Beim Kreis kennst du den Mittelpunkt, den Radius $r$ (Abstand vom Mittelpunkt zum Rand) und den Durchmesser $d$ (die Strecke durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand). Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius.

Neu ist der Umfang $u$. Das ist die Länge der Kreislinie, also der Weg einmal um den Kreis herum. Der Flächeninhalt $A$ ist die Größe der Fläche im Inneren. Du gibst ihn in Quadrateinheiten an, zum Beispiel in cm².

Miss bei runden Gegenständen den Durchmesser und den Umfang, zum Beispiel mit einem Maßband. Teile dann den Umfang durch den Durchmesser. Das Ergebnis heißt Verhältnis von $u$ zu $d$. Hier stehen angenommene Messwerte, gerundet:

Das Ergebnis ist bei allen Gegenständen etwa gleich, nämlich etwa 3,14. Kleine Abweichungen kommen vom ungenauen Messen. Bei jedem Kreis ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser dieselbe Zahl. Sie heißt Kreiszahl und wird mit dem griechischen Buchstaben $\pi$ (gesprochen „Pi“) geschrieben.

Die Zahl $\pi$ hat unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht in einem festen Muster wiederholen. Sie beginnt mit 3,14159 und geht immer weiter. Deshalb ist jede Dezimalzahl für $\pi$ nur eine Näherung. Das Zeichen $\approx$ liest du „ist ungefähr“. In dieser Lektion rechnest du mit 3,14. Die π-Taste deines Taschenrechners liefert ein etwas genaueres Ergebnis.

Aus $\pi = u : d$ folgt $u = \pi \cdot d$. Mit dem Radius schreibst du $u = 2 \cdot \pi \cdot r$, denn $d = 2 \cdot r$. Verdoppelst du den Durchmesser, verdoppelt sich auch der Umfang. Beide hängen proportional zusammen, und die Kreiszahl ist der Faktor dazwischen.

Ist der Umfang gegeben und du suchst den Durchmesser, teilst du: $d = u : \pi$.

Zerschneide den Kreis in viele gleiche Tortenstücke. Sie heißen Sektoren. Lege sie abwechselnd mit der Spitze nach oben und nach unten nebeneinander. Es entsteht eine Figur, die fast ein Parallelogramm ist. Je mehr und je schmaler die Stücke sind, desto besser passt es.

Die Höhe dieses Parallelogramms ist der Radius $r$. Seine Grundseite besteht aus den gebogenen Rändern der Hälfte aller Stücke. Das ist der halbe Umfang: $u : 2 = \pi \cdot r$. Mit $A = g \cdot h$ rechnest du $A = \pi \cdot r \cdot r$. Dafür schreibst du kürzer $r^2$ (gelesen „r Quadrat“). Es bedeutet $r \cdot r$.

In die Formel gehört der Radius, nicht der Durchmesser. Ist der Durchmesser gegeben, halbierst du ihn zuerst.

Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt, zum Beispiel ein Weg rund um ein Beet. Der äußere Kreis hat den Radius $R$ (großes R), der innere den Radius $r$. Den Flächeninhalt bekommst du, wenn du die kleine Kreisfläche von der großen abziehst. Mit dem Ausklammern von $\pi$ wird die Rechnung kürzer.

Hat eine Figur einen krummen Rand und keine Formel, näherst du den Flächeninhalt an. Das heißt: Du bestimmst einen Wert, der nicht ganz genau ist, aber nah dran. Lege dafür Kästchenpapier über die Figur. Ein Kästchen ist eine Flächeneinheit. Zähle die Kästchen, die ganz in der Figur liegen. Der Flächeninhalt ist mindestens so groß. Zähle dann die vom Rand angeschnittenen Kästchen. Ganze und angeschnittene zusammen sind zu viel. Der Flächeninhalt liegt dazwischen. Als Schätzwert nimmst du die ganzen Kästchen plus die Hälfte der angeschnittenen.

Auch den Kreis kannst du einschließen. Ein Quadrat mit der Seitenlänge $d$ um den Kreis hat den Flächeninhalt $d^2 = 4r^2$ und den Umfang $4d$. Das Quadrat im Kreis hat die Diagonalen $2r$ und ist eine Raute mit dem Flächeninhalt $\frac{1}{2} \cdot 2r \cdot 2r = 2r^2$. Das Sechseck im Kreis (den Radius sechsmal mit dem Zirkel abtragen) hat sechs Seiten der Länge $r$ und den Umfang $3d$. Also liegt die Kreisfläche zwischen $2r^2$ und $4r^2$ und die Kreiszahl zwischen 3 und 4. Als schnelle Kontrolle merkst du dir: Die Kreisfläche ist etwa $3 \cdot r^2$.