Lektion 9.3

Kreis und Kugel im Raum

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

eine Kugel als Menge aller Punkte mit festem Abstand zum Mittelpunkt schreiben,
die Gleichung $|\vec{x}-\vec{m}|^2 = r^2$ in Koordinaten ausmultiplizieren,
Schnitt von Kugel und Ebene als Kreis (oder Punkt, oder leer) erkennen,
Lage Punkt–Kugel und Gerade–Kugel mit einer quadratischen Gleichung in $t$ entscheiden.

Alle Punkte, die vom Ursprung den Abstand $5$ haben, bilden eine Sphäre — die Oberfläche einer Kugel. Im Raum ist das eine Fläche, kein Kreis. Ein Kreis entsteht, wenn man diese Fläche mit einer Ebene schneidet: der Äquator ist der Schnitt der Einheitskugel mit der $xy$ -Ebene.

Dieselbe Idee wie beim Kreis in der Ebene, nur eine Koordinate mehr. Die Gleichung nutzt den Abstand, also das Skalarprodukt: $(\vec{x}-\vec{m})\cdot(\vec{x}-\vec{m}) = r^2$ .

Vermute zuerst

Welche Menge beschreibt $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ ?

Abstand zum Mittelpunkt: die Länge des Ortsvektors

a_x

= 1

a_y

= 0,5

a_z

= 0,8

b_x

= 0

b_y

= 0

b_z

= 0

$|\vec{a}|$: 1,37
$|\vec{b}|$: 0
$|\vec{a} + \vec{b}|$: 1,37

Die gestrichelten Linien schließen das Parallelogramm. $\vec{a} + \vec{b}$ ist die Diagonale. Die Länge der Summe ist nur dann $|\vec{a}| + |\vec{b}|$ , wenn beide in dieselbe Richtung zeigen.

Die Kugelgleichung ist eine Bedingung an die Länge. Ein Pfeil im Labor ist ein Punkt auf (oder innerhalb) der Kugel, je nach Länge.

Probier es aus

Setze $\vec b$ auf den Nullvektor. Dann ist $|\vec a|$ der Abstand von $A$ zum Ursprung. Für die Einheitskugel muss er $1$ sein.
Schieb $\vec a$ so, dass die Länge etwa $1$ ist. Alle solchen Lagen liegen auf derselben Sphäre — das Bild zeigt nur einen Pfeil, die Menge wäre die ganze Schale.
Ein zweiter Punkt $\vec a + \vec b$ mit $\vec b \neq \vec 0$ hat im Allgemeinen anderen Abstand: Nicht jeder Punkt im Raum liegt auf dieser einen Kugel.

Definition

Kugel

Die Sphäre (Kugeloberfläche) um $M$ mit Radius $r > 0$ ist

$\displaystyle |\vec{x} - \vec{m}| = r \quad\Leftrightarrow\quad (x-m_x)^2 + (y-m_y)^2 + (z-m_z)^2 = r^2$ .

Ein Punkt $P$ liegt

innerhalb, wenn $|\vec{p}-\vec{m}| < r$ ,
darauf, wenn Gleichheit gilt,
außerhalb, wenn $|\vec{p}-\vec{m}| > r$ .

Ein Kreis im Raum ist der Schnitt einer Sphäre mit einer Ebene, deren Abstand $d$ vom Mittelpunkt kleiner als $r$ ist. Radius des Kreises: $\sqrt{r^2 - d^2}$ . Mittelpunkt: Fußpunkt des Lots von $M$ auf die Ebene.

Schritt für Schritt

Schnitt der Einheitskugel mit $z = 1/2$

Abstand $d = 1/2$ , $r = 1$ .

$x^2 + y^2 + (1/2)^2 = 1$ , also $x^2 + y^2 = 3/4$ .

Schritt 1 von 3

Beispiel

Gerade und Kugel

Gerade $\vec{x} = t(1,0,0)$ , Kugel $|\vec{x}| = 2$ . Einsetzen: $t^2 = 4$ , $t = \pm 2$ . Zwei Schnittpunkte $(\pm 2, 0, 0)$ .

|t(1,0,0)|^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad t = \pm 2

Allgemein entsteht eine quadratische Gleichung in $t$ . Diskriminante $> 0$ : zwei Punkte (Sekante), $= 0$ : Tangente, $< 0$ : vorbei.

Kurz geprüft

Der Abstand des Kugelmittelpunkts zu einer Ebene ist $6$ , der Radius $5$ . Der Schnitt ist

Häufige Fehler

$x^2+y^2+z^2=r$ statt $r^2$

Abstand $r$ heißt Quadratsumme $r^2$ . Wer $r$ rechts stehen lässt, hat den Radius $\sqrt{r}$ .

Auch: Den Kreis $x^2+y^2=1$ in der Ebene mit der Sphäre verwechseln und $z$ vergessen.

Richtig ist

$|\vec{x}-\vec{m}|^2 = r^2$ . Drei Quadrate. Schnitt mit Ebene: eine Koordinate (oder eine Linearkombination) zusätzlich festlegen.

Zusammenfassung

Sphäre: $|\vec{x}-\vec{m}| = r$ , in Koordinaten drei Quadrate gleich $r^2$ .
Punkt innen / drauf / außen über den Abstand zum Mittelpunkt.
Ebene schneidet in einem Kreis, einem Punkt oder gar nicht: $d < r$ , $d = r$ oder $d > r$ .
Gerade: quadratische Gleichung in $t$ . Diskriminante entscheidet Sekante, Tangente, vorbei.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Radius der Kugel $x^2+y^2+z^2 = 9$ .

Aufgabe 2Numerisch

Radius des Schnittkreises der Einheitskugel mit $z = 0$ .

Aufgabe 3Multiple Choice

$x^2+y^2+z^2 = 4$ und $z = 3$ haben

Aufgabe 4Freitext

Warum liefert das Einsetzen einer Geraden in die Kugelgleichung eine quadratische Gleichung — und was bedeutet eine doppelte Nullstelle?