Lektion 2.2

Primfaktorzerlegung, ggT und kgV

15 min Lesezeit

Zwei Buslinien starten um 8 Uhr gleichzeitig an der Haltestelle vor deiner Schule. Linie A fährt alle 6 Minuten, Linie B alle 8 Minuten. Wann stehen beide Busse zum nächsten Mal gleichzeitig dort?

Eine zweite Frage: Für das Schulfest hast du 12 Äpfel und 18 Birnen. Du willst möglichst viele gleiche Obstkörbe packen. In jedem Korb sollen gleich viele Äpfel und gleich viele Birnen liegen. Nichts soll übrig bleiben. Wie viele Körbe sind möglich?

Beide Fragen suchen etwas, das zu zwei Zahlen gleichzeitig passt. Bei den Bussen ist es ein gemeinsames Vielfaches, bei den Körben ein gemeinsamer Teiler. Dafür lernst du erst, jede Zahl in ihre Bausteine zu zerlegen: die Primzahlen.

Definition

Primfaktorzerlegung

Jede Zahl größer als 1 lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Primzahlen heißen Primfaktoren. Das ganze Produkt heißt Primfaktorzerlegung. Eine Primzahl ist ihre eigene Zerlegung. Bei jeder Zahl gibt es nur eine Zerlegung, wenn du die Reihenfolge der Faktoren nicht beachtest.

So findest du sie: Teile die Zahl durch die kleinste Primzahl, die ohne Rest aufgeht. Mit dem Ergebnis machst du genauso weiter, bis 1 herauskommt. Die Primzahlen, durch die du geteilt hast, sind die Primfaktoren. Hier die Rechnung für 60:

Zahl	Teile durch	Ergebnis
60	2	30
30	2	15
15	3	5
5	5	1

Die Teiler in der zweiten Spalte sind 2, 2, 3 und 5. Gleiche Faktoren schreibst du als Potenz: $2 \cdot 2 = 2^2$ .

60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5

Beispiel

Zahlen zerlegen

Zerlege 36 und 84 in Primfaktoren.

36: Es ist 36 : 2 = 18, dann 18 : 2 = 9, dann 9 : 3 = 3, dann 3 : 3 = 1.
84: Es ist 84 : 2 = 42, dann 42 : 2 = 21, dann 21 : 3 = 7, dann 7 : 7 = 1.

\begin{aligned} 36 &= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2 \\ 84 &= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \end{aligned}

Bei 36 geht die 2 zweimal auf. Danach bleibt 9, und das ist ungerade. Jetzt probierst du die 3. Bei 84 ist 21 durch 3 teilbar, denn die Quersumme ist 3. Übrig bleibt die Primzahl 7. Zur Probe multiplizierst du: $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$ und $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ .

Definition

Gemeinsame Teiler und ggT

Zwei Zahlen können dieselben Teiler haben. Du kennst die Teilermengen: $T_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ und $T_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ . Zahlen, die in beiden Mengen stehen, heißen gemeinsame Teiler. Hier sind das 1, 2, 3 und 6. Der größte von ihnen heißt größter gemeinsamer Teiler, kurz ggT. Man schreibt ggT(12, 18) = 6.

Mit Primfaktoren geht es schneller, auch bei großen Zahlen. Zerlege beide Zahlen. Nimm jeden Primfaktor, der in beiden Zerlegungen vorkommt. Du nimmst ihn so oft, wie er in beiden mindestens vorkommt. Dann multiplizierst du diese Faktoren. Bei 12 und 18 kommt die 2 in 12 zweimal vor, in 18 nur einmal. Also nimmst du sie einmal. Die 3 kommt in 12 einmal und in 18 zweimal vor. Also nimmst du sie auch einmal.

12 = 2^2 \cdot 3 \qquad 18 = 2 \cdot 3^2 \qquad \text{ggT}(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6

Definition

Gemeinsame Vielfache und kgV

Auch Vielfache können gemeinsam sein. Die Vielfachen von 6 und von 8 bilden die Mengen $V_6 = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, \ldots\}$ und $V_8 = \{8, 16, 24, 32, 40, 48, \ldots\}$ . Zahlen, die in beiden Mengen stehen, heißen gemeinsame Vielfache: 24, 48 und so weiter. Das kleinste von ihnen heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches, kurz kgV. Man schreibt kgV(6, 8) = 24.

Mit Primfaktoren nimmst du jeden Primfaktor, der in mindestens einer der beiden Zerlegungen vorkommt. Du nimmst ihn so oft, wie er in einer von beiden höchstens vorkommt. Dann multiplizierst du. Bei 6 und 8 kommt die 2 in 8 dreimal vor, die 3 in 6 einmal.

6 = 2 \cdot 3 \qquad 8 = 2^3 \qquad \text{kgV}(6, 8) = 2^3 \cdot 3 = 24

Beispiel

Die Fragen vom Anfang

Löse die beiden Fragen aus der Einleitung.

Obstkörbe: Die Zahl der Körbe muss 12 und 18 ohne Rest teilen. Sie soll möglichst groß sein. Das ist der ggT. Es ist ggT(12, 18) = 6. Du packst 6 Körbe. In jeden kommen 12 : 6 = 2 Äpfel und 18 : 6 = 3 Birnen.

Busse: Linie A steht nach 6, 12, 18, 24, ... Minuten an der Haltestelle, Linie B nach 8, 16, 24, ... Minuten. Beide treffen sich zu einer Zeit, die ein gemeinsames Vielfaches ist. Du suchst das erste Mal, also das kleinste. Das ist das kgV. Es ist kgV(6, 8) = 24.

\text{ggT}(12, 18) = 6 \qquad \text{kgV}(6, 8) = 24

Du packst 6 Körbe mit je 2 Äpfeln und 3 Birnen. Die Busse stehen nach 24 Minuten wieder zusammen, also um 8:24 Uhr.

Beispiel

ggT und kgV mit Primfaktoren

Bestimme ggT(36, 60) und kgV(36, 60). Die Zerlegungen kennst du schon: $36 = 2^2 \cdot 3^2$ und $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ .

ggT: Die 2 kommt in beiden mindestens zweimal vor, die 3 in beiden mindestens einmal. Die 5 steht nur in 60, sie zählt nicht.

kgV: Die 2 kommt höchstens zweimal vor, die 3 höchstens zweimal, die 5 einmal.

\begin{aligned} \text{ggT}(36, 60) &= 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 \\ \text{kgV}(36, 60) &= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180 \end{aligned}

Zur Probe: 36 : 12 = 3 und 60 : 12 = 5, das passt. Und 180 : 36 = 5 sowie 180 : 60 = 3, das passt auch.

Definition

Teilerfremde Zahlen

Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn sie außer der 1 keinen gemeinsamen Teiler haben. Ihr ggT ist dann 1. Ein Beispiel sind 8 und 15. Es ist $T_8 = \{1, 2, 4, 8\}$ und $T_{15} = \{1, 3, 5, 15\}$ . Gemeinsam ist nur die 1. Dabei ist keine der beiden Zahlen eine Primzahl. Zwei verschiedene Primzahlen sind immer teilerfremd.

In den Zerlegungen teilerfremder Zahlen steht kein Primfaktor in beiden. Deshalb ist das kgV einfach das Produkt der beiden Zahlen.

\text{ggT}(8, 15) = 1 \qquad \text{kgV}(8, 15) = 8 \cdot 15 = 120

Häufige Fehler

Die Zerlegung ist nicht zu Ende

Jemand schreibt: „60 = 6 · 10 ist die Primfaktorzerlegung.“

Richtig ist

6 und 10 sind keine Primzahlen. Zerlege weiter: 6 = 2 · 3 und 10 = 2 · 5. Die Primfaktorzerlegung ist $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ . Sie ist erst fertig, wenn nur noch Primzahlen dastehen. Die 1 gehört nicht dazu.

Häufige Fehler

ggT und kgV verwechselt

Jemand sagt: „ggT(12, 18) = 36.“

Richtig ist

Der ggT ist ein Teiler. Er ist nie größer als die kleinere der beiden Zahlen. Das kgV ist ein Vielfaches. Es ist nie kleiner als die größere der beiden Zahlen. Die 36 ist das kgV. Der ggT ist 6.

Häufige Fehler

Einfach multiplizieren

Jemand rechnet: „kgV(12, 18) = 12 · 18 = 216.“

Richtig ist

216 ist zwar ein gemeinsames Vielfaches, aber nicht das kleinste. Die Abkürzung mit dem Produkt gilt nur für teilerfremde Zahlen. 12 und 18 haben den ggT 6. Das kgV ist 36.

Zusammenfassung

Jede Zahl größer als 1 ist ein Produkt von Primzahlen. Das ist ihre Primfaktorzerlegung. Du findest sie, indem du immer durch die kleinste passende Primzahl teilst.
Gleiche Primfaktoren schreibst du als Potenz, zum Beispiel $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ .
Der ggT ist der größte Teiler, den zwei Zahlen gemeinsam haben. Du bildest ihn aus den Primfaktoren, die in beiden vorkommen, jeweils mit der kleineren Anzahl.
Das kgV ist das kleinste Vielfache, das zwei Zahlen gemeinsam haben. Du bildest es aus allen Primfaktoren, jeweils mit der größeren Anzahl.
Der ggT hilft beim gleichmäßigen Verteilen. Das kgV hilft, wenn zwei Abläufe sich wieder treffen.
Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist. Dann ist das kgV das Produkt der beiden Zahlen.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Welche dieser Schreibweisen ist die Primfaktorzerlegung von 72?

Aufgabe 2Numerisch

Bestimme den ggT von 48 und 60.

Aufgabe 3Numerisch

Bestimme das kgV von 8 und 12.

Aufgabe 4Multiple Choice

Welche beiden Zahlen sind teilerfremd?

Aufgabe 5Numerisch

Ein Stoffstück ist 18 cm breit und 30 cm lang. Es soll ohne Rest in gleich große Quadrate geschnitten werden. Die Quadrate sollen so groß wie möglich sein. Wie viele Quadrate entstehen?

Aufgabe 6Freitext

Bestimme ggT(45, 75) und kgV(45, 75) mit Primfaktoren. Schreibe deinen Rechenweg auf.

Lektion 2.2 · Teilbarkeit und Zahlensysteme

Primfaktorzerlegung, ggT und kgV

Zwei Buslinien starten um 8 Uhr gleichzeitig an der Haltestelle vor deiner Schule. Linie A fährt alle 6 Minuten, Linie B alle 8 Minuten. Wann stehen beide Busse zum nächsten Mal gleichzeitig dort?

Definition

Primfaktorzerlegung

Zahl	Teile durch	Ergebnis
60	2	30
30	2	15
15	3	5
5	5	1

Die Teiler in der zweiten Spalte sind 2, 2, 3 und 5. Gleiche Faktoren schreibst du als Potenz: $2 \cdot 2 = 2^2$ .

60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5

Beispiel

Zahlen zerlegen

Zerlege 36 und 84 in Primfaktoren.

36: Es ist 36 : 2 = 18, dann 18 : 2 = 9, dann 9 : 3 = 3, dann 3 : 3 = 1.
84: Es ist 84 : 2 = 42, dann 42 : 2 = 21, dann 21 : 3 = 7, dann 7 : 7 = 1.

\begin{aligned} 36 &= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2 \\ 84 &= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \end{aligned}

Definition

Gemeinsame Teiler und ggT

12 = 2^2 \cdot 3 \qquad 18 = 2 \cdot 3^2 \qquad \text{ggT}(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6

Definition

Gemeinsame Vielfache und kgV

6 = 2 \cdot 3 \qquad 8 = 2^3 \qquad \text{kgV}(6, 8) = 2^3 \cdot 3 = 24

Beispiel

Die Fragen vom Anfang

Löse die beiden Fragen aus der Einleitung.

\text{ggT}(12, 18) = 6 \qquad \text{kgV}(6, 8) = 24

Du packst 6 Körbe mit je 2 Äpfeln und 3 Birnen. Die Busse stehen nach 24 Minuten wieder zusammen, also um 8:24 Uhr.

Beispiel

ggT und kgV mit Primfaktoren

Bestimme ggT(36, 60) und kgV(36, 60). Die Zerlegungen kennst du schon: $36 = 2^2 \cdot 3^2$ und $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ .

ggT: Die 2 kommt in beiden mindestens zweimal vor, die 3 in beiden mindestens einmal. Die 5 steht nur in 60, sie zählt nicht.

kgV: Die 2 kommt höchstens zweimal vor, die 3 höchstens zweimal, die 5 einmal.

\begin{aligned} \text{ggT}(36, 60) &= 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 \\ \text{kgV}(36, 60) &= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180 \end{aligned}

Zur Probe: 36 : 12 = 3 und 60 : 12 = 5, das passt. Und 180 : 36 = 5 sowie 180 : 60 = 3, das passt auch.

Definition

Teilerfremde Zahlen

In den Zerlegungen teilerfremder Zahlen steht kein Primfaktor in beiden. Deshalb ist das kgV einfach das Produkt der beiden Zahlen.

\text{ggT}(8, 15) = 1 \qquad \text{kgV}(8, 15) = 8 \cdot 15 = 120

Häufige Fehler

Die Zerlegung ist nicht zu Ende

Jemand schreibt: „60 = 6 · 10 ist die Primfaktorzerlegung.“

Häufige Fehler

ggT und kgV verwechselt

Jemand sagt: „ggT(12, 18) = 36.“

Der ggT ist ein Teiler. Er ist nie größer als die kleinere der beiden Zahlen. Das kgV ist ein Vielfaches. Es ist nie kleiner als die größere der beiden Zahlen. Die 36 ist das kgV. Der ggT ist 6.

Häufige Fehler

Einfach multiplizieren

Jemand rechnet: „kgV(12, 18) = 12 · 18 = 216.“

216 ist zwar ein gemeinsames Vielfaches, aber nicht das kleinste. Die Abkürzung mit dem Produkt gilt nur für teilerfremde Zahlen. 12 und 18 haben den ggT 6. Das kgV ist 36.

Zusammenfassung

Jede Zahl größer als 1 ist ein Produkt von Primzahlen. Das ist ihre Primfaktorzerlegung. Du findest sie, indem du immer durch die kleinste passende Primzahl teilst.
Gleiche Primfaktoren schreibst du als Potenz, zum Beispiel $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ .
Der ggT ist der größte Teiler, den zwei Zahlen gemeinsam haben. Du bildest ihn aus den Primfaktoren, die in beiden vorkommen, jeweils mit der kleineren Anzahl.
Das kgV ist das kleinste Vielfache, das zwei Zahlen gemeinsam haben. Du bildest es aus allen Primfaktoren, jeweils mit der größeren Anzahl.
Der ggT hilft beim gleichmäßigen Verteilen. Das kgV hilft, wenn zwei Abläufe sich wieder treffen.
Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist. Dann ist das kgV das Produkt der beiden Zahlen.