Lektion 1.1

Funktionsklassen und Eigenschaften von Funktionen

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

die geläufigen Funktionsklassen am Graphen und am Term unterscheiden,
Definitionsbereich, Nullstellen und $y$ -Achsenabschnitt einer Funktion bestimmen,
gerade und ungerade Funktionen an der Symmetrie des Graphen erkennen,
beschreiben, wie Streckung und Verschiebung den Graphen verändern.

In der Mittelstufe hast du schon viele Graphen gezeichnet: Geraden, Parabeln, die Hyperbel $y = 1/x$ . Jede dieser Kurven gehört zu einer Familie. Alle Geraden sehen im Grunde gleich aus, nur steiler oder flacher, höher oder tiefer. Alle nach oben geöffneten Parabeln haben denselben Bauplan, nur der Scheitel sitzt woanders.

In der Oberstufe brauchst du eine Sprache, mit der du jede Funktion beschreiben kannst, auch solche, die du noch nicht kennst. Die Sprache besteht aus ein paar Fragen, die man einem Graphen stellen kann:

Wo darf $x$ überhaupt stehen? (Definitionsbereich)
Wo schneidet der Graph die Achsen?
Ist er symmetrisch?
Wird er nach rechts hin immer steiler, oder flacht er ab?

Diese Lektion sammelt die Antworten. Danach kannst du einen unbekannten Graphen lesen, statt ihn nur anzuschauen.

Vermute zuerst

Drei Größen wachsen mit der Zeit $t$ : die Höhe einer Kerze nimmt gleichmäßig ab, die Fläche eines Quadrats wächst mit der Seitenlänge quadratisch, eine Bakterienkultur verdoppelt sich in gleichen Abständen. Welche der drei Beschreibungen passt zu einer Exponentialfunktion?

Die geläufigen Funktionsklassen

a

= 1

b

= 1

f(x) = x + 1

$D_f$: alle reellen x
$f(0)$: 1
$f(x) = 0$: −1

Gerade. Definitionsbereich: alle reellen x. Symmetrie: weder gerade noch ungerade.

Unten stehen Definitionsbereich, $y$ -Achsenabschnitt $f(0)$ und die Nullstellen im Fenster. Die Punkte auf den Achsen sind dieselben Zahlen.

Probier es aus

Lass die Gerade $ax + b$ stehen. Was macht $a$ mit der Steigung, was macht $b$ mit dem Schnittpunkt der $y$ -Achse?
Wechsel zur Parabel. Setze $a$ negativ. Wohin öffnet sie sich, und wo liegt der tiefste bzw. höchste Punkt?
Wechsel zur Hyperbel $\frac{a}{x-d}+e$ . Schieb $d$ . Welche senkrechte Linie darf der Graph nicht schneiden?
Vergleiche Exponentialfunktion und Gerade: Welche der beiden wird rechts im Bild deutlich steiler?

Definition

Funktionsklasse

Eine Funktionsklasse ist eine Familie von Funktionen, die denselben Bauplan haben. Der Bauplan ist ein Term mit Parametern; setzt man für die Parameter Zahlen ein, erhält man ein konkretes Mitglied der Familie.

Die Klassen, die in der Oberstufe ständig vorkommen:

Klasse	Bauplan	typischer Graph
linear	$f(x) = ax + b$	Gerade
quadratisch	$f(x) = a(x - d)^2 + e$	Parabel
ganzrational	$f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$	glatte Kurve ohne Lücken
gebrochen-rational	$f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$	Hyperbeläste, Lücken
Wurzelfunktion	$f(x) = a\sqrt{x - d} + e$	halbe liegende Parabel
Exponentialfunktion	$f(x) = a\,e^{kx}$	flach, dann steil (oder umgekehrt)
Logarithmus	$f(x) = a\ln(x - d) + e$	steil, dann flach
trigonometrisch	$f(x) = a\sin(bx)$	Welle

„Ganzrational“ heißt: nur Potenzen mit nichtnegativen ganzzahligen Exponenten, plus Zahlen. „Gebrochen-rational“ heißt: ein ganzrationaler Term geteilt durch einen anderen.

Definition

Definitionsbereich und Wertebereich

Der Definitionsbereich $D_f$ einer Funktion $f$ ist die Menge aller $x$ , für die der Term einen reellen Wert hat. Der Wertebereich $W_f$ ist die Menge aller Zahlen, die als Funktionswert wirklich vorkommen.

Drei Verbote legen $D_f$ in der Schule fast immer fest:

1. Durch null teilen ist nicht definiert. Bei $f(x) = \frac{1}{x-2}$ fehlt $x = 2$ .
2. Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist in den reellen Zahlen nicht definiert. Bei $f(x) = \sqrt{x-1}$ gilt $x \ge 1$ .
3. Der natürliche Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert. Bei $f(x) = \ln(x)$ gilt $x > 0$ .

Den Wertebereich liest man oft am Graphen ab: Welche $y$ -Höhen werden erreicht, welche nie? Die Gerade $f(x) = 2x + 1$ erreicht jede Höhe, die Parabel $f(x) = x^2$ nur $y \ge 0$ .

Beispiel

Definitionsbereich von $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}$

Zwei Bedingungen müssen gleichzeitig gelten: Der Radikand darf nicht negativ sein, und der Nenner darf nicht null sein.

x + 2 \ge 0 \quad\text{und}\quad x \neq 1

Aus der ersten Bedingung folgt $x \ge -2$ . Die zweite streicht den Punkt $x = 1$ (der sowieso rechts von $-2$ liegt). Also ist $D_f = [-2,\,1) \cup (1,\,\infty)$ . An $x = 1$ hat der Graph eine Lücke, bei $x = -2$ beginnt er, weil dort die Wurzel null wird.

Kurz geprüft

Welcher Definitionsbereich gehört zu $f(x) = \ln(x-3)$ ?

Definition

Nullstelle und $y$ -Achsenabschnitt

Eine Zahl $x_0$ heißt Nullstelle von $f$ , wenn $f(x_0) = 0$ ist. Im Graphen ist das ein Schnittpunkt mit der $x$ -Achse.

Der $y$ -Achsenabschnitt ist der Wert $f(0)$ , falls $0$ im Definitionsbereich liegt. Im Graphen ist das der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

Beides sind Antworten auf dieselbe Frage, nur an verschiedenen Achsen: Wo ist $y = 0$ ? Wo ist $x = 0$ ?

Beispiel

Nullstellen von $f(x) = (x-2)(x+1)$

Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Also $x-2 = 0$ oder $x+1 = 0$ , das heißt $x = 2$ oder $x = -1$ . Der $y$ -Achsenabschnitt ist $f(0) = (-2)\cdot(1) = -2$ .

Probe: $f(2) = 0$ und $f(-1) = 0$ . Zwischen den Nullstellen, etwa bei $x = 0$ , liegt der Graph unter der Achse. Links von $-1$ und rechts von $2$ liegt er darüber. Dieses Vorzeichenwechsel-Bild brauchst du später bei der Kurvendiskussion ständig.

Kurz geprüft

Die Parabel $f(x) = (x-1)^2 + 2$ hat wie viele Nullstellen?

Falten und drehen. Manche Graphen sehen links von der $y$ -Achse genauso aus wie rechts. Andere sehen aus, als hätte man sie um den Ursprung um $180^\circ$ gedreht. Diese beiden Symmetrien haben Namen, und man erkennt sie am Term, ohne zu zeichnen.

Definition

Gerade und ungerade Funktionen

Eine Funktion $f$ heißt gerade, wenn für alle $x$ im Definitionsbereich auch $-x$ darin liegt und $f(-x) = f(x)$ gilt. Der Graph ist dann achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Beispiele: $x^2$ , $\cos x$ , $|x|$ .

Eine Funktion $f$ heißt ungerade, wenn $f(-x) = -f(x)$ gilt. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung: Stellt man ihn auf den Kopf und spiegelt ihn an der $y$ -Achse, sieht er gleich aus. Beispiele: $x^3$ , $\sin x$ , $1/x$ .

Die Namen kommen von den Potenzen: $x^n$ ist gerade, wenn $n$ gerade ist, und ungerade, wenn $n$ ungerade ist. Die meisten Funktionen sind weder das eine noch das andere, etwa $f(x) = x^2 + x$ .

Schritt für Schritt

Symmetrie am Term prüfen

Man ersetzt $x$ durch $-x$ und vergleicht mit $f(x)$ und mit $-f(x)$ .

Gegeben $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$ . Bilde $f(-x)$ :
$f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)$

Schritt 1 von 3

Kurz geprüft

Welche Aussage über $f(x) = x^2 + 1$ ist richtig?

Bauen durch Verschieben. Hat man den Graphen von $x^2$ im Kopf, braucht man für $(x-3)^2 + 1$ kein neues Bild: Die Parabel ist um $3$ nach rechts und um $1$ nach oben geschoben. Dieselbe Idee gilt für jede Funktion.

Streckung und Verschiebung einer Parabel

a

= 1

b

= 0

c

= 0

f(x) = x^2

S = (0 | 0)

Der Punkt $S$ ist der Scheitel $(b \mid c)$ . Seine Bahn beim Bewegen eines Parameters ist die Ortskurve, dazu später mehr.

Probier es aus

Setze $a = 1$ , $b = 0$ , $c = 0$ . Das ist die gestrichelte Vergleichsparabel $x^2$ .
Schieb nur $c$ . Der Graph wandert senkrecht. Der Scheitel $S$ hinterlässt eine senkrechte Spur.
Schieb nur $b$ . Der Graph wandert waagerecht. Achtung: $f(x) = (x - b)^2$ liegt bei positivem $b$ rechts.
Setze $a = -1$ . Die Parabel öffnet nach unten. Was passiert mit dem Scheitel, wenn du $a$ gegen $0$ schiebst?

Definition

Verschiebung und Streckung

Sei $f$ eine beliebige Funktion. Aus ihrem Graphen entstehen neue Graphen durch vier Grundbewegungen:

$f(x) + c$ schiebt um $c$ nach oben (negatives $c$ : nach unten),
$f(x - d)$ schiebt um $d$ nach rechts (negatives $d$ : nach links),
$a\,f(x)$ mit $a > 0$ streckt senkrecht; $a < 0$ streckt und spiegelt an der $x$ -Achse,
$f(bx)$ mit $b > 1$ staucht waagerecht (der Graph wird schmaler), $0 < b < 1$ streckt waagerecht.

Die Reihenfolge ist nicht egal. Üblich ist, von innen nach außen zu lesen: zuerst die innere Verschiebung $x - d$ , dann die Streckung, zuletzt die äußere Verschiebung.

Beispiel

Von $\sqrt{x}$ zu $g(x) = -2\sqrt{x + 1} + 3$

Man baut $g$ in drei Schritten aus $\sqrt{x}$ :

1. $\sqrt{x + 1}$ schiebt den Graphen um $1$ nach links (weil $x + 1 = x - (-1)$ ). Der Startpunkt wandert von $(0 \mid 0)$ nach $(-1 \mid 0)$ .
2. $-2\sqrt{x + 1}$ streckt mit Faktor $2$ und spiegelt an der $x$ -Achse. Der Graph zeigt nach unten.
3. $+3$ schiebt um $3$ nach oben. Der Startpunkt liegt bei $(-1 \mid 3)$ .

Der Definitionsbereich bleibt $x \ge -1$ , nur verschoben.

Häufige Fehler

$f(x - 2)$ nach links schieben

Häufig wird $f(x - 2)$ um $2$ nach links geschoben, „weil da ein Minus steht“. Das Minus gehört zum $x$ : Damit dasselbe Argument wie vorher entsteht, muss $x$ um $2$ größer sein. Der Graph wandert nach rechts.

Probe mit einer Nullstelle. Hat $f$ eine Nullstelle bei $0$ , so hat $f(x-2)$ eine Nullstelle bei $2$ , denn $f(2-2) = f(0) = 0$ . Die Nullstelle ist nach rechts gewandert.

Richtig ist

$f(x - d)$ liegt um $d$ weiter rechts als $f(x)$ . $f(x) + c$ liegt um $c$ weiter oben.

Zusammenfassung

Eine Funktionsklasse ist ein Bauplan mit Parametern. Geraden, Parabeln, Hyperbeln, Wurzeln, Exponential- und Logarithmusfunktionen und Wellen sind die Klassen der Oberstufe.
Der Definitionsbereich ist die Menge der erlaubten $x$ : nicht durch null teilen, unter der Wurzel nicht negativ, im Logarithmus echt positiv.
Nullstellen sind die $x$ mit $f(x) = 0$ . Der $y$ -Achsenabschnitt ist $f(0)$ .
Gerade Funktionen sind achsensymmetrisch zur $y$ -Achse ( $f(-x) = f(x)$ ), ungerade punktsymmetrisch zum Ursprung ( $f(-x) = -f(x)$ ).
$f(x-d)+c$ verschiebt um $d$ nach rechts und um $c$ nach oben. Der Faktor $a$ in $a\,f(x)$ streckt senkrecht und spiegelt für $a < 0$ .

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Zu welcher Klasse gehört $f(x) = 3 \cdot 2^{x}$ ?

Aufgabe 2Term eingeben

Gib den Definitionsbereich von $f(x) = \sqrt{2x-6}$ als Ungleichung für $x$ an.

Aufgabe 3Numerisch

Wie viele Nullstellen hat $f(x) = x^2 - 9$ ?

Aufgabe 4Multiple Choice

Die Funktion $f(x) = x^3 + x$ ist

Aufgabe 5Term eingeben

Der Graph von $f(x) = x^2$ wird um $4$ nach rechts und um $1$ nach unten geschoben. Wie lautet der neue Term?

Aufgabe 6Freitext

Erkläre, warum $f(x) = \frac{1}{x}$ ungerade ist, und was das für den Graphen heißt.

Lektion 1.1 · Funktionsklassen und Grenzwerte

Funktionsklassen und Eigenschaften von Funktionen

Wo darf $x$ überhaupt stehen? (Definitionsbereich)
Wo schneidet der Graph die Achsen?
Ist er symmetrisch?
Wird er nach rechts hin immer steiler, oder flacht er ab?

Diese Lektion sammelt die Antworten. Danach kannst du einen unbekannten Graphen lesen, statt ihn nur anzuschauen.

Definition

Funktionsklasse

Die Klassen, die in der Oberstufe ständig vorkommen:

Klasse	Bauplan	typischer Graph
linear	$f(x) = ax + b$	Gerade
quadratisch	$f(x) = a(x - d)^2 + e$	Parabel
ganzrational	$f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$	glatte Kurve ohne Lücken
gebrochen-rational	$f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$	Hyperbeläste, Lücken
Wurzelfunktion	$f(x) = a\sqrt{x - d} + e$	halbe liegende Parabel
Exponentialfunktion	$f(x) = a\,e^{kx}$	flach, dann steil (oder umgekehrt)
Logarithmus	$f(x) = a\ln(x - d) + e$	steil, dann flach
trigonometrisch	$f(x) = a\sin(bx)$	Welle

„Ganzrational“ heißt: nur Potenzen mit nichtnegativen ganzzahligen Exponenten, plus Zahlen. „Gebrochen-rational“ heißt: ein ganzrationaler Term geteilt durch einen anderen.

Definition

Definitionsbereich und Wertebereich

Drei Verbote legen $D_f$ in der Schule fast immer fest:

Den Wertebereich liest man oft am Graphen ab: Welche $y$ -Höhen werden erreicht, welche nie? Die Gerade $f(x) = 2x + 1$ erreicht jede Höhe, die Parabel $f(x) = x^2$ nur $y \ge 0$ .

Beispiel

Definitionsbereich von $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}$

Zwei Bedingungen müssen gleichzeitig gelten: Der Radikand darf nicht negativ sein, und der Nenner darf nicht null sein.

x + 2 \ge 0 \quad\text{und}\quad x \neq 1

Definition

Nullstelle und $y$ -Achsenabschnitt

Eine Zahl $x_0$ heißt Nullstelle von $f$ , wenn $f(x_0) = 0$ ist. Im Graphen ist das ein Schnittpunkt mit der $x$ -Achse.

Der $y$ -Achsenabschnitt ist der Wert $f(0)$ , falls $0$ im Definitionsbereich liegt. Im Graphen ist das der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

Beides sind Antworten auf dieselbe Frage, nur an verschiedenen Achsen: Wo ist $y = 0$ ? Wo ist $x = 0$ ?

Beispiel

Nullstellen von $f(x) = (x-2)(x+1)$

Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Also $x-2 = 0$ oder $x+1 = 0$ , das heißt $x = 2$ oder $x = -1$ . Der $y$ -Achsenabschnitt ist $f(0) = (-2)\cdot(1) = -2$ .

Definition

Gerade und ungerade Funktionen

Die Namen kommen von den Potenzen: $x^n$ ist gerade, wenn $n$ gerade ist, und ungerade, wenn $n$ ungerade ist. Die meisten Funktionen sind weder das eine noch das andere, etwa $f(x) = x^2 + x$ .

Schritt für Schritt

Symmetrie am Term prüfen

Man ersetzt $x$ durch $-x$ und vergleicht mit $f(x)$ und mit $-f(x)$ .

Gegeben $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$ . Bilde $f(-x)$ :
$f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)$
Es gilt $f(-x) = f(x)$ , also ist $f$ gerade. Der Graph ist symmetrisch zur $y$ -Achse.
Dagegen $g(x) = x^3 - x$ . Es ist $g(-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x)$ , also ungerade.

Nur gerade Potenzen (und eine Konstante) machen eine gerade Funktion. Nur ungerade Potenzen machen eine ungerade Funktion. Gemischte Terme zerstören beide Symmetrien.

Definition

Verschiebung und Streckung

Sei $f$ eine beliebige Funktion. Aus ihrem Graphen entstehen neue Graphen durch vier Grundbewegungen:

$f(x) + c$ schiebt um $c$ nach oben (negatives $c$ : nach unten),
$f(x - d)$ schiebt um $d$ nach rechts (negatives $d$ : nach links),
$a\,f(x)$ mit $a > 0$ streckt senkrecht; $a < 0$ streckt und spiegelt an der $x$ -Achse,
$f(bx)$ mit $b > 1$ staucht waagerecht (der Graph wird schmaler), $0 < b < 1$ streckt waagerecht.

Die Reihenfolge ist nicht egal. Üblich ist, von innen nach außen zu lesen: zuerst die innere Verschiebung $x - d$ , dann die Streckung, zuletzt die äußere Verschiebung.

Beispiel

Von $\sqrt{x}$ zu $g(x) = -2\sqrt{x + 1} + 3$

Man baut $g$ in drei Schritten aus $\sqrt{x}$ :

Der Definitionsbereich bleibt $x \ge -1$ , nur verschoben.

Häufige Fehler

$f(x - 2)$ nach links schieben

Probe mit einer Nullstelle. Hat $f$ eine Nullstelle bei $0$ , so hat $f(x-2)$ eine Nullstelle bei $2$ , denn $f(2-2) = f(0) = 0$ . Die Nullstelle ist nach rechts gewandert.

$f(x - d)$ liegt um $d$ weiter rechts als $f(x)$ . $f(x) + c$ liegt um $c$ weiter oben.

Zusammenfassung

Eine Funktionsklasse ist ein Bauplan mit Parametern. Geraden, Parabeln, Hyperbeln, Wurzeln, Exponential- und Logarithmusfunktionen und Wellen sind die Klassen der Oberstufe.
Der Definitionsbereich ist die Menge der erlaubten $x$ : nicht durch null teilen, unter der Wurzel nicht negativ, im Logarithmus echt positiv.
Nullstellen sind die $x$ mit $f(x) = 0$ . Der $y$ -Achsenabschnitt ist $f(0)$ .
Gerade Funktionen sind achsensymmetrisch zur $y$ -Achse ( $f(-x) = f(x)$ ), ungerade punktsymmetrisch zum Ursprung ( $f(-x) = -f(x)$ ).
$f(x-d)+c$ verschiebt um $d$ nach rechts und um $c$ nach oben. Der Faktor $a$ in $a\,f(x)$ streckt senkrecht und spiegelt für $a < 0$ .

Definitionsbereich von f(x)=x+2x−1f(x) = \dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}f(x)=x−1x+2​​

Nullstellen von f(x)=(x−2)(x+1)f(x) = (x-2)(x+1)f(x)=(x−2)(x+1)

Symmetrie am Term prüfen

Von x\sqrt{x}x​ zu g(x)=−2x+1+3g(x) = -2\sqrt{x + 1} + 3g(x)=−2x+1​+3

f(x−2)f(x - 2)f(x−2) nach links schieben

Zusammenfassung

Übungen

Definitionsbereich von $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}$

Nullstellen von $f(x) = (x-2)(x+1)$

Von $\sqrt{x}$ zu $g(x) = -2\sqrt{x + 1} + 3$

$f(x - 2)$ nach links schieben