Lektion 9.2

Spiegelung und Projektion im Raum

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

  • die Orthogonalprojektion eines Punktes auf eine Gerade oder Ebene als Fußpunkt des Lots deuten,

  • den Spiegelpunkt an einer Ebene als „noch einmal dasselbe Lot hinter die Ebene“ konstruieren,

  • Projektion und Spiegelung mit Normalenvektor ausrechnen,

  • Projektion auf eine Gerade über das Skalarprodukt schreiben.

Licht fällt senkrecht auf einen Spiegel: Der Auftreffpunkt ist die Projektion der Lichtquelle auf die Spiegelebene. Der virtuelle Punkt hinter dem Glas, den man im Spiegel sieht, liegt ebenso weit dahinter — der Spiegelpunkt.

Beides braucht dasselbe Lot. Die Projektion bleibt auf der Ebene, die Spiegelung geht hindurch. In Vektoren: Man zieht (bzw. verdoppelt) die Normalenkomponente vom Ortsvektor ab.

Vermute zuerst

P(0,0,4)P(0,0,4) und die xyxy-Ebene. Wo liegen Projektion FF und Spiegelpunkt P′P'?

Projektion eines Vektors: der Fußpunkt auf der Geraden durch b⃗\vec b

Für eine Ebene im Raum ersetzt b⃗\vec b die Normale: Man projiziert auf die Normale und zieht diesen Anteil vom Punkt ab, um in die Ebene zu fallen.

Probier es aus

Definition

Projektion und Spiegelung an einer Ebene

Ebene durch AA mit Einheitsnormale n⃗0\vec{n}_0, Punkt PP. Der gerichtete Abstand ist δ=n⃗0⋅(p⃗−a⃗)\delta = \vec{n}_0 \cdot (\vec{p}-\vec{a}).

  • Fußpunkt (Orthogonalprojektion): f⃗=p⃗−δn⃗0\vec{f} = \vec{p} - \delta \vec{n}_0.
  • Spiegelpunkt: p⃗′=p⃗−2δn⃗0\vec{p}' = \vec{p} - 2\delta \vec{n}_0.

FF liegt in der Ebene, P′P' so, dass FF die Mitte von PP und P′P' ist. Die Verbindungsstrecke steht senkrecht auf der Ebene.

Projektion auf eine Gerade x⃗=a⃗+tu⃗\vec{x} = \vec{a} + t\vec{u}:

t=(p⃗−a⃗)⋅u⃗u⃗⋅u⃗,f⃗=a⃗+tu⃗\displaystyle t = \frac{(\vec{p}-\vec{a})\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}, \quad \vec{f} = \vec{a} + t\vec{u}.

Schritt für Schritt

Spiegelung von P(1,2,3)P(1,2,3) an z=0z = 0

Einheitsnormale (0,0,1)(0,0,1), δ=3\delta = 3.

  1. Fußpunkt: (1,2,3)−3(0,0,1)=(1,2,0)(1,2,3) - 3(0,0,1) = (1,2,0).

Schritt 1 von 3
Beispiel

Projektion auf die xx-Achse

P(3,4,0)P(3,4,0), Gerade x⃗=t(1,0,0)\vec{x} = t(1,0,0).

t=(3,4,0)⋅(1,0,0)1=3,F=(3,0,0)t = \frac{(3,4,0)\cdot(1,0,0)}{1} = 3, \quad F = (3,0,0)

In Koordinaten: Orthogonalprojektion auf eine Koordinatenachse streicht die anderen Komponenten. Allgemein ist es dasselbe mit einem schiefen u⃗\vec{u}, nur weniger sichtbar.

Kurz geprüft

Welche Beziehung gilt immer zwischen PP, Fußpunkt FF und Spiegelpunkt P′P' an einer Ebene?

Häufige Fehler

Schräge Projektion mit der orthogonalen verwechseln

In der Parameterform einer Geraden ist tt die orthogonale Projektion nur, wenn man die Formel mit dem Skalarprodukt verwendet. Wer tt so wählt, dass eine Koordinate passt und die anderen ignoriert, projiziert parallel zu einer Achse — eine andere Abbildung.

Bei der Ebene: Den Punkt nur in zz auf 00 setzen gilt ausschließlich für Ebenen z=constz = \mathrm{const}.

Richtig ist

Lot = Richtung der Normalen (Ebene) bzw. senkrecht zum Richtungsvektor (Gerade).

Zusammenfassung

  • Fußpunkt: Punkt minus Normalenkomponente des Abstandsvektors.

  • Spiegelpunkt: minus das Doppelte derselben Komponente. FF ist die Mitte.

  • Gerade: t=((p⃗−a⃗)⋅u⃗)/(u⃗⋅u⃗)t = ((\vec{p}-\vec{a})\cdot\vec{u}) / (\vec{u}\cdot\vec{u}).

  • Probe: FF in der Ebene/auf der Geraden, P−FP-F senkrecht dazu.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Spiegelpunkt von (2,0,5)(2,0,5) an z=0z = 0 ist

Aufgabe 2Multiple Choice

Orthogonalprojektion von (2,0,5)(2,0,5) auf z=0z = 0 ist

Aufgabe 3Numerisch

Bei Spiegelung an einer Ebene ist ∣PP′∣=6|PP'| = 6 und PP nicht in der Ebene. Wie groß ist der Abstand ∣PF∣|PF|?

Aufgabe 4Freitext

Warum genügt es, die Normalenkomponente zu verdoppeln und abzuziehen, um zu spiegeln — warum muss man die Anteile parallel zur Ebene nicht anfassen?