Lektion 2.3

Andere Zahlensysteme

15 min Lesezeit

Ein Lichtschalter hat nur zwei Stellungen: aus und an. Mehr kann er nicht. Trotzdem speichern Computer mit solchen Schaltern alle Zahlen, Bilder und Lieder. Wie schreibt man eine Zahl auf, wenn man nur zwei Zeichen hat?

Noch eine Frage: Auf mancher Kirchturmuhr stehen statt 1, 2, 3 die Zeichen I, II, III, IV. An einem alten Gebäude steht vielleicht MCMXCIX. Wie liest man das?

Zahlen kann man also ganz verschieden aufschreiben. In dieser Lektion vergleichst du unser Zahlensystem mit dem der Computer. Danach lernst du die römischen Zahlzeichen kennen.

Definition

Das Dezimalsystem noch einmal

Unser Dezimalsystem hat zehn Ziffern: 0 bis 9. Es ist ein Stellenwertsystem. Der Wert einer Ziffer hängt davon ab, an welcher Stelle sie steht. Von rechts nach links wird der Stellenwert jedes Mal zehnmal so groß: 1, 10, 100, 1 000 und so weiter. Die Zahl 10 nennt man die Basis dieses Systems. Sind auf einer Stelle alle Ziffern verbraucht, beginnt links die nächste Stelle. Nach der 9 kommt die 10.

3\,405 = 3 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 5 \cdot 1

Definition

Das Dualsystem

Computer speichern Zahlen mit Schaltern, die an oder aus sind. Dafür passt ein System mit nur zwei Ziffern: 0 und 1. Es heißt Dualsystem (auch Zweiersystem oder Binärsystem). Seine Basis ist 2. Es ist ebenfalls ein Stellenwertsystem. Nur sind die Stellenwerte andere: Von rechts nach links verdoppeln sie sich jedes Mal. Das sind 1, 2, 4, 8, 16, 32 und so weiter.

Merkmal	Dezimalsystem	Dualsystem
Basis	10	2
Ziffern	0 bis 9	0 und 1
Stellenwerte von rechts	1, 10, 100, 1 000	1, 2, 4, 8, 16
Neue Stelle ab	10 Einern	2 Einern

Beim Zählen siehst du, wie das zusammenpasst. Im Dezimalsystem sind nach der 9 alle Ziffern verbraucht, also folgt die 10. Im Dualsystem sind sie schon nach der 1 verbraucht. Darum folgt auf die 1 die Zahl 10. Das ist eine Zwei und kein Einer. Danach kommt 11. Dann sind wieder alle Ziffern verbraucht, und es folgt 100. Das ist eine Vier.

Dezimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Dual	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010

Damit man weiß, welches System gemeint ist, schreibt man die Basis klein dahinter. $101_2$ ist die Dualzahl mit dem Wert 5. Du liest sie Ziffer für Ziffer: „eins null eins“. Eine einzelne Ziffer 0 oder 1 heißt auch Bit.

Beispiel

Dualzahl in Dezimalzahl umrechnen

Wandle $1011_2$ und $110101_2$ in Dezimalzahlen um. Du schreibst die Stellenwerte von rechts her über die Ziffern. Dann addierst du die Stellenwerte, unter denen eine 1 steht.

Zahl	32	16	8	4	2	1
$1011_2$	0	0	1	0	1	1
$110101_2$	1	1	0	1	0	1

\begin{aligned} 1011_2 &= 8 + 2 + 1 = 11 \\ 110101_2 &= 32 + 16 + 4 + 1 = 53 \end{aligned}

Die Zahl $1011_2$ hat nur vier Stellen. Die Stellen für 32 und 16 sind leer, das heißt, dort steht eine 0. Eine 0 bringt nichts zur Summe. Darum addierst du nur die Stellenwerte mit einer 1.

Beispiel

Dezimalzahl in Dualzahl umrechnen

Schreibe 37 als Dualzahl. Du gehst die Stellenwerte von links nach rechts durch, beginnend bei 128. Passt der Stellenwert in die Restzahl, schreibst du eine 1 und ziehst ihn ab. Passt er nicht, schreibst du eine 0.

Stellenwert	128	64	32	16	8	4	2	1
Ziffer	0	0	1	0	0	1	0	1
Rest danach	37	37	5	5	5	1	1	0

37 = 32 + 4 + 1 = 100101_2

128 und 64 passen nicht in 37. Die 32 passt, es bleibt 37 − 32 = 5. Die 16 und die 8 passen nicht in 5. Die 4 passt, es bleibt 1. Die 2 passt nicht, die 1 passt. Die Nullen ganz links lässt du weg. Zur Probe: 32 + 4 + 1 = 37.

Definition

Römische Zahlzeichen

Die Römer schrieben Zahlen mit Buchstaben. Sieben Zeichen reichen:

Zeichen	I	V	X	L	C	D	M
Wert	1	5	10	50	100	500	1 000

Es gelten diese Regeln:

Steht ein Zeichen rechts von einem gleich großen oder größeren, wird addiert. VIII = 5 + 1 + 1 + 1 = 8 und XVI = 16.
Dasselbe Zeichen steht höchstens dreimal hintereinander. III = 3 und CCC = 300. V, L und D schreibt man nur einmal.
Steht ein kleineres Zeichen vor einem größeren, wird abgezogen. IV = 5 − 1 = 4 und IX = 9. Das gibt es nur als IV, IX, XL, XC, CD und CM.

Die Römer bauten ihre Zahlen nach dem Muster dieser Tabelle. Die Spaltenüberschrift sagt, wie viele Einer, Zehner oder Hunderter du brauchst. Tausender schreibst du mit M, MM und MMM.

Stelle	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Einer	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX
Zehner	X	XX	XXX	XL	L	LX	LXX	LXXX	XC
Hunderter	C	CC	CCC	CD	D	DC	DCC	DCCC	CM

Römische Zahlen sind kein Stellenwertsystem. Jedes Zeichen hat immer denselben Wert, egal wo es steht. Nur ob du addierst oder abziehst, hängt von der Reihenfolge ab. Eine Null gibt es nicht. Schriftlich untereinander addieren wie bei unseren Zahlen kannst du deshalb nicht.

Beispiel

Römische Zahlen lesen

Lies MCMXCIX, XLVII und MMXXVI. Du zerlegst die Zahl von links in Blöcke aus der Tabelle.

\begin{aligned} \text{MCMXCIX} &= \text{M} + \text{CM} + \text{XC} + \text{IX} = 1000 + 900 + 90 + 9 = 1999 \\ \text{XLVII} &= \text{XL} + \text{VII} = 40 + 7 = 47 \\ \text{MMXXVI} &= \text{MM} + \text{XX} + \text{VI} = 2000 + 20 + 6 = 2026 \end{aligned}

In MCMXCIX steht ein C vor einem M. Das ist CM = 900. Das X vor dem C ist XC = 90. Das I vor dem X ist IX = 9. Das M ganz links ist 1000. MMXXVI ist das Jahr 2026.

Beispiel

Römische Zahlen schreiben

Schreibe 1984 und 49 mit römischen Zahlzeichen. Du zerlegst die Zahl in Tausender, Hunderter, Zehner und Einer. Die Blöcke liest du aus der Tabelle ab.

\begin{aligned} 1984 &= 1000 + 900 + 80 + 4 \to \text{M} \, \text{CM} \, \text{LXXX} \, \text{IV} = \text{MCMLXXXIV} \\ 49 &= 40 + 9 \to \text{XL} \, \text{IX} = \text{XLIX} \end{aligned}

Bei 49 darfst du nicht IL schreiben. Das I steht nur vor V und X. Du schreibst die 40 und die 9 getrennt: XL und IX.

Häufige Fehler

10 im Dualsystem ist nicht zehn

Jemand liest $10_2$ als „zehn“ und $11_2$ als „elf“.

Richtig ist

Das sind Dualzahlen. $10_2$ besteht aus einer Zwei und null Einern und hat den Wert 2. $11_2$ hat den Wert 2 + 1 = 3. Du liest sie Ziffer für Ziffer, zum Beispiel „eins null“. Die kleine 2 zeigt, dass es eine Dualzahl ist.

Häufige Fehler

Falsche Stellenwerte im Dualsystem

Jemand schreibt unter $1101_2$ die Stellenwerte 4, 3, 2, 1 und rechnet 4 + 3 + 1 = 8.

Richtig ist

Im Dualsystem verdoppelt sich der Stellenwert bei jedem Schritt nach links: 1, 2, 4, 8. Richtig ist $1101_2 = 8 + 4 + 1 = 13$ .

Häufige Fehler

Römische Zahlen falsch abgekürzt

Jemand schreibt 4 als IIII und 99 als IC.

Richtig ist

Dasselbe Zeichen steht höchstens dreimal hintereinander. Die 4 schreibst du IV. Das I darf nur vor V und X stehen. Die 99 baust du aus 90 und 9: XC und IX, also XCIX.

Zusammenfassung

Das Dezimalsystem hat die Basis 10, die Ziffern 0 bis 9 und die Stellenwerte 1, 10, 100, 1 000 und so weiter.
Das Dualsystem hat die Basis 2, nur die Ziffern 0 und 1 und die Stellenwerte 1, 2, 4, 8, 16 und so weiter. Computer nutzen es, weil ein Schalter an oder aus sein kann.
Dualzahl in Dezimalzahl: Stellenwerte über die Ziffern schreiben und die addieren, unter denen eine 1 steht.
Dezimalzahl in Dualzahl: Die Stellenwerte von links nach rechts durchgehen. Passt einer, schreibst du 1 und ziehst ihn ab, sonst 0.
Römische Zahlzeichen sind I, V, X, L, C, D und M. Kleinere Zeichen rechts werden addiert, ein kleineres Zeichen vor einem größeren wird abgezogen. Höchstens dreimal dasselbe Zeichen.
Römische Zahlen sind kein Stellenwertsystem und haben keine Null.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Wandle die Dualzahl $1101_2$ in eine Dezimalzahl um.

Aufgabe 2Multiple Choice

Welche Dualzahl hat den Wert 9?

Aufgabe 3Multiple Choice

Welche Zahl ist XCIV?

Aufgabe 4Numerisch

Schreibe 45 als Dualzahl. Tippe die Dualzahl nur mit ihren Ziffern ein, ohne die kleine 2.

Aufgabe 5Numerisch

Welche Dezimalzahl steht hinter MCMXC? Schreibe die Zahl ohne Punkt.

Aufgabe 6Freitext

Schreibe 1949 mit römischen Zahlzeichen. Zeige, wie du die Zahl in Blöcke zerlegst.

Lektion 2.3 · Teilbarkeit und Zahlensysteme

Andere Zahlensysteme

Noch eine Frage: Auf mancher Kirchturmuhr stehen statt 1, 2, 3 die Zeichen I, II, III, IV. An einem alten Gebäude steht vielleicht MCMXCIX. Wie liest man das?

Zahlen kann man also ganz verschieden aufschreiben. In dieser Lektion vergleichst du unser Zahlensystem mit dem der Computer. Danach lernst du die römischen Zahlzeichen kennen.

Definition

Das Dezimalsystem noch einmal

3\,405 = 3 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 5 \cdot 1

Definition

Das Dualsystem

Merkmal	Dezimalsystem	Dualsystem
Basis	10	2
Ziffern	0 bis 9	0 und 1
Stellenwerte von rechts	1, 10, 100, 1 000	1, 2, 4, 8, 16
Neue Stelle ab	10 Einern	2 Einern

Dezimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Dual	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010

Beispiel

Dualzahl in Dezimalzahl umrechnen

Wandle $1011_2$ und $110101_2$ in Dezimalzahlen um. Du schreibst die Stellenwerte von rechts her über die Ziffern. Dann addierst du die Stellenwerte, unter denen eine 1 steht.

Zahl	32	16	8	4	2	1
$1011_2$	0	0	1	0	1	1
$110101_2$	1	1	0	1	0	1

\begin{aligned} 1011_2 &= 8 + 2 + 1 = 11 \\ 110101_2 &= 32 + 16 + 4 + 1 = 53 \end{aligned}

Die Zahl $1011_2$ hat nur vier Stellen. Die Stellen für 32 und 16 sind leer, das heißt, dort steht eine 0. Eine 0 bringt nichts zur Summe. Darum addierst du nur die Stellenwerte mit einer 1.

Beispiel

Dezimalzahl in Dualzahl umrechnen

Stellenwert	128	64	32	16	8	4	2	1
Ziffer	0	0	1	0	0	1	0	1
Rest danach	37	37	5	5	5	1	1	0

37 = 32 + 4 + 1 = 100101_2

Definition

Römische Zahlzeichen

Die Römer schrieben Zahlen mit Buchstaben. Sieben Zeichen reichen:

Zeichen	I	V	X	L	C	D	M
Wert	1	5	10	50	100	500	1 000

Es gelten diese Regeln:

Steht ein Zeichen rechts von einem gleich großen oder größeren, wird addiert. VIII = 5 + 1 + 1 + 1 = 8 und XVI = 16.
Dasselbe Zeichen steht höchstens dreimal hintereinander. III = 3 und CCC = 300. V, L und D schreibt man nur einmal.
Steht ein kleineres Zeichen vor einem größeren, wird abgezogen. IV = 5 − 1 = 4 und IX = 9. Das gibt es nur als IV, IX, XL, XC, CD und CM.

Die Römer bauten ihre Zahlen nach dem Muster dieser Tabelle. Die Spaltenüberschrift sagt, wie viele Einer, Zehner oder Hunderter du brauchst. Tausender schreibst du mit M, MM und MMM.

Stelle	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Einer	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX
Zehner	X	XX	XXX	XL	L	LX	LXX	LXXX	XC
Hunderter	C	CC	CCC	CD	D	DC	DCC	DCCC	CM

Beispiel

Römische Zahlen lesen

Lies MCMXCIX, XLVII und MMXXVI. Du zerlegst die Zahl von links in Blöcke aus der Tabelle.

\begin{aligned} \text{MCMXCIX} &= \text{M} + \text{CM} + \text{XC} + \text{IX} = 1000 + 900 + 90 + 9 = 1999 \\ \text{XLVII} &= \text{XL} + \text{VII} = 40 + 7 = 47 \\ \text{MMXXVI} &= \text{MM} + \text{XX} + \text{VI} = 2000 + 20 + 6 = 2026 \end{aligned}

In MCMXCIX steht ein C vor einem M. Das ist CM = 900. Das X vor dem C ist XC = 90. Das I vor dem X ist IX = 9. Das M ganz links ist 1000. MMXXVI ist das Jahr 2026.

Beispiel

Römische Zahlen schreiben

Schreibe 1984 und 49 mit römischen Zahlzeichen. Du zerlegst die Zahl in Tausender, Hunderter, Zehner und Einer. Die Blöcke liest du aus der Tabelle ab.

\begin{aligned} 1984 &= 1000 + 900 + 80 + 4 \to \text{M} \, \text{CM} \, \text{LXXX} \, \text{IV} = \text{MCMLXXXIV} \\ 49 &= 40 + 9 \to \text{XL} \, \text{IX} = \text{XLIX} \end{aligned}

Bei 49 darfst du nicht IL schreiben. Das I steht nur vor V und X. Du schreibst die 40 und die 9 getrennt: XL und IX.

Häufige Fehler

10 im Dualsystem ist nicht zehn

Jemand liest $10_2$ als „zehn“ und $11_2$ als „elf“.

Häufige Fehler

Falsche Stellenwerte im Dualsystem

Jemand schreibt unter $1101_2$ die Stellenwerte 4, 3, 2, 1 und rechnet 4 + 3 + 1 = 8.

Im Dualsystem verdoppelt sich der Stellenwert bei jedem Schritt nach links: 1, 2, 4, 8. Richtig ist $1101_2 = 8 + 4 + 1 = 13$ .

Häufige Fehler

Römische Zahlen falsch abgekürzt

Jemand schreibt 4 als IIII und 99 als IC.

Dasselbe Zeichen steht höchstens dreimal hintereinander. Die 4 schreibst du IV. Das I darf nur vor V und X stehen. Die 99 baust du aus 90 und 9: XC und IX, also XCIX.

Zusammenfassung

Das Dezimalsystem hat die Basis 10, die Ziffern 0 bis 9 und die Stellenwerte 1, 10, 100, 1 000 und so weiter.
Das Dualsystem hat die Basis 2, nur die Ziffern 0 und 1 und die Stellenwerte 1, 2, 4, 8, 16 und so weiter. Computer nutzen es, weil ein Schalter an oder aus sein kann.
Dualzahl in Dezimalzahl: Stellenwerte über die Ziffern schreiben und die addieren, unter denen eine 1 steht.
Dezimalzahl in Dualzahl: Die Stellenwerte von links nach rechts durchgehen. Passt einer, schreibst du 1 und ziehst ihn ab, sonst 0.
Römische Zahlzeichen sind I, V, X, L, C, D und M. Kleinere Zeichen rechts werden addiert, ein kleineres Zeichen vor einem größeren wird abgezogen. Höchstens dreimal dasselbe Zeichen.
Römische Zahlen sind kein Stellenwertsystem und haben keine Null.