Lektion 7.1

Kreis: Mittelpunkt, Radius und Durchmesser

13 min Lesezeit

Auf dem Schulhof soll ein Kreis für ein Spiel entstehen. Du hast ein Stück Kreide, eine Schnur und einen Stock. Du steckst den Stock in den Boden und bindest die Schnur daran fest. Am anderen Ende der Schnur hältst du die Kreide. Jetzt ziehst du die Schnur straff und gehst einmal um den Stock herum. Die Kreide malt dabei eine Linie.

Warum wird daraus ein Kreis und kein Ei? Die Schnur ist immer gleich lang. Jeder Punkt der Linie ist also gleich weit vom Stock entfernt. Genau das macht einen Kreis aus.

Auf dem Papier nimmst du dafür einen Zirkel. In dieser Lektion lernst du, wie die Teile eines Kreises heißen, wie du sie misst und wie du mit dem Zirkel genaue Kreise und schöne Muster zeichnest.

Definition

Kreis und Mittelpunkt

Ein Kreis ist eine runde Linie. Alle Punkte dieser Linie haben denselben Abstand von einem festen Punkt $M$ . Der Punkt $M$ heißt Mittelpunkt. Im Schulhof-Beispiel ist der Stock der Mittelpunkt, und die Länge der Schnur ist der Abstand.

Der Mittelpunkt liegt genau in der Mitte des Kreises. Er gehört nicht zur Kreislinie.

Definition

Radius

Der Radius ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und der Kreislinie. Du kannst ihn als Strecke zeichnen: Sie beginnt in $M$ und endet auf der Kreislinie. Im Schulhof-Beispiel ist der Radius die Schnur.

Die Mehrzahl heißt Radien. Alle Radien eines Kreises sind gleich lang, denn jeder Punkt der Kreislinie hat denselben Abstand zu $M$ . Als Kürzel schreibt man den Buchstaben $r$ .

Definition

Durchmesser

Der Durchmesser ist eine Strecke, die an einer Stelle der Kreislinie beginnt, durch den Mittelpunkt geht und auf der gegenüberliegenden Seite der Kreislinie endet. Stell dir eine Pizza vor, die du genau durch die Mitte durchschneidest. Die Schnittlinie ist ein Durchmesser. Das Kürzel ist $d$ .

Ein Durchmesser besteht aus zwei Radien, die in einer geraden Linie liegen. Er ist deshalb doppelt so lang wie der Radius. Umgekehrt ist der Radius halb so lang wie der Durchmesser. Alle Durchmesser eines Kreises sind gleich lang.

d = 2 \cdot r \qquad r = d : 2

Beispiel

Einen Kreis mit dem Zirkel zeichnen

Zeichne einen Kreis mit dem Radius 4 cm und zeichne einen Durchmesser ein. Wie lang ist er?

Schritt 1: Markiere den Mittelpunkt $M$ mit einem kleinen Kreuz.
Schritt 2: Stelle den Zirkel am Lineal ein: Spitze auf 0 cm, Mine auf 4 cm. Dieser Abstand ist der Radius.
Schritt 3: Steche die Spitze genau in $M$ .
Schritt 4: Halte den Zirkel oben am Kopf fest und drehe ihn mit zwei Fingern gleichmäßig einmal ganz herum. Neige ihn dabei ein wenig in Drehrichtung. Drücke die Spitze fest, damit sie nicht rutscht.
Schritt 5: Zeichne mit dem Lineal eine Strecke, die durch $M$ geht und auf beiden Seiten die Kreislinie berührt. Das ist ein Durchmesser.

d = 2 \cdot 4\,\text{cm} = 8\,\text{cm}

Der Durchmesser besteht aus zwei Radien. Zweimal 4 cm sind 8 cm. Wenn du mit dem Lineal von Kreislinie zu Kreislinie nachmisst, solltest du genau 8 cm ablesen. Weicht das Ergebnis ab, hat sich der Zirkel beim Drehen vermutlich verstellt.

Beispiel

Radius und Durchmesser umrechnen

Rechne um:

a) Ein Fahrradreifen hat einen Durchmesser von 66 cm. Wie groß ist der Radius?
b) Eine Münze hat einen Radius von 12 mm. Wie groß ist der Durchmesser?
c) Du willst einen Kreis mit dem Durchmesser 10 cm zeichnen. Auf welchen Wert stellst du den Zirkel ein?

\begin{aligned} \text{a)}\; & r = 66 : 2 = 33\,\text{cm} \\ \text{b)}\; & d = 2 \cdot 12 = 24\,\text{mm} \\ \text{c)}\; & r = 10 : 2 = 5\,\text{cm} \end{aligned}

In a) und c) kennst du den Durchmesser und teilst durch 2. In b) kennst du den Radius und rechnest mal 2. Bei c) musst du aufpassen: Der Zirkel wird immer auf den Radius eingestellt, hier also auf 5 cm und nicht auf 10 cm.

Beispiel

Kreismuster: die Sechsblume

So zeichnest du eine Blume aus sechs Blättern:

Schritt 1: Zeichne einen Kreis mit $r = 3$ cm um den Mittelpunkt $M$ . Verstelle den Zirkel ab jetzt nicht mehr.
Schritt 2: Wähle einen Punkt auf der Kreislinie und nenne ihn $P_1$ . Steche dort ein und zeichne einen Kreis um $P_1$ . Er schneidet die erste Kreislinie in zwei weiteren Punkten.
Schritt 3: Steche in einem dieser Schnittpunkte ein, nenne ihn $P_2$ , und zeichne einen Kreis um $P_2$ . Mache so weiter mit $P_3$ , $P_4$ , $P_5$ und $P_6$ , immer rund um die erste Kreislinie.
Schritt 4: Der Kreis um $P_6$ schneidet die erste Kreislinie wieder in $P_1$ . Nach dem sechsten Einstich bist du also am Anfang angekommen.

Alle Einstichpunkte liegen auf der ersten Kreislinie, also sind sie genau 3 cm von $M$ entfernt. Darum geht jeder neue Kreis durch $M$ , und alle Blätter treffen sich in der Mitte. Zwei benachbarte Einstichpunkte sind ebenfalls 3 cm voneinander entfernt. Deshalb teilen sie die Kreislinie in sechs gleiche Stücke, und du kommst nach sechs Einstichen genau am Anfang an. Auch Kreise mit demselben Mittelpunkt und verschiedenen Radien ergeben ein Muster, zum Beispiel eine Zielscheibe.

Häufige Fehler

Radius und Durchmesser verwechseln

Jemand soll einen Kreis mit dem Durchmesser 8 cm zeichnen und stellt den Zirkel auf 8 cm ein.

Richtig ist

Der Zirkel misst immer den Radius, also den Abstand von der Spitze zur Mine. Für $d = 8$ cm brauchst du $r = 4$ cm. Mit 8 cm Zirkelabstand wird der Kreis 16 cm breit.

Häufige Fehler

Jede Strecke im Kreis ist ein Durchmesser

Jemand zeichnet eine Strecke von einem Punkt der Kreislinie zu einem anderen Punkt der Kreislinie und nennt sie Durchmesser.

Richtig ist

Ein Durchmesser muss durch den Mittelpunkt gehen. Geht die Strecke nicht durch $M$ , ist sie kürzer als der Durchmesser. Der Radius beginnt dagegen immer im Mittelpunkt und endet auf der Kreislinie.

Zusammenfassung

Ein Kreis ist eine runde Linie, deren Punkte alle denselben Abstand zum Mittelpunkt $M$ haben. Der Mittelpunkt gehört nicht zur Linie.
Der Radius $r$ ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie. Alle Radien eines Kreises sind gleich lang.
Der Durchmesser $d$ geht durch den Mittelpunkt von einer Seite der Kreislinie zur anderen. Es gilt $d = 2 \cdot r$ und $r = d : 2$ .
Zum Zeichnen stellst du den Zirkel auf den Radius ein, steckst die Spitze in $M$ und drehst am Kopf einmal herum.
Kreismuster entstehen aus Kreisen mit demselben Radius um Punkte der Kreislinie oder aus Kreisen mit demselben Mittelpunkt.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Ein Kreis hat den Radius 9 cm. Wie lang ist sein Durchmesser in Zentimetern?

Aufgabe 2Multiple Choice

Welche Aussage über den Kreis stimmt?

Aufgabe 3Numerisch

Ein Teller hat einen Durchmesser von 26 cm. Du willst ihn mit dem Zirkel auf Papier nachzeichnen. Auf wie viel Zentimeter stellst du den Zirkel ein?

Aufgabe 4Numerisch

Du zeichnest drei Kreise um denselben Mittelpunkt mit den Radien 2 cm, 4 cm und 6 cm. Wie breit ist der größte Kreis von einem Rand zum gegenüberliegenden Rand in Zentimetern?

Aufgabe 5Multiple Choice

Du zeichnest einen Kreis mit $r = 3$ cm um $M$ . Dann stichst du die Zirkelspitze in einen Punkt $P$ der Kreislinie und zeichnest ohne Verstellen einen zweiten Kreis. Wo liegt $M$ ?

Aufgabe 6Freitext

Beschreibe in eigenen Worten, wie du einen Kreis mit dem Durchmesser 10 cm mit dem Zirkel zeichnest und wie du kontrollierst, ob er stimmt.