Symmetrie
Falte ein Blatt Papier in der Mitte. Schneide von der Faltkante aus ein halbes Herz aus und klappe das Blatt wieder auf. Du hast ein ganzes Herz, dessen linke und rechte Hälfte genau gleich aussehen. Der Knick im Papier läuft mitten durch das Herz.
So eine Figur nennt man symmetrisch. Du kennst das aus dem Alltag: Ein Schmetterling hat zwei gleiche Flügel. Ein Windrad mit vier gleichen Flügeln sieht nach einer Vierteldrehung wieder genau so aus wie vorher. Und der Buchstabe H bleibt ein H, wenn du ihn auf den Kopf stellst.
Das sind drei verschiedene Arten von Symmetrie. Wie unterscheidest du sie? Wie findest du die Linie oder den Punkt, an dem man faltet oder dreht? Und wie zeichnest du selbst eine symmetrische Figur? Das lernst du jetzt.
Achsensymmetrie
Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn du sie so falten kannst, dass beide Hälften genau aufeinanderliegen. Die Faltlinie heißt Symmetrieachse. Man sagt auch Spiegelachse, denn die eine Hälfte ist das Spiegelbild der anderen.
Jeder Punkt der einen Hälfte hat in der anderen Hälfte einen Spiegelpunkt. Beide Punkte haben denselben Abstand zur Achse. Die Strecke zwischen ihnen steht senkrecht auf der Achse. Eine Figur kann mehrere Symmetrieachsen haben. Das Papierherz hat nur eine.
Symmetrieachsen zählen
Symmetrieachsen zählen
Wie viele Symmetrieachsen haben diese Figuren? Falte in Gedanken.
| Figur | Symmetrieachsen |
|---|---|
| Rechteck, das kein Quadrat ist | 2 |
| Quadrat | 4 |
| gleichschenkliges Dreieck, das nicht gleichseitig ist | 1 |
| gleichseitiges Dreieck | 3 |
| Parallelogramm, das weder Rechteck noch Raute ist | 0 |
| Kreis | unendlich viele |
Suche systematisch: erst eine senkrechte Achse, dann eine waagerechte, dann schräge. Beim Rechteck sind es die beiden Mittellinien, die durch die Mitten gegenüberliegender Seiten laufen. Beim Quadrat kommen die beiden Diagonalen dazu. Beim gleichschenkligen Dreieck läuft die Achse von der Spitze zur Mitte der Grundseite, beim gleichseitigen Dreieck läuft so eine Achse von jeder Ecke zur Mitte der gegenüberliegenden Seite. Beim Parallelogramm findest du keine Faltlinie. Beim Kreis klappt jede Gerade durch den Mittelpunkt. Deshalb gibt es nie eine letzte Achse.
Punktsymmetrie
Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer halben Drehung um einen Punkt wieder genau so aussieht wie vorher. Eine halbe Drehung sind 180°. Der Punkt heißt Symmetriezentrum. Stell dir vor, du stichst eine Nadel ins Zentrum und drehst das Blatt auf den Kopf. Die Figur liegt dann wieder genau auf sich selbst.
Jeder Punkt hat einen Gegenpunkt auf der anderen Seite des Zentrums. Das Zentrum liegt genau in der Mitte zwischen beiden. Der Buchstabe N ist punktsymmetrisch. Sein Zentrum liegt in der Mitte des Schrägstrichs.
Drehsymmetrie
Eine Figur ist drehsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um einen Punkt wieder genau auf sich selbst passt. Der Drehwinkel muss größer als 0° und kleiner als 360° sein. Der Punkt heißt Drehzentrum. Eine volle Drehung um 360° bringt jede Figur zurück, deshalb zählt sie nicht.
Der kleinste Winkel, bei dem die Figur auf sich selbst passt, heißt Drehwinkel der Figur. Du erfährst mit einer Rechnung, in wie vielen Stellungen die Figur bei einer ganzen Drehung auf sich passt. Die Ausgangsstellung zählt mit. Ein Quadrat hat den Drehwinkel 90°. Es passt in Stellungen auf sich selbst. Punktsymmetrisch ist eine Figur, wenn die Drehung um 180° sie auf sich abbildet. Das gilt auch bei einem kleineren Drehwinkel: Das Quadrat ist punktsymmetrisch, denn zwei Drehungen um 90° ergeben 180°.
Punktsymmetrie und Drehwinkel bestimmen
Punktsymmetrie und Drehwinkel bestimmen
Welche dieser Figuren sind drehsymmetrisch? Wie groß ist jeweils der Drehwinkel?
| Figur | Drehsymmetrisch | Drehwinkel | Rechnung |
|---|---|---|---|
| gleichseitiges Dreieck | ja | 120° | Stellungen |
| Quadrat | ja | 90° | Stellungen |
| regelmäßiges Sechseck | ja | 60° | Stellungen |
| Rechteck, das kein Quadrat ist | ja, punktsymmetrisch | 180° | Stellungen |
| Parallelogramm, das weder Rechteck noch Raute ist | ja, punktsymmetrisch | 180° | Stellungen |
| gleichschenkliges Dreieck, das nicht gleichseitig ist | nein | keiner | keine |
Das Drehzentrum liegt bei diesen Figuren in der Mitte. Beim Rechteck und beim Parallelogramm ist es der Schnittpunkt der Diagonalen. Ein Windrad mit 8 gleichmäßig verteilten Flügeln hat den Drehwinkel Grad. Umgekehrt hat ein Rad, das nach 72° wieder auf sich passt, genau gleiche Teile.
Eine achsensymmetrische Figur zeichnen
Eine achsensymmetrische Figur zeichnen
Auf Gitterpapier ist die Symmetrieachse die senkrechte Gerade durch . Das heißt: Die Gerade geht senkrecht durch die 4 auf der x-Achse. Du kennst die linke Hälfte eines Hauses. Sie hat die Eckpunkte , , und . Die erste Zahl sagt, wie weit der Punkt nach rechts liegt, die zweite, wie weit nach oben. Ergänze die rechte Hälfte. Der Spiegelpunkt von heißt (sprich: B Strich), der von heißt .
| Punkt | Abstand zur Achse | Spiegelpunkt |
|---|---|---|
| 3 Kästchen links | ||
| 3 Kästchen links | ||
| und | 0, sie liegen auf der Achse | bleiben an ihrem Platz |
Jeder Spiegelpunkt liegt auf gleicher Höhe wie sein Punkt, also bleibt die zweite Zahl gleich. Er liegt auf der anderen Seite der Achse im selben Abstand: . Verbinde mit , mit , mit , mit und mit . Es entsteht ein Haus mit Spitzdach. Der Punkt liegt auf der unteren Kante.
Die Diagonale des Rechtecks als Achse
Die Diagonale des Rechtecks als Achse
Jemand sagt: „Die Diagonale eines Rechtecks ist eine Symmetrieachse, denn sie teilt das Rechteck in zwei gleich große Dreiecke.“
Gleich große Hälften reichen nicht. Sie müssen sich beim Falten genau decken. Faltest du ein Rechteck, das kein Quadrat ist, entlang der Diagonale, passen die Ecken nicht aufeinander. Die Achsen des Rechtecks sind seine beiden Mittellinien. Beim Quadrat sind die Diagonalen dagegen Achsen.
Ohne Faltlinie gibt es keine Symmetrie
Ohne Faltlinie gibt es keine Symmetrie
Jemand sagt: „Das Parallelogramm hat keine Faltlinie, also ist es gar nicht symmetrisch.“
Es stimmt, dass ein Parallelogramm, das weder Rechteck noch Raute ist, keine Symmetrieachse hat. Es ist aber punktsymmetrisch: Nach einer halben Drehung um den Schnittpunkt der Diagonalen liegt es wieder auf sich. Achsensymmetrie und Punktsymmetrie sind zwei verschiedene Eigenschaften. Eine Figur kann beide haben, nur eine oder keine.
Zusammenfassung
Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn sich beide Hälften beim Falten an der Symmetrieachse genau decken. Spiegelpunkte haben denselben Abstand zur Achse.
Das Quadrat hat 4 Symmetrieachsen, das Rechteck 2, das gleichseitige Dreieck 3 und das gleichschenklige Dreieck 1. Das Parallelogramm hat keine, der Kreis unendlich viele.
Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer halben Drehung (180°) um das Symmetriezentrum auf sich selbst passt.
Eine Figur ist drehsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um das Drehzentrum mit einem Winkel zwischen 0° und 360° auf sich selbst passt.
Die Anzahl der Stellungen ist 360° geteilt durch den Drehwinkel.
Eine achsensymmetrische Figur zeichnest du, indem du jeden Punkt im gleichen Abstand und auf gleicher Höhe auf der anderen Seite der Achse abträgst.
Übungen
Welche Figur hat genau eine Symmetrieachse?
Ein Windrad hat 6 gleiche Flügel, die gleichmäßig verteilt sind. Wie groß ist sein Drehwinkel in Grad?
Welcher Buchstabe (in Blockschrift) ist punktsymmetrisch, hat aber keine Symmetrieachse?
Ein Zahnrad passt nach einer Drehung um 40° wieder genau auf sich selbst. Das ist sein kleinster Drehwinkel. Wie viele gleiche Zähne hat es?
Die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade durch . Sie geht senkrecht durch die 6 auf der x-Achse. Der Punkt wird an ihr gespiegelt. Wie lautet die erste Zahl seines Spiegelpunkts (sprich: P Strich)?
Beschreibe, welche Symmetrien ein Quadrat hat. Nenne die Achsen, das Drehzentrum und den Drehwinkel.