Teilbarkeit und Primzahlen
Dein Sportlehrer hat 24 Kinder in der Halle. Er will gleich große Gruppen bilden, und kein Kind soll übrig bleiben. Zwei Gruppen mit je 12 Kindern gehen. Drei Gruppen mit je 8 Kindern gehen auch. Vier Gruppen mit je 5 Kindern gehen nicht, denn 4 · 5 sind nur 20.
Am nächsten Tag sind nur 23 Kinder da. Jetzt wird es schwierig. Du kannst eine einzige Gruppe mit allen 23 Kindern bilden oder jedes Kind allein lassen. Etwas anderes geht nicht auf. Warum haben manche Zahlen viele Möglichkeiten und andere fast keine?
In dieser Lektion lernst du, welche Zahlen sich ohne Rest teilen lassen und wie du das schnell erkennst. Außerdem lernst du die Zahlen kennen, die sich fast gar nicht teilen lassen: die Primzahlen.
Teiler, Vielfache und Teilermenge
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn die Division ohne Rest aufgeht. 24 ist durch 6 teilbar, denn 24 : 6 = 4. Dann heißt 6 ein Teiler von 24. Und 24 heißt ein Vielfaches von 6, denn 24 = 4 · 6.
Die Vielfachen einer Zahl sind die Zahlen ihrer Einmaleinsreihe. Die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18, 24 und so weiter. Es gibt unendlich viele. Die 0 lassen wir hier weg. Jede Zahl hat die Teiler 1 und sich selbst.
Willst du mehrere Zahlen zusammen aufschreiben, setzt du sie in geschweifte Klammern. Das nennt man eine Menge. Alle Teiler einer Zahl bilden ihre Teilermenge. Für die Teilermenge von 24 schreibt man (T wie Teiler). Für die Vielfachen von 6 schreibt man (V wie Vielfache). Die drei Punkte bedeuten „und so weiter“.
Alle Teiler finden
Alle Teiler finden
Finde alle Teiler von 24 und von 36.
Du suchst Zahlenpaare, deren Produkt die Zahl ergibt. Du probierst der Reihe nach 1, 2, 3 und so weiter. Passt eine Zahl, schreibst du sie mit ihrem Partner auf. Du hörst auf, sobald der Partner nicht mehr größer ist als die Zahl, die du probierst. Danach käme jedes Paar nur noch umgekehrt.
Die 5 passt bei beiden Zahlen nicht, denn es bliebe ein Rest. Bei 24 ist nach 4 · 6 Schluss, denn die nächste Zahl, die 6, ist schon als Partner da. Bei 36 ist 6 · 6 = 36. Hier ist der Partner die Zahl selbst. Du schreibst die 6 nur einmal in die Menge. Darum hat 24 acht Teiler und 36 neun Teiler.
Gerade und ungerade Zahlen
Zahlen, die durch 2 teilbar sind, heißen gerade: 0, 2, 4, 6, 8, 10 und so weiter. Alle anderen Zahlen heißen ungerade: 1, 3, 5, 7, 9 und so weiter. Teilst du eine ungerade Zahl durch 2, bleibt immer der Rest 1. Gerade und ungerade Zahlen wechseln sich ab. Die 0 zählt als gerade.
Teilbarkeitsregeln
Bei großen Zahlen willst du oft wissen, ob sie durch eine andere Zahl teilbar sind, ohne zu dividieren. Dafür gibt es Regeln. Für zwei davon brauchst du ein neues Wort: Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Die Quersumme von 2 376 ist 2 + 3 + 7 + 6 = 18.
| Teilbar durch | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| 2 | Die letzte Ziffer ist 0, 2, 4, 6 oder 8. | 3 574 |
| 5 | Die letzte Ziffer ist 0 oder 5. | 2 465 |
| 10 | Die letzte Ziffer ist 0. | 7 130 |
| 4 | Die letzten beiden Ziffern bilden eine Zahl, die durch 4 teilbar ist. | 5 312, denn 12 : 4 = 3 |
| 25 | Die letzten beiden Ziffern sind 00, 25, 50 oder 75. | 1 475 |
| 3 | Die Quersumme ist durch 3 teilbar. | 4 512, denn 4 + 5 + 1 + 2 = 12 |
| 9 | Die Quersumme ist durch 9 teilbar. | 3 483, denn 3 + 4 + 8 + 3 = 18 |
| 6 | Die Zahl ist durch 2 und durch 3 teilbar. | 4 512 |
Teilbarkeit prüfen
Teilbarkeit prüfen
Prüfe, ob 2 376 durch 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 und 25 teilbar ist.
- Durch 2: Die letzte Ziffer ist 6. Ja.
- Durch 5 und 10: Die letzte Ziffer ist weder 5 noch 0. Nein.
- Durch 3 und 9: Die Quersumme ist 18. Die 18 ist durch 3 und durch 9 teilbar. Ja, beides.
- Durch 6: Die Zahl ist durch 2 und durch 3 teilbar. Ja.
- Durch 4: Die letzten beiden Ziffern sind 76. Es ist 76 : 4 = 19. Ja.
- Durch 25: 76 steht nicht in der Liste 00, 25, 50, 75. Nein.
Zur Probe sind hier drei der Divisionen ausgerechnet. Sie gehen alle ohne Rest auf.
Primzahlen
Die Zahl 23 hat nur die Teiler 1 und 23. Solche Zahlen heißen Primzahlen. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei Teilern: der 1 und sich selbst. Die kleinsten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 und 23. Es gibt unendlich viele. Eine Zahl mit mehr als zwei Teilern heißt zusammengesetzt. 24 ist zusammengesetzt, sie hat acht Teiler.
Zwei Sonderfälle: Die 1 ist keine Primzahl, denn sie hat nur einen Teiler. Die 2 ist eine Primzahl, denn sie hat genau zwei Teiler. Sie ist die einzige gerade Primzahl. Jede andere gerade Zahl hat die Teiler 1, 2 und sich selbst, also mindestens drei.
Alle Primzahlen bis 50 finden
Alle Primzahlen bis 50 finden
Der Gelehrte Eratosthenes aus dem alten Griechenland fand Primzahlen mit einem Sieb. Du schreibst die Zahlen von 2 bis 50 auf und streichst die Zahlen, die keine Primzahlen sind.
- Die 2 bleibt. Streiche alle Vielfachen von 2: 4, 6, 8 und so weiter.
- Die nächste Zahl ohne Strich ist die 3. Sie bleibt. Streiche ihre Vielfachen: 6, 9, 12 und so weiter.
- Die 4 ist gestrichen. Die 5 bleibt. Streiche 10, 15, 20 und so weiter.
- Die 6 ist gestrichen. Die 7 bleibt. Streiche 14, 21, 28 und so weiter.
- Weiter musst du nicht streichen.
Warum reicht es bis zur 7? Hat eine Zahl bis 50 zwei Faktoren, ist der kleinere höchstens 7, denn 8 · 8 = 64 ist schon zu groß. Die Zahlen ohne Strich sind die 15 Primzahlen bis 50.
Ist das eine Primzahl?
Ist das eine Primzahl?
Prüfe, ob 91 und 97 Primzahlen sind. Bis 100 reicht es, durch 2, 3, 5 und 7 zu prüfen, so wie im Sieb.
91: Die letzte Ziffer ist 1, also keine Teilbarkeit durch 2 und 5. Die Quersumme ist 10, also keine Teilbarkeit durch 3. Aber 91 : 7 = 13 geht ohne Rest auf.
97: Die letzte Ziffer ist 7, die Quersumme ist 16. Also keine Teilbarkeit durch 2, 5 und 3. Und 97 : 7 = 13 Rest 6.
91 sieht wie eine Primzahl aus, ist aber zusammengesetzt. 97 hat außer 1 und 97 keinen Teiler.
Die 1 und die 2
Die 1 und die 2
Jemand sagt: „Die 1 ist die kleinste Primzahl. Und 2 ist keine Primzahl, denn sie ist gerade.“
Beides stimmt nicht. Die 1 hat nur einen Teiler und ist keine Primzahl. Die kleinste Primzahl ist die 2. Sie hat genau zwei Teiler, 1 und 2.
Quersumme und die 6
Quersumme und die 6
Jemand rechnet: „Die Quersumme von 51 ist 5 + 1 = 6. Also ist 51 durch 6 teilbar.“
Die Quersumme sagt dir nur etwas über die 3 und die 9. Für die 6 muss die Zahl außerdem gerade sein. 51 ist ungerade, also nicht durch 6 teilbar. Es ist 51 = 3 · 17.
Nur die letzte Ziffer bei der 4
Nur die letzte Ziffer bei der 4
Jemand sagt: „214 endet auf 4, also ist 214 durch 4 teilbar.“
Bei der 4 zählen die letzten beiden Ziffern. Es ist 14 : 4 = 3 Rest 2, also ist 214 nicht durch 4 teilbar.
Zusammenfassung
Ist 24 durch 6 teilbar, dann ist 6 ein Teiler von 24 und 24 ein Vielfaches von 6.
Die Teilermenge enthält alle Teiler einer Zahl, immer die 1 und die Zahl selbst. Du findest sie als Zahlenpaare mit dem Produkt n.
Gerade Zahlen sind durch 2 teilbar. Bei ungeraden Zahlen bleibt beim Teilen durch 2 der Rest 1.
Teilbarkeitsregeln: Letzte Ziffer bei 2, 5 und 10. Letzte beiden Ziffern bei 4 und 25. Quersumme bei 3 und 9. Durch 6 teilbar heißt durch 2 und durch 3 teilbar.
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler. Die 1 ist keine Primzahl. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl.
Primzahlen findest du mit dem Sieb des Eratosthenes. Bis 100 prüfst du eine Zahl mit 2, 3, 5 und 7.
Übungen
Wie viele Teiler hat die Zahl 20?
Welche dieser Zahlen ist durch 9 teilbar?
Welche Aussage ist richtig?
Wie viele Primzahlen gibt es zwischen 20 und 40?
Eine dreistellige Zahl beginnt mit 53. Die Einerziffer fehlt noch. Welche Ziffer musst du anhängen, damit die Zahl durch 9 teilbar ist?
Ist 2 856 durch 6 teilbar? Begründe mit den Teilbarkeitsregeln. Prüfe auch, ob sie durch 4 und durch 9 teilbar ist.