in Newton wirkt?

Aufgabe 2Numerisch

Ein Block gleitet reibungsfrei eine schiefe Ebene mit $\alpha = 30^\circ$ hinab. Wie groß ist seine Beschleunigung in $\text{m/s}^2$ ? (Mit $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ .)

Aufgabe 3Multiple Choice

Ein Buch liegt ruhig auf einem Tisch. Welche Kraft bildet mit der Gewichtskraft des Buchs (Erde zieht am Buch) ein Wechselwirkungspaar im Sinne des dritten Axioms?

Aufgabe 4Freitext

Ein Stein fällt aus $20\,\text{m}$ Höhe ohne Luftwiderstand. Berechne die Fallzeit und die Aufprallgeschwindigkeit ( $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$ ).