Lektion 1.3

Gebrochen-rationale Funktionen und Wurzelfunktionen untersuchen

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

Polstellen und hebbare Lücken am Term und am Graphen unterscheiden,
senkrechte und waagerechte Asymptoten einer gebrochen-rationalen Funktion bestimmen,
den Definitionsbereich einer Wurzelfunktion ablesen und den Graphen verschieben,
Definitionslücken in zusammengesetzten Termen systematisch finden.

Ein Auto fährt $120$ km. Nach $s$ Kilometern bleiben $120 - s$ Kilometer. Bei gleichbleibender Geschwindigkeit $v$ braucht es dafür die Zeit $t = \dfrac{120 - s}{v}$ . Das ist harmlos.

Interessanter ist die Kehrwertgröße. Die Zeit für einen Kilometer ist $1/v$ : Wer $100$ km/h fährt, braucht $0{,}01$ Stunden pro Kilometer, wer $10$ km/h fährt, braucht $0{,}1$ Stunden. Je kleiner $v$ wird, desto größer wird $1/v$ , ohne jede Grenze. Bei $v = 0$ gibt es keinen Wert mehr: Stillstand hat keine „Zeit pro Kilometer“.

Genau so sieht der Graph von $1/x$ aus. Er hat eine unsichtbare Wand bei $x = 0$ , an der die Werte nach oben oder unten davonlaufen. In dieser Lektion lernst du, solche Wände und die harmloseren Löcher im Graphen zu finden, und dazu den Startpunkt einer Wurzelfunktion.

Vermute zuerst

Die Funktion $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ ist bei $x = 2$ nicht definiert. Was macht der Graph dort?

Das Loch in

f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}

d

= 1

$d$: 1
$f(2 - d)$: 3
$f(2 + d)$: 5
$f(2)$: nicht definiert

Beide Seiten nähern sich demselben Wert, ungefähr $4$ . An der Stelle selbst ist $f$ nicht definiert, trotzdem gibt es einen Grenzwert.

Links und rechts der Lücke sieht der Graph aus wie die Gerade $y = x + 2$ . Genau bei $x = 2$ fehlt ein Punkt.

Probier es aus

Schieb den Abstand $d$ klein. Welche Zahl nähern $f(2-d)$ und $f(2+d)$ an?
Der hohle Kreis ist das Loch. Welche Höhe hat er, und warum ist das $2 + 2$ ?
Stell dir vor, der Zähler wäre $x^2 - 1$ statt $x^2 - 4$ . Würde bei $x = 2$ immer noch ein Loch sein, oder eine Wand?

Definition

Gebrochen-rationale Funktion, Polstelle, hebbares Loch

Eine Funktion heißt gebrochen-rational, wenn sie der Quotient zweier ganzrationaler Funktionen ist: $f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$ , wobei $q$ nicht der Nullterm ist.

Die Stellen, an denen $q(x_0) = 0$ ist, fehlen im Definitionsbereich. Was der Graph dort tut, hängt vom Zähler ab:

Ist auch $p(x_0) = 0$ , kann man den gemeinsamen Faktor kürzen. Bleibt danach ein endlicher Wert, hat der Graph ein hebbares Loch (eine Definitionslücke, die man durch einen zusätzlichen Funktionswert schließen könnte).
Ist $p(x_0) \neq 0$ , laufen die Funktionswerte nach $+$ oder $-\infty$ . Man nennt $x_0$ eine Polstelle. Der Graph hat dort eine senkrechte Asymptote: eine unsichtbare senkrechte Gerade, der sich der Graph beliebig nähert, ohne sie zu schneiden.

Die Hyperbel

f(x) = \dfrac{a}{x - d} + e

verschieben

a

= 1

d

= 0

e

= 0

f(x) = \dfrac{1}{x - 0}

$D_f$: alle reellen x außer 0
$f(0)$: nicht definiert
$f(x) = 0$: −0,37

Hyperbel. Definitionsbereich: alle reellen x außer 0. Die gestrichelte senkrechte Linie ist eine senkrechte Asymptote. Symmetrie: weder gerade noch ungerade.

Der Bauplan $\frac{a}{x-d}+e$ hat genau eine Polstelle bei $x = d$ und eine waagerechte Asymptote bei $y = e$ .

Probier es aus

Schieb $d$ . Die gestrichelte senkrechte Linie ist die Polstelle. Der Graph darf sie nicht schneiden.
Schieb $e$ . Die ganze Hyperbel wandert nach oben oder unten. Die Linie, der sich beide Äste waagerecht nähern, liegt auf der Höhe $e$ .
Setze $a$ negativ. Die Äste tauschen die Quadranten: einer kommt von oben links, einer geht nach unten rechts.
Setze $a$ fast auf $0$ . Was bleibt übrig, wenn der Zähler verschwindet?

Definition

Waagerechte Asymptote

Eine waagerechte Gerade $y = c$ heißt waagerechte Asymptote von $f$ , wenn sich $f(x)$ der Zahl $c$ nähert, sobald $x$ nach rechts oder nach links beliebig groß wird. Man schreibt

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = c$
oder
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = c$ .

Bei gebrochen-rationalen Funktionen entscheidet der Grad (die höchste Potenz) von Zähler und Nenner:

Grad des Zählers kleiner als Grad des Nenners: waagerechte Asymptote $y = 0$ . Beispiel: $\dfrac{x}{x^2+1}$ .
gleiche Grade: waagerechte Asymptote $y = \dfrac{\text{Leitkoeffizient oben}}{\text{Leitkoeffizient unten}}$ . Beispiel: $\dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - 4}$ hat $y = 2$ .
Grad des Zählers um genau eins größer: schräge Asymptote (eine Gerade mit Steigung ungleich null). Das kommt im Leistungskurs vor.
noch größer: der Graph geht nach $\pm\infty$ , ohne sich einer Geraden zu nähern.

„Leitkoeffizient“ ist die Zahl vor der höchsten Potenz, bei $2x^2 + 1$ also die $2$ .

Beispiel

Asymptoten von $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$

Zähler und Nenner haben beide Grad $1$ . Die Leitkoeffizienten sind $2$ und $1$ , also ist $y = 2$ die waagerechte Asymptote.

f(x) = \dfrac{2(x + 3) - 6 - 1}{x + 3} = 2 - \dfrac{7}{x + 3}

Polstelle dort, wo der Nenner null ist und der Zähler nicht: $x = -3$ , und $2\cdot(-3)-1 = -7 \neq 0$ . Also senkrechte Asymptote $x = -3$ .

Die Umformung oben (man addiert und zieht $6$ geschickt) zeigt denselben Bauplan wie im Bild: $2 - \frac{7}{x+3}$ . Die $2$ ist die Höhe, der die Äste zustreben; die $7$ streckt die Hyperbel; die $+3$ schiebt die Polstelle auf $-3$ .

Kurz geprüft

Welche senkrechte Asymptote hat $f(x) = \dfrac{x+1}{x-4}$ ?

Die andere Art Lücke: der Rand. Bei $1/x$ gibt es links und rechts der Wand noch Graph. Bei $\sqrt{x}$ gibt es links von $0$ gar nichts. Der Graph beginnt bei $(0 \mid 0)$ und läuft nur nach rechts. Das ist kein Pol, die Werte bleiben endlich. Es ist der Rand des Definitionsbereichs.

Die Wurzelfunktion

f(x) = a\sqrt{x - d} + e

a

= 1

d

= 0

e

= 0

f(x) = \sqrt{x - 0}

$D_f$: x ≥ 0
$f(0)$: 2,72
$f(x) = 0$: keine im Fenster

Wurzelfunktion. Definitionsbereich: x ≥ 0. Symmetrie: auf diesem Fenster nicht zu entscheiden.

Der Startpunkt ist $(d \mid e)$ . Der Definitionsbereich ist $x \ge d$ , weil unter der Wurzel $x - d \ge 0$ stehen muss.

Probier es aus

Setze $a = 1$ , $d = 0$ , $e = 0$ . Der Graph startet bei $(0 \mid 0)$ und geht nach rechts, immer flacher.
Schieb $d$ auf $2$ . Der Startpunkt wandert nach $(2 \mid 0)$ . Links davon liegt nichts.
Schieb $e$ auf $-1$ . Der Startpunkt liegt bei $(2 \mid -1)$ .
Setze $a$ negativ. Der Graph startet am selben Punkt, zeigt aber nach unten.

Definition

Wurzelfunktion

Die Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x}$ ist nur für $x \ge 0$ definiert, und ihre Werte sind selbst $\ge 0$ . Der Graph beginnt bei $(0 \mid 0)$ und steigt, wird aber immer flacher: Von $0$ nach $1$ steigt er um $1$ , von $1$ nach $4$ nur noch um $1$ , von $4$ nach $9$ wieder um $1$ — die Schritte auf der $x$ -Achse werden länger.

Die allgemeine Form $a\sqrt{x - d} + e$ entsteht durch Verschieben und Strecken. Der Definitionsbereich ist $x \ge d$ . Der Wertebereich ist $[e,\,\infty)$ für $a > 0$ und $(-\infty,\,e]$ für $a < 0$ .

$\sqrt{x}$ ist die Umkehrfunktion von $x^2$ auf $[0,\,\infty)$ : Quadrieren und danach die Wurzel ziehen hebt sich dort auf, weil man nur den rechten Ast der Parabel nimmt. Deshalb sieht der Graph von $\sqrt{x}$ aus wie die umgeklappte rechte Hälfte von $x^2$ .

Beispiel

Definitionsbereich von $f(x) = \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}$

Unter der Wurzel muss der Bruch $\ge 0$ sein, und der Nenner $x + 2 \neq 0$ . Ein Bruch ist positiv, wenn Zähler und Nenner dasselbe Vorzeichen haben (oder der Zähler null ist).

Nullstellen des Bruchs: $x = 1$ (Zähler). Vorzeichenwechsel des Nenners: $x = -2$ (dort ist $f$ nicht definiert).

Auf $(-\infty,\,-2)$ sind Zähler und Nenner beide negativ, der Bruch ist positiv. Auf $(-2,\,1)$ ist der Nenner positiv und der Zähler negativ, der Bruch ist negativ — verboten. Auf $[1,\,\infty)$ sind beide positiv.

Also $D_f = (-\infty,\,-2) \cup [1,\,\infty)$ . Bei $x = 1$ startet ein Wurzelgraph, links von $-2$ liegt ein zweiter Ast, getrennt durch die Polstelle des inneren Bruchs.

Kurz geprüft

Welcher Definitionsbereich gehört zu $f(x) = \sqrt{4 - x}$ ?

Häufige Fehler

Loch und Pol vertauschen

Zwei typische Schnitzer:

1. Jede Nullstelle des Nenners für eine Polstelle halten. Wenn der Zähler dort auch null ist, muss man zuerst kürzen. Erst der gekürzte Nenner verrät die echten Pole.
2. $\sqrt{x^2}$ mit $x$ verwechseln. Es gilt $\sqrt{x^2} = |x|$ , nicht $x$ . Für negative $x$ ist $\sqrt{x^2}$ positiv, $x$ selbst nicht.

Richtig ist

Gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner zuerst kürzen (für die betreffenden $x$ bleibt ein Loch). Unter der Wurzel zuerst die Bedingung „Inhalt $\ge 0$ “ aufschreiben, bevor man weiter umformt.

Zusammenfassung

Gebrochen-rational heißt: ganzrationaler Zähler durch ganzrationalen Nenner. Nullstellen des Nenners fehlen im Definitionsbereich.
Ist dort auch der Zähler null und bleibt nach dem Kürzen ein endlicher Wert, hat der Graph ein hebbares Loch. Sonst eine Polstelle mit senkrechter Asymptote.
Waagerechte Asymptoten liest man am Grad ab: Zählergrad kleiner als Nennergrad ergibt $y = 0$ , gleiche Grade das Verhältnis der Leitkoeffizienten.
Die Wurzelfunktion $\sqrt{x-d}$ startet bei $x = d$ und läuft nach rechts. $a$ streckt und kann spiegeln, $e$ schiebt nach oben.
In zusammengesetzten Termen sammelt man alle Verbote: Nenner $\neq 0$ , Radikand $\ge 0$ , Argument des Logarithmus $> 0$ .

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Was hat $f(x) = \dfrac{x-3}{x-3}$ bei $x = 3$ ?

Aufgabe 2Numerisch

Die waagerechte Asymptote von $f(x) = \dfrac{6x^2 + 1}{2x^2 - 5}$ ist $y = \ldots$

Aufgabe 3Multiple Choice

Welche senkrechte Asymptote hat $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ ?

Aufgabe 4Term eingeben

Gib den Definitionsbereich von $f(x) = \sqrt{x + 5}$ als Ungleichung an.

Aufgabe 5Multiple Choice

Der Graph von $g(x) = \sqrt{x} - 2$ entsteht aus $\sqrt{x}$ durch

Aufgabe 6Freitext

Erkläre den Unterschied zwischen einer Polstelle und einem hebbaren Loch. Nenne zu beiden ein Beispiel mit Term.

Asymptoten von f(x)=2x−1x+3f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}f(x)=x+32x−1​

Definitionsbereich von f(x)=x−1x+2f(x) = \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}f(x)=x+2x−1​​

Loch und Pol vertauschen

Zusammenfassung

Übungen

Asymptoten von $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$

Definitionsbereich von $f(x) = \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}$