Lektion 1.2

Grenzwerte und Stetigkeit

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

untersuchen, welchem Wert sich $f(x)$ nähert, wenn $x$ einer Stelle $x_0$ immer näher kommt, von links und von rechts
Grenzwerte an Definitionslücken durch Kürzen berechnen und das Verhalten für $x \to \pm\infty$ bestimmen
Sprungstellen, hebbare Lücken und Polstellen am Graphen und am Term unterscheiden
erklären, was Stetigkeit bedeutet, und den Zwischenwertsatz anwenden

Glatt oder mit Sprung? Viele Größen ändern sich ohne Sprünge. Die Temperatur draußen steigt am Vormittag von $12\,°\text{C}$ auf $20\,°\text{C}$ , und dazwischen nimmt sie jeden Wert einmal an: Es gibt keinen Moment, in dem sie von $15$ direkt auf $16$ springt. Andere Größen springen sehr wohl. In einem Parkhaus kostet jede angefangene Stunde $2$ Euro. Wer $59$ Minuten parkt, zahlt $2$ Euro, wer $61$ Minuten parkt, zahlt $4$ Euro. Bei genau einer Stunde macht der Preis einen Sprung.

Den Unterschied zwischen diesen beiden Arten von Funktionen kann man präzise fassen. Man fragt dazu: Wenn $x$ einer Stelle immer näher kommt, kommen dann auch die Funktionswerte einem bestimmten Wert immer näher? Diese Frage führt zum Begriff des Grenzwerts. Er ist das Fundament der ganzen Analysis, denn auch die Ableitung ist ein Grenzwert: die Sekantensteigung, wenn $h$ gegen $0$ geht.

Vermute zuerst

Die Funktion $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ ist an der Stelle $x = 1$ nicht definiert, denn dort würde man durch $0$ teilen. Was passiert mit $f(x)$ , wenn $x$ ganz nahe an $1$ heranrückt?

Annäherung an die Lücke von

f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

d

= 1

$d$: 1
$f(1 - d)$: 1
$f(1 + d)$: 3
$f(1)$: nicht definiert

Beide Seiten nähern sich demselben Wert, ungefähr $2$ . An der Stelle selbst ist $f$ nicht definiert, trotzdem gibt es einen Grenzwert.

Der hohle Kreis markiert das Loch im Graphen: Dort gibt es keinen Funktionswert, aber die Werte links und rechts davon streben auf diese Höhe zu.

Probier es aus

Schieb den Regler nach rechts. Der Abstand $d$ der beiden Punkte zur Stelle $x_0 = 1$ wird dabei immer kleiner.
Lies in der Tabelle $f(1 - d)$ und $f(1 + d)$ ab. Wie viele Nachkommastellen stimmen mit $2$ überein, wenn $d = 0{,}001$ ist?
Achte auf den hohlen Kreis im Graphen. Was bedeutet er?

Definition

Grenzwert einer Funktion an einer Stelle

Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x_0$ den Grenzwert $g$ , wenn sich die Funktionswerte $f(x)$ der Zahl $g$ beliebig nähern, sobald $x$ nahe genug bei $x_0$ liegt, und zwar egal, ob man sich von links oder von rechts nähert. Man schreibt

$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = g$

und liest: „Der Limes von $f(x)$ für $x$ gegen $x_0$ ist $g$ .“ (Lateinisch *limes* heißt Grenze.)

Zwei Dinge sind dabei wichtig:

Der Wert $f(x_0)$ selbst spielt keine Rolle. Er darf fehlen (wie im Beispiel oben) oder sogar etwas ganz anderes sein. Es geht nur um die Werte in der Nähe von $x_0$ .
Beide Seiten müssen zum selben Wert führen. Nähert man sich nur von links, spricht man vom linksseitigen Grenzwert $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ , von rechts entsprechend vom rechtsseitigen Grenzwert $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ . Der Grenzwert existiert genau dann, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind.

Für den Leistungskurs lohnt sich eine schärfere Fassung. „Beliebig nahe“ bedeutet: Man gibt sich eine noch so kleine Toleranz $\varepsilon > 0$ vor (gesprochen: Epsilon). Dann muss es einen Abstand $\delta > 0$ (Delta) geben, sodass alle $x$ mit $0 < |x - x_0| < \delta$ einen Funktionswert haben, der weniger als $\varepsilon$ von $g$ entfernt ist:

$|f(x) - g| < \varepsilon$ .

Im Beispiel ist $f(x) = x + 1$ für $x \neq 1$ , also $|f(x) - 2| = |x - 1|$ . Wer verlangt, dass $f(x)$ höchstens $\varepsilon = 0{,}001$ von $2$ abweicht, muss $x$ nur weniger als $\delta = 0{,}001$ von $1$ entfernt wählen. Für jede Toleranz klappt das mit $\delta = \varepsilon$ . Genau das ist der Beweis, dass der Grenzwert $2$ ist.

Schritt für Schritt

Einen Grenzwert an einer Lücke berechnen

Gesucht ist $\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 + x - 2}{x + 2}$ . Setzt man $x = -2$ ein, erhält man $\frac{0}{0}$ . Das ist keine Zahl, sondern ein Zeichen, dass man weiterrechnen muss.

Der Zähler wird bei $x = -2$ null. Also lässt sich der Linearfaktor $(x + 2)$ abspalten:
$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$

Schritt 1 von 3

Kurz geprüft

Berechne $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ .

Wenn die Seiten nicht zusammenpassen. Nicht jede Funktion hat an jeder Stelle einen Grenzwert. Die Funktion $f(x) = \frac{|x|}{x}$ ist für positive $x$ gleich $\frac{x}{x} = 1$ und für negative $x$ gleich $\frac{-x}{x} = -1$ . Ihr Graph besteht aus zwei waagerechten Halbgeraden, und bei $x = 0$ springt er. Im nächsten Versuch siehst du, was das für die Annäherung bedeutet.

Eine Sprungstelle bei

f(x) = \frac{|x|}{x}

d

= 1

$d$: 1
$f(0 - d)$: −1
$f(0 + d)$: 1
$f(0)$: nicht definiert

Von links: $f(x)$ strebt gegen ungefähr $-1$ . Von rechts: $f(x)$ strebt gegen ungefähr $1$ . Die beiden Seiten passen nicht zusammen, also gibt es an dieser Stelle keinen Grenzwert.

Der linksseitige Grenzwert ist $-1$ , der rechtsseitige $1$ . Weil sie verschieden sind, existiert $\lim_{x \to 0} f(x)$ nicht.

Probier es aus

Verkleinere $d$ . Welchem Wert nähert sich der linke Punkt, welchem der rechte?
Gibt es eine Zahl, der beide Punkte zugleich beliebig nahe kommen?

Definition

Polstelle und uneigentlicher Grenzwert

Bei $f(x) = \frac{1}{x^2}$ wird der Nenner in der Nähe von $0$ winzig, der Zähler bleibt aber $1$ . Dann werden die Funktionswerte riesig: $f(0{,}1) = 100$ , $f(0{,}01) = 10\,000$ , $f(0{,}001) = 1\,000\,000$ . Sie nähern sich keiner Zahl, sondern wachsen über jede Schranke hinaus. Man schreibt dafür

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$

und spricht von einem uneigentlichen Grenzwert: $\infty$ ist keine Zahl, das Zeichen fasst nur zusammen, dass die Werte unbegrenzt wachsen. Die Stelle heißt Polstelle, die senkrechte Gerade $x = 0$ ist eine senkrechte Asymptote: Der Graph schmiegt sich an sie an, ohne sie zu erreichen.

Bei $\frac{1}{x}$ hängt das Vorzeichen von der Seite ab: Rechts von $0$ sind die Werte positiv und wachsen gegen $+\infty$ , links sind sie negativ und fallen gegen $-\infty$ . Man nennt das eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Eine Polstelle bei

f(x) = \frac{1}{x}

d

= 1

$d$: 1
$f(0 - d)$: −1
$f(0 + d)$: 1
$f(0)$: nicht definiert

Von links: $f(x)$ fällt unter alle Grenzen ( $-\infty$ ). Von rechts: $f(x)$ wächst über alle Grenzen ( $+\infty$ ). Das ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, einen Grenzwert gibt es hier nicht.

Schon bei $d = 0{,}1$ liegen beide Punkte außerhalb des Bildes: $f(\pm 0{,}1) = \pm 10$ .

Probier es aus

Verkleinere $d$ langsam. Was geschieht mit den beiden Punkten?
Vergleiche die Vorzeichen von $f(-d)$ und $f(d)$ in der Tabelle.

Vermute zuerst

Wie verhält sich $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ , wenn $x$ immer größer wird, also für $x \to \infty$ ?

Definition

Grenzwert für x gegen Unendlich

Die Funktion $f$ hat für $x \to \infty$ den Grenzwert $g$ , wenn sich $f(x)$ der Zahl $g$ beliebig nähert, sobald $x$ groß genug ist. Man schreibt $\lim_{x \to \infty} f(x) = g$ . Für $x \to -\infty$ gilt das entsprechend.

Geometrisch heißt das: Der Graph nähert sich für große $x$ der waagerechten Geraden $y = g$ . Sie heißt waagerechte Asymptote.

Für gebrochen-rationale Funktionen $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ entscheidet der Vergleich der Grade von Zähler und Nenner:

Grad des Zählers kleiner als Grad des Nenners: $f(x) \to 0$ , die $x$ -Achse ist Asymptote.
Grade gleich: $f(x)$ strebt gegen den Quotienten der Leitkoeffizienten (der Zahlen vor den höchsten Potenzen).
Grad des Zählers größer: Es gibt keine waagerechte Asymptote, $f(x)$ wächst über alle Grenzen oder fällt unter alle Grenzen.

Schritt für Schritt

Verhalten im Unendlichen berechnen

Gesucht ist $\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$ .

Zähler und Nenner durch die höchste Potenz des Nenners teilen, hier $x^2$ :
$\frac{3x^2 - x}{x^2 + 5} = \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{5}{x^2}}$

Schritt 1 von 3

Kurz geprüft

Bestimme $\lim_{x \to \infty} \dfrac{4x - 7}{2x + 1}$ .

Definition

Stetigkeit

Eine Funktion $f$ heißt stetig an der Stelle $x_0$ , wenn drei Dinge zusammenkommen:

1. $f(x_0)$ ist definiert,
2. der Grenzwert $\lim_{x \to x_0} f(x)$ existiert,
3. beide stimmen überein: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ .

In Worten: Wenn $x$ nahe bei $x_0$ liegt, liegt auch $f(x)$ nahe bei $f(x_0)$ . Kleine Änderungen von $x$ bewirken nur kleine Änderungen von $f(x)$ , es gibt keinen Sprung. Ist $f$ an jeder Stelle seines Definitionsbereichs stetig, nennt man $f$ einfach stetig.

Die bekannte Faustregel „Man kann den Graphen zeichnen, ohne den Stift abzusetzen“ trifft den Kern, gilt aber nur auf Intervallen. $\frac{1}{x}$ ist stetig, denn die Stelle $0$ gehört gar nicht zum Definitionsbereich, obwohl man den Stift dort absetzen muss.

Beispiel

Drei Arten, nicht stetig zu sein

Wo eine Funktion nicht stetig ist oder eine Lücke hat, liegt fast immer einer dieser drei Fälle vor:

Hebbare Lücke: Der Grenzwert existiert, aber $f(x_0)$ fehlt (oder passt nicht). Beispiel $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ bei $1$ . Setzt man $f(1) = 2$ , ist die Lücke „behoben“: Man nennt das die stetige Fortsetzung.
Sprungstelle: Beide einseitigen Grenzwerte existieren, sind aber verschieden. Beispiel $\frac{|x|}{x}$ bei $0$ , oder der Parkhauspreis bei jeder vollen Stunde.
Polstelle: Mindestens ein einseitiger Grenzwert ist $\pm\infty$ . Beispiel $\frac{1}{x}$ bei $0$ . Hier hilft keine Festlegung von $f(0)$ .

Bei gebrochen-rationalen Funktionen erkennt man den Fall am Term: Wird an einer Nullstelle des Nenners auch der Zähler null, so kürzt man den gemeinsamen Faktor. Bleibt danach der Nenner an der Stelle von null verschieden, ist die Lücke hebbar. Wird er weiterhin null, ist es eine Polstelle.

Kurz geprüft

Die Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ hat bei $x = 2$ eine Lücke. Welchen Wert muss man für $f(2)$ festlegen, damit $f$ dort stetig wird?

Satz

Rechnen mit stetigen Funktionen

Sind $f$ und $g$ an der Stelle $x_0$ stetig, so sind dort auch stetig:

$\displaystyle f + g, \quad f - g, \quad f \cdot g, \quad \frac{f}{g} \ (\text{falls } g(x_0) \neq 0).$

Auch die Verkettung stetiger Funktionen ist stetig. Daraus folgt: Alle ganzrationalen Funktionen sind überall stetig, gebrochen-rationale Funktionen sind überall dort stetig, wo der Nenner nicht null ist. Ebenso sind $\sin$ , $\cos$ , $e^x$ und $\sqrt{x}$ auf ihren Definitionsbereichen stetig.

Satz

Zwischenwertsatz

Ist $f$ auf dem Intervall $[a, b]$ stetig und liegt die Zahl $c$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ , dann gibt es mindestens eine Stelle $x_c$ in $[a, b]$ mit $f(x_c) = c$ .

Besonders wichtig ist der Fall $c = 0$ : Hat eine stetige Funktion an den Rändern eines Intervalls verschiedene Vorzeichen, dann hat sie dazwischen mindestens eine Nullstelle.

Das ist die Temperatur vom Anfang: Wer am Vormittag von $12\,°\text{C}$ auf $20\,°\text{C}$ kommt, war irgendwann genau bei $15\,°\text{C}$ . Beim Parkhauspreis gilt der Satz nicht: Er springt von $2$ auf $4$ Euro und nimmt $3$ Euro nie an, denn er ist nicht stetig.

Beispiel

Eine Nullstelle einschließen

Hat $f(x) = x^3 + x - 1$ eine Nullstelle zwischen $0$ und $1$ ?

f(0) = -1 < 0, \qquad f(1) = 1 > 0

Als Polynom ist $f$ stetig, und die Vorzeichen an den Rändern sind verschieden. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also eine Nullstelle in $[0, 1]$ , obwohl wir sie gar nicht ausrechnen können. Halbieren hilft weiter: $f(0{,}5) = -0{,}375 < 0$ , also liegt sie in $[0{,}5;\ 1]$ . $f(0{,}75) \approx 0{,}17 > 0$ , also in $[0{,}5;\ 0{,}75]$ . Nach einigen weiteren Schritten erhält man $x \approx 0{,}682$ . Schneller geht es mit dem Newton-Verfahren.

Häufige Fehler

$\frac{0}{0}$ ist nicht $1$ und nicht $0$

Beim Einsetzen kommt $\frac{0}{0}$ heraus, und man schließt daraus, der Grenzwert sei $0$ , $1$ oder existiere nicht.

Richtig ist

$\frac{0}{0}$ ist ein unbestimmter Ausdruck: Er sagt nur, dass Einsetzen nicht weiterhilft. Je nach Funktion kann jeder Grenzwert herauskommen. Bei $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ ist es $2$ , bei $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ ist es $6$ . Man muss erst umformen, meistens kürzen.

Häufige Fehler

Grenzwert und Funktionswert verwechseln

Man bestimmt $\lim_{x \to x_0} f(x)$ , indem man immer einfach $f(x_0)$ ausrechnet.

Richtig ist

Das ist nur bei stetigen Funktionen erlaubt, denn genau das besagt die Stetigkeit. Bei einer Lücke gibt es $f(x_0)$ nicht, bei einer abschnittsweise definierten Funktion kann $f(x_0)$ vom Grenzwert abweichen. Der Grenzwert fragt nach den Werten neben $x_0$ .

Häufige Fehler

Nur eine Seite prüfen

Man setzt $x = 0{,}01$ und $x = 0{,}001$ ein, sieht eine Annäherung und schließt auf den Grenzwert.

Richtig ist

Man muss von beiden Seiten prüfen. Bei $\frac{|x|}{x}$ zeigen die Werte rechts von $0$ klar gegen $1$ , links aber gegen $-1$ . Ein Grenzwert existiert nur, wenn beide Seiten übereinstimmen.

Zusammenfassung

$\lim_{x \to x_0} f(x) = g$ heißt: Für $x$ nahe bei $x_0$ (aber $x \neq x_0$ ) liegt $f(x)$ beliebig nahe bei $g$ , und zwar von beiden Seiten.
Der Wert $f(x_0)$ spielt für den Grenzwert keine Rolle.
Ergibt Einsetzen $\frac{0}{0}$ , so kürzt man den gemeinsamen Linearfaktor und bestimmt dann den Grenzwert.
Für $x \to \pm\infty$ teilt man durch die höchste Potenz des Nenners. Der Gradvergleich sagt sofort, ob es eine waagerechte Asymptote gibt.
Unstetigkeiten: hebbare Lücke (Grenzwert existiert), Sprung (einseitige Grenzwerte verschieden), Polstelle (Werte wachsen unbeschränkt).
$f$ ist stetig in $x_0$ , wenn $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ . Summen, Produkte, Quotienten und Verkettungen stetiger Funktionen sind stetig.
Zwischenwertsatz: Eine stetige Funktion mit Vorzeichenwechsel auf $[a, b]$ hat dort eine Nullstelle.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne $\lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$ .

Aufgabe 2Numerisch

Berechne $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}$ .

Aufgabe 3Numerisch

Bestimme $\lim_{x \to \infty} \dfrac{6x^3 + 2x}{3x^3 - x^2 + 4}$ .

Aufgabe 4Multiple Choice

Welche Art von Stelle hat $f(x) = \dfrac{x + 1}{(x + 1)(x - 2)}$ bei $x = 2$ ?

Aufgabe 5Numerisch

Die Funktion $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x}{x}$ hat bei $x = 0$ eine hebbare Lücke. Welcher Wert $f(0)$ macht $f$ stetig?

Aufgabe 6Multiple Choice

Die Funktion $f$ ist abschnittsweise definiert: $f(x) = x^2$ für $x \leq 1$ und $f(x) = ax + 1$ für $x > 1$ . Für welches $a$ ist $f$ an der Stelle $1$ stetig?

Aufgabe 7Freitext

Zeige mit dem Zwischenwertsatz, dass die Gleichung $x^3 = 2x + 1$ eine Lösung zwischen $1$ und $2$ hat. Begründe jeden Schritt.

Lektion 1.2 · Funktionsklassen und Grenzwerte

Grenzwerte und Stetigkeit

Die Funktion $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ ist an der Stelle $x = 1$ nicht definiert, denn dort würde man durch $0$ teilen. Was passiert mit $f(x)$ , wenn $x$ ganz nahe an $1$ heranrückt?

Rechnet man ein paar Werte aus, sieht man das Muster sofort:

$x$	$0{,}9$	$0{,}99$	$0{,}999$	$1$	$1{,}001$	$1{,}01$	$1{,}1$
$f(x)$	$1{,}9$	$1{,}99$	$1{,}999$	nicht definiert	$2{,}001$	$2{,}01$	$2{,}1$

Von beiden Seiten kommen die Werte der Zahl $2$ beliebig nahe. Der Grund: Nach der dritten binomischen Formel ist $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ . Für $x \neq 1$ darf man kürzen, und es bleibt $f(x) = x + 1$ . Der Graph von $f$ ist also die Gerade $y = x + 1$ , nur mit einem Loch bei $x = 1$ . An dieser Stelle würde die Gerade den Wert $1 + 1 = 2$ haben.

Definition

Grenzwert einer Funktion an einer Stelle

$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = g$

und liest: „Der Limes von $f(x)$ für $x$ gegen $x_0$ ist $g$ .“ (Lateinisch *limes* heißt Grenze.)

Zwei Dinge sind dabei wichtig:

Der Wert $f(x_0)$ selbst spielt keine Rolle. Er darf fehlen (wie im Beispiel oben) oder sogar etwas ganz anderes sein. Es geht nur um die Werte in der Nähe von $x_0$ .
Beide Seiten müssen zum selben Wert führen. Nähert man sich nur von links, spricht man vom linksseitigen Grenzwert $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ , von rechts entsprechend vom rechtsseitigen Grenzwert $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ . Der Grenzwert existiert genau dann, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind.

$|f(x) - g| < \varepsilon$ .

Schritt für Schritt

Einen Grenzwert an einer Lücke berechnen

Gesucht ist $\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 + x - 2}{x + 2}$ . Setzt man $x = -2$ ein, erhält man $\frac{0}{0}$ . Das ist keine Zahl, sondern ein Zeichen, dass man weiterrechnen muss.

Der Zähler wird bei $x = -2$ null. Also lässt sich der Linearfaktor $(x + 2)$ abspalten:
$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$
Für $x \neq -2$ kürzen:
$\frac{(x + 2)(x - 1)}{x + 2} = x - 1 \quad \text{für } x \neq -2$
Den Grenzwert des gekürzten Terms bestimmen. Hier darf man einsetzen:
$\lim_{x \to -2} (x - 1) = -2 - 1 = -3$

Der Grenzwert ist

\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + x - 2}{x + 2} = -3

Definition

Polstelle und uneigentlicher Grenzwert

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$

Definition

Grenzwert für x gegen Unendlich

Geometrisch heißt das: Der Graph nähert sich für große $x$ der waagerechten Geraden $y = g$ . Sie heißt waagerechte Asymptote.

Für gebrochen-rationale Funktionen $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ entscheidet der Vergleich der Grade von Zähler und Nenner:

Grad des Zählers kleiner als Grad des Nenners: $f(x) \to 0$ , die $x$ -Achse ist Asymptote.
Grade gleich: $f(x)$ strebt gegen den Quotienten der Leitkoeffizienten (der Zahlen vor den höchsten Potenzen).
Grad des Zählers größer: Es gibt keine waagerechte Asymptote, $f(x)$ wächst über alle Grenzen oder fällt unter alle Grenzen.

Schritt für Schritt

Verhalten im Unendlichen berechnen

Gesucht ist $\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$ .

Zähler und Nenner durch die höchste Potenz des Nenners teilen, hier $x^2$ :
$\frac{3x^2 - x}{x^2 + 5} = \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{5}{x^2}}$
Die Brüche mit $x$ im Nenner gehen gegen $0$ :
$\frac{1}{x} \to 0, \quad \frac{5}{x^2} \to 0 \quad \text{für } x \to \infty$
Zusammensetzen:
$\lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{5}{x^2}} = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3$

Die Gerade $y = 3$ ist waagerechte Asymptote. Das passt zur Regel: Beide Grade sind $2$ , die Leitkoeffizienten sind $3$ und $1$ .

\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x}{x^2 + 5} = 3

Definition

Stetigkeit

Eine Funktion $f$ heißt stetig an der Stelle $x_0$ , wenn drei Dinge zusammenkommen:

1. $f(x_0)$ ist definiert,
2. der Grenzwert $\lim_{x \to x_0} f(x)$ existiert,
3. beide stimmen überein: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ .

Beispiel

Drei Arten, nicht stetig zu sein

Wo eine Funktion nicht stetig ist oder eine Lücke hat, liegt fast immer einer dieser drei Fälle vor:

Hebbare Lücke: Der Grenzwert existiert, aber $f(x_0)$ fehlt (oder passt nicht). Beispiel $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ bei $1$ . Setzt man $f(1) = 2$ , ist die Lücke „behoben“: Man nennt das die stetige Fortsetzung.
Sprungstelle: Beide einseitigen Grenzwerte existieren, sind aber verschieden. Beispiel $\frac{|x|}{x}$ bei $0$ , oder der Parkhauspreis bei jeder vollen Stunde.
Polstelle: Mindestens ein einseitiger Grenzwert ist $\pm\infty$ . Beispiel $\frac{1}{x}$ bei $0$ . Hier hilft keine Festlegung von $f(0)$ .

Satz

Rechnen mit stetigen Funktionen

Sind $f$ und $g$ an der Stelle $x_0$ stetig, so sind dort auch stetig:

$\displaystyle f + g, \quad f - g, \quad f \cdot g, \quad \frac{f}{g} \ (\text{falls } g(x_0) \neq 0).$

Beweis

Wir zeigen es für die Summe, die anderen Fälle gehen ähnlich. Für Grenzwerte gilt die Summenregel: Wenn $f(x) \to a$ und $g(x) \to b$ , dann $f(x) + g(x) \to a + b$ . Anschaulich: Liegt $f(x)$ höchstens $\frac{\varepsilon}{2}$ von $a$ entfernt und $g(x)$ höchstens $\frac{\varepsilon}{2}$ von $b$ , so liegt die Summe höchstens $\varepsilon$ von $a + b$ entfernt.

Sind $f$ und $g$ stetig in $x_0$ , so ist $a = f(x_0)$ und $b = g(x_0)$ . Also gilt

$\displaystyle \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = f(x_0) + g(x_0),$

und das ist genau die Stetigkeit von $f + g$ in $x_0$ . Die konstante Funktion und $x \mapsto x$ sind offensichtlich stetig. Mit Summe und Produkt baut man daraus jedes Polynom auf, also sind alle Polynome stetig.

q.e.d.

Satz

Zwischenwertsatz

Ist $f$ auf dem Intervall $[a, b]$ stetig und liegt die Zahl $c$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ , dann gibt es mindestens eine Stelle $x_c$ in $[a, b]$ mit $f(x_c) = c$ .

Besonders wichtig ist der Fall $c = 0$ : Hat eine stetige Funktion an den Rändern eines Intervalls verschiedene Vorzeichen, dann hat sie dazwischen mindestens eine Nullstelle.

Beweis

Beweisidee mit Intervallhalbierung für $f(a) < 0 < f(b)$ . Man halbiert das Intervall und schaut auf das Vorzeichen in der Mitte $m = \frac{a + b}{2}$ . Ist $f(m) = 0$ , ist man fertig. Sonst behält man die Hälfte, an deren Rändern die Vorzeichen verschieden sind. So entsteht eine Folge immer kürzerer Intervalle, die alle einen Vorzeichenwechsel enthalten; nach $n$ Schritten ist die Länge $\frac{b - a}{2^n}$ . Die Intervalle ziehen sich auf eine Stelle $x_c$ zusammen.

Die linken Ränder haben alle negative Funktionswerte, die rechten positive. Weil $f$ stetig ist, streben beide Folgen von Funktionswerten gegen $f(x_c)$ . Ein Grenzwert von negativen Zahlen ist höchstens $0$ , ein Grenzwert von positiven Zahlen mindestens $0$ . Also ist $f(x_c) = 0$ . (Dass sich die Intervalle wirklich auf eine reelle Zahl zusammenziehen, ist eine Grundeigenschaft der reellen Zahlen, die man in der Schule voraussetzt.)

q.e.d.

Beispiel

Eine Nullstelle einschließen

Hat $f(x) = x^3 + x - 1$ eine Nullstelle zwischen $0$ und $1$ ?

f(0) = -1 < 0, \qquad f(1) = 1 > 0

Häufige Fehler

$\frac{0}{0}$ ist nicht $1$ und nicht $0$

Beim Einsetzen kommt $\frac{0}{0}$ heraus, und man schließt daraus, der Grenzwert sei $0$ , $1$ oder existiere nicht.

Häufige Fehler

Grenzwert und Funktionswert verwechseln

Man bestimmt $\lim_{x \to x_0} f(x)$ , indem man immer einfach $f(x_0)$ ausrechnet.

Häufige Fehler

Nur eine Seite prüfen

Man setzt $x = 0{,}01$ und $x = 0{,}001$ ein, sieht eine Annäherung und schließt auf den Grenzwert.

Man muss von beiden Seiten prüfen. Bei $\frac{|x|}{x}$ zeigen die Werte rechts von $0$ klar gegen $1$ , links aber gegen $-1$ . Ein Grenzwert existiert nur, wenn beide Seiten übereinstimmen.

Zusammenfassung

$\lim_{x \to x_0} f(x) = g$ heißt: Für $x$ nahe bei $x_0$ (aber $x \neq x_0$ ) liegt $f(x)$ beliebig nahe bei $g$ , und zwar von beiden Seiten.
Der Wert $f(x_0)$ spielt für den Grenzwert keine Rolle.
Ergibt Einsetzen $\frac{0}{0}$ , so kürzt man den gemeinsamen Linearfaktor und bestimmt dann den Grenzwert.
Für $x \to \pm\infty$ teilt man durch die höchste Potenz des Nenners. Der Gradvergleich sagt sofort, ob es eine waagerechte Asymptote gibt.
Unstetigkeiten: hebbare Lücke (Grenzwert existiert), Sprung (einseitige Grenzwerte verschieden), Polstelle (Werte wachsen unbeschränkt).
$f$ ist stetig in $x_0$ , wenn $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ . Summen, Produkte, Quotienten und Verkettungen stetiger Funktionen sind stetig.
Zwischenwertsatz: Eine stetige Funktion mit Vorzeichenwechsel auf $[a, b]$ hat dort eine Nullstelle.

Einen Grenzwert an einer Lücke berechnen

Verhalten im Unendlichen berechnen

Drei Arten, nicht stetig zu sein

Eine Nullstelle einschließen

00\frac{0}{0}00​ ist nicht 111 und nicht 000

Grenzwert und Funktionswert verwechseln

Nur eine Seite prüfen

Zusammenfassung

Übungen

$\frac{0}{0}$ ist nicht $1$ und nicht $0$