Lektion 4.1

Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm und Trapez

14 min Lesezeit

Das Haus neben der Schule bekommt einen neuen Anstrich. Die Giebelwand ist 8 m breit. Die senkrechten Wände sind 5 m hoch. Darüber läuft die Wand spitz zu, und die Spitze liegt noch einmal 3 m höher. Der Maler will wissen, wie viel Farbe er braucht. Dafür muss er den Flächeninhalt der Wand kennen.

Den unteren Teil kennst du. Er ist ein Rechteck. Aber wie groß ist das Dreieck darüber? Und wie rechnest du bei schiefen Vierecken wie dem Parallelogramm oder dem Trapez?

Der Trick ist hier immer derselbe: Du zerlegst die Figur in Stücke, die du kennst, oder du ergänzt sie zu einer Figur, die du kennst. So entstehen die Formeln.

Definition

Grundseite und Höhe

Für Dreieck, Parallelogramm und Trapez brauchst du zwei Maße: eine Seite als Grundseite und die dazugehörige Höhe. Die Grundseite $g$ suchst du dir aus. Die Höhe $h$ misst du senkrecht zur Grundseite, du zeichnest also ein Lot.

Beim Parallelogramm ist $h$ der Abstand zur gegenüberliegenden Seite, die parallel zur Grundseite liegt.
Beim Dreieck ist $h$ der Abstand der gegenüberliegenden Ecke von der Grundseite. Bei einem stumpfen Winkel trifft das Lot erst die verlängerte Grundseite.
Beim Trapez heißen die beiden parallelen Seiten $a$ und $c$ . Die Höhe $h$ ist der Abstand zwischen ihnen.

Die Höhe ist nicht die schräge Seite. Eine schräge Seite ist länger als die Höhe, denn sie liegt schief.

Definition

Parallelogramm

Ein Parallelogramm ist ein schiefes Rechteck. Du machst daraus ein echtes Rechteck: Zeichne von einer Ecke der oberen Seite das Lot auf die Grundseite. So schneidest du ein rechtwinkliges Dreieck ab. Schiebe es auf die andere Seite. Es passt genau, denn die beiden schrägen Seiten sind parallel und gleich lang. Das Rechteck ist $g$ lang und $h$ breit. Zerlegen und neu zusammensetzen ändert den Flächeninhalt nicht. Beim Umfang zählst du alle vier Seiten. Zwei nebeneinanderliegende Seiten heißen $a$ und $b$ .

A_{\text{Parallelogramm}} = g \cdot h \qquad u_{\text{Parallelogramm}} = 2 \cdot (a + b)

Definition

Dreieck

Zwei gleiche Dreiecke ergeben ein Parallelogramm. Kopiere ein Dreieck und drehe die Kopie um die Mitte einer Seite, die nicht die Grundseite ist, um eine halbe Umdrehung. Dann passt die Kopie genau an das Original. Beide zusammen sind ein Parallelogramm mit der Grundseite $g$ und der Höhe $h$ . Es hat den Flächeninhalt $g \cdot h$ . Das Dreieck ist genau die Hälfte davon. Der Umfang ist die Summe der drei Seiten.

Du kannst jede der drei Seiten als Grundseite nehmen. Zu jeder gehört ihre eigene Höhe, und es kommt derselbe Flächeninhalt heraus.

A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \qquad u_{\text{Dreieck}} = a + b + c

Definition

Trapez

Auch beim Trapez ergänzt du. Kopiere das Trapez und drehe die Kopie um die Mitte einer schrägen Seite um eine halbe Umdrehung. Beide Trapeze zusammen bilden ein Parallelogramm. Seine Grundseite besteht aus $a$ und $c$ und ist $a + c$ lang. Seine Höhe ist $h$ . Das Trapez ist die Hälfte davon.

Man kann auch sagen: $(a + c) : 2$ ist der Mittelwert der beiden parallelen Seiten. Du rechnest so, als wäre das Trapez ein Rechteck mit dieser mittleren Länge.

A_{\text{Trapez}} = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h

Definition

Raute, Drachenviereck und andere Vierecke

Eine Raute ist ein Parallelogramm, also gilt $A = g \cdot h$ . Bei einer Raute und bei einem Drachenviereck stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander. Nenne ihre Längen $e$ und $f$ . Ein Rechteck um die Figur, dessen Seiten parallel zu den Diagonalen laufen, ist $e$ lang und $f$ breit. Die Diagonalen teilen es in vier kleine Rechtecke. In jedem füllt die Figur genau ein Dreieck, also die Hälfte.

Ein Viereck ohne besondere Form zerlegst du mit einer Diagonale in zwei Dreiecke. Sein Umfang ist die Summe der vier Seiten.

A_{\text{Raute, Drachenviereck}} = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f

Beispiel

Parallelogramm und Dreieck

Ein Parallelogramm hat die Grundseite 8 cm und die Höhe 5 cm. Die schräge Seite ist 6 cm lang. Berechne Flächeninhalt und Umfang. Ein Dreieck hat die Seiten 6 cm, 8 cm und 10 cm. Die Seiten 6 cm und 8 cm stehen senkrecht aufeinander. Die Höhe zur Seite 10 cm ist 4,8 cm. Berechne den Flächeninhalt mit der Seite 10 cm und mit der Seite 8 cm als Grundseite.

\begin{aligned} A_{\text{Parallelogramm}} &= 8 \cdot 5 = 40 \\ u_{\text{Parallelogramm}} &= 2 \cdot (8 + 6) = 28 \\ A_{\text{Dreieck}} &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4{,}8 = 24 \\ A_{\text{Dreieck}} &= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \end{aligned}

Das Parallelogramm hat 8 · 5 = 40 cm². Für den Umfang brauchst du die Seiten: 8 cm und 6 cm kommen je zweimal vor, das sind 28 cm. Beim Dreieck rechnest du erst 10 · 4,8 = 48 und nimmst davon die Hälfte: 24 cm². Mit der Seite 8 cm als Grundseite ist die Seite 6 cm die Höhe, denn sie steht senkrecht darauf. Dann gilt $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ . Beide Wege geben denselben Wert.

Beispiel

Trapez

Ein Trapez hat die parallelen Seiten $a = 9$ cm und $c = 6$ cm. Die Seite $b$ steht senkrecht auf ihnen. Sie ist deshalb so lang wie die Höhe, nämlich 4 cm. Die vierte Seite $d$ ist 5 cm lang. Berechne Flächeninhalt und Umfang.

\begin{aligned} A &= \frac{1}{2} \cdot (9 + 6) \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 4 = 30 \\ u &= 9 + 4 + 6 + 5 = 24 \end{aligned}

Zuerst addierst du die parallelen Seiten: 9 + 6 = 15. Mal die Höhe 4 ergibt 60, die Hälfte davon ist 30. Der Flächeninhalt ist 30 cm². Zur Probe rechnest du mit dem Mittelwert: $7{,}5 \cdot 4 = 30$ . Für den Umfang addierst du alle vier Seiten: 24 cm.

Beispiel

Die Giebelwand

Zurück zum Haus vom Anfang. Die Wand ist 8 m breit und 5 m hoch. Darüber sitzt ein Dreieck mit der Grundseite 8 m und der Höhe 3 m. Beide Dachschrägen sind je 5 m lang. Wie viel Fläche streicht der Maler, und wie lang ist der Rand der Wand?

\begin{aligned} A &= 8 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 40 + 12 = 52 \\ u &= 8 + 5 + 5 + 5 + 5 = 28 \end{aligned}

Du zerlegst die Wand in ein Rechteck und ein Dreieck. Das Rechteck hat 8 · 5 = 40 m². Beim Dreieck rechnest du 8 · 3 = 24 und nimmst die Hälfte: 12 m². Zusammen sind es 52 m². Die Linie zwischen Rechteck und Dreieck gehört nicht zum Rand. Der Rand besteht aus der Unterkante (8 m), den beiden Wänden (je 5 m) und den beiden Dachschrägen (je 5 m). Das sind 28 m.

Häufige Fehler

Die schräge Seite als Höhe nehmen

Jemand berechnet das Parallelogramm mit der Grundseite 8 cm, der Höhe 5 cm und der schrägen Seite 6 cm so: $8 \cdot 6 = 48$ cm².

Richtig ist

Die schräge Seite ist nicht die Höhe. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite und ist hier 5 cm. Richtig ist $8 \cdot 5 = 40$ cm². Ein Rechteck mit 8 cm und 6 cm hätte 48 cm². Das Parallelogramm ist schief und hat deshalb weniger Fläche.

Häufige Fehler

Die Hälfte vergessen

Jemand rechnet für ein Dreieck mit $g = 10$ cm und $h = 4$ cm den Flächeninhalt $10 \cdot 4 = 40$ cm².

Richtig ist

Das ist der Flächeninhalt des Parallelogramms aus zwei solchen Dreiecken. Ein Dreieck ist die Hälfte: $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20$ cm². Beim Trapez gehört die Hälfte ebenfalls dazu. Außerdem addierst du dort die parallelen Seiten. Du multiplizierst sie nicht.

Häufige Fehler

Die Höhe im Umfang

Jemand berechnet den Umfang des Parallelogramms (8 cm, 6 cm, Höhe 5 cm) so: $2 \cdot (8 + 5) = 26$ cm.

Richtig ist

Der Umfang ist die Länge des Randes. Die Höhe liegt innen und gehört nicht zum Rand. Richtig ist $2 \cdot (8 + 6) = 28$ cm. Für den Flächeninhalt brauchst du die Höhe, für den Umfang die schräge Seite.

Zusammenfassung

Zu einer Grundseite $g$ gehört die Höhe $h$ . Sie steht senkrecht auf der Grundseite und ist nicht die schräge Seite.
Parallelogramm: $A = g \cdot h$ . Ein abgeschnittenes Dreieck zu verschieben macht es zum Rechteck.
Dreieck: $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ mit jeder Seite als Grundseite. Zwei gleiche Dreiecke bilden ein Parallelogramm.
Trapez: $A = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h$ . Zwei gleiche Trapeze bilden ein Parallelogramm mit der Grundseite $a + c$ .
Raute und Drachenviereck: $A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$ mit den senkrechten Diagonalen $e$ und $f$ . Ein anderes Viereck zerlegst du in zwei Dreiecke.
Zusammengesetzte Figuren zerlegst du in Teile oder ergänzt sie. Der Umfang ist die Summe der Randstücke. Linien im Inneren zählen nicht.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Ein Parallelogramm hat die Grundseite 12 cm und die Höhe 7 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt in cm²?

Aufgabe 2Multiple Choice

Ein Trapez hat die parallelen Seiten 10 cm und 4 cm und die Höhe 5 cm. Welcher Term gibt seinen Flächeninhalt an?

Aufgabe 3Numerisch

Ein Dreieck hat die Grundseite 9 cm und die zugehörige Höhe 8 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt in cm²?

Aufgabe 4Numerisch

Ein Trapez hat die parallelen Seiten 11 cm und 7 cm und den Flächeninhalt 54 cm². Wie hoch ist das Trapez in Zentimetern?

Aufgabe 5Numerisch

Ein Zimmer ist ein Rechteck von 10 m Länge und 6 m Breite. An einer Ecke ist ein Dreieck abgeschnitten. Seine beiden Seiten an der Ecke sind 4 m und 3 m lang und stehen senkrecht aufeinander. Wie groß ist der Flächeninhalt des Zimmers in Quadratmetern?

Aufgabe 6Freitext

Ein Dreieck und ein Parallelogramm haben dieselbe Grundseite 8 cm und dieselbe Höhe 5 cm. Berechne beide Flächeninhalte. Erkläre, warum der eine genau halb so groß ist wie der andere.