Lektion 9.1

Abstände und Hessesche Normalenform

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

  • den Abstand Punkt–Ebene als Länge der Normalenkomponente deuten,

  • die Hessesche Normalenform mit Einheitsnormale aufstellen,

  • Abstände Punkt–Gerade und windschiefer Geraden mit dem Spatprodukt bzw. Kreuzprodukt berechnen,

  • das Vorzeichen in der Hesse-Form als „vor oder hinter der Ebene“ lesen.

Wie weit ist ein Punkt von einer Wand? Man fällt das Lot: den kürzesten Weg, senkrecht zur Wand. Die Länge dieses Lots ist der Abstand.

In Koordinaten steckt das Lot in der Normalen. Das Skalarprodukt n⃗⋅(p⃗−a⃗)\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a}) misst, wie weit man in Normalenrichtung aus der Ebene herausragt — in der Einheit von ∣n⃗∣|\vec{n}|. Teilt man durch ∣n⃗∣|\vec{n}|, bleibt eine Länge in Metern (oder Einheiten). Genau das ist die Hessesche Normalenform.

Vermute zuerst

Die xyxy-Ebene hat Normale (0,0,1)(0,0,1). Punkt P(0,0,5)P(0,0,5). Welcher Abstand zur Ebene?

Projektion auf die Normale: der Schatten ist der Abstand

Abstand zur Ebene durch den Ursprung = Betrag der Normalenkomponente des Ortsvektors. Verschiebt man die Ebene, zieht man n⃗⋅a⃗\vec{n}\cdot\vec{a} ab.

Probier es aus

Definition

Hessesche Normalenform

Sei n⃗0\vec{n}_0 eine Einheitsnormale der Ebene, ∣n⃗0∣=1|\vec{n}_0| = 1, und AA ein Punkt der Ebene. Dann gilt für jeden Punkt XX

n⃗0⋅(x⃗−a⃗)=δ\vec{n}_0 \cdot (\vec{x} - \vec{a}) = \delta,

wobei δ\delta der gerichtete Abstand von XX zur Ebene ist: positiv auf der Seite, in die n⃗0\vec{n}_0 zeigt, negativ auf der anderen. Der Abstand selbst ist ∣δ∣|\delta|.

Aus der Koordinatenform n1x+n2y+n3z=dn_1 x + n_2 y + n_3 z = d erhält man n⃗0\vec{n}_0 durch Teilen durch ∣n⃗∣|\vec{n}|, und dd wird mitgeteilt. Für einen Punkt PP ist

d(P,E)=∣n1px+n2py+n3pz−d∣n12+n22+n32\displaystyle d(P,E) = \frac{|n_1 p_x + n_2 p_y + n_3 p_z - d|}{\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}}.

Schritt für Schritt

Abstand von P(2∣3∣6)P(2\mid 3\mid 6) zur Ebene x+2y+2z=3x + 2y + 2z = 3

n⃗=(1,2,2)\vec{n} = (1,2,2), ∣n⃗∣=3|\vec{n}| = 3.

  1. Zähler: ∣2+6+12−3∣=17|2 + 6 + 12 - 3| = 17.

Schritt 1 von 3
Definition

Abstand Punkt–Gerade und windschiefe Geraden

Punkt PP, Gerade x⃗=a⃗+tu⃗\vec{x} = \vec{a} + t\vec{u}:

d=∣(p⃗−a⃗)×u⃗∣∣u⃗∣\displaystyle d = \frac{\bigl|(\vec{p}-\vec{a}) \times \vec{u}\bigr|}{|\vec{u}|}.

Anschauung: Das Parallelogramm aus (p⃗−a⃗)(\vec{p}-\vec{a}) und u⃗\vec{u} hat Fläche ∣u⃗∣|\vec{u}| mal Höhe, und die Höhe ist der Abstand.

Zwei windschiefe Geraden mit Richtungen u⃗,v⃗\vec{u},\vec{v} und Aufpunkten A,BA,B:

d=∣(b⃗−a⃗)⋅(u⃗×v⃗)∣∣u⃗×v⃗∣\displaystyle d = \frac{\bigl|(\vec{b}-\vec{a}) \cdot (\vec{u}\times\vec{v})\bigr|}{|\vec{u}\times\vec{v}|}.

Das ist der Betrag des Spatprodukts durch die Fläche — der Abstand der parallelen Ebenen, in denen die Geraden liegen.

Kurz geprüft

Warum teilt man bei der Hesse-Form durch ∣n⃗∣|\vec{n}|?

Häufige Fehler

Abstand zum Aufpunkt statt zur Geraden

∣p⃗−a⃗∣|\vec{p}-\vec{a}| ist der Abstand zum Aufpunkt AA, nicht zur Geraden. Der Aufpunkt darf irgendwo auf der Geraden sitzen. Nur die Lotlänge zählt.

Ebenso bei Ebenen: ∣p⃗−a⃗∣|\vec{p}-\vec{a}| schräg zur Ebene ist länger als das Lot.

Richtig ist

Immer die Komponente senkrecht zur Geraden bzw. Ebene. Kreuzprodukt bzw. Skalarprodukt mit der Normalen.

Zusammenfassung

  • Punkt–Ebene: d=∣n⃗⋅(p⃗−a⃗)∣/∣n⃗∣d = |\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})| / |\vec{n}|. Hesse: Einheitsnormale, gerichteter Abstand.

  • Punkt–Gerade: d=∣(p⃗−a⃗)×u⃗∣/∣u⃗∣d = |(\vec{p}-\vec{a})\times\vec{u}| / |\vec{u}|.

  • Windschiefe Geraden: Spatprodukt durch ∣u⃗×v⃗∣|\vec{u}\times\vec{v}|.

  • Vorzeichen in der Hesse-Form: Seite der Ebene.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Abstand von (0,0,4)(0,0,4) zur xyxy-Ebene z=0z = 0.

Aufgabe 2Numerisch

Abstand von (3,0,0)(3,0,0) zur Ebene x=1x = 1.

Aufgabe 3Multiple Choice

Der Abstand Punkt–Gerade ist 00 genau dann, wenn

Aufgabe 4Freitext

Warum ändert sich der Abstand Punkt–Ebene nicht, wenn du die Normalenvektor-Länge verdoppelst — und warum musst du trotzdem durch ∣n⃗∣|\vec{n}| teilen, wenn du die Formel nutzt?