Lektion 8.2

Ebenen im Raum

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

eine Ebene in Parameterform $\vec{x} = \vec{a} + s\vec{u} + t\vec{v}$ lesen und zeichnen,
einen Normalenvektor als $\vec{u}\times\vec{v}$ berechnen und die Koordinatenform aufstellen,
prüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt,
Parameterform, Koordinatenform und Normalenform ineinander übersetzen.

Eine Tischplatte: ein Punkt darauf und zwei Richtungen, die nicht parallel sind — etwa die Kante nach vorn und die Kante nach rechts. Jeder Punkt der Platte ist „ein Stück in der einen Richtung plus ein Stück in der anderen“, vom gewählten Eck aus.

Im Raum: $\vec{x} = \vec{a} + s\vec{u} + t\vec{v}$ . Zwei Parameter, weil eine Fläche zwei Freiheiten hat. Senkrecht zur Platte steht die Normale $\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}$ . Das Skalarprodukt $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{a}) = 0$ sagt dasselbe ohne Parameter: Jeder Verbindungsvektor in der Ebene steht senkrecht auf $\vec{n}$ .

Vermute zuerst

Die $xy$ -Ebene besteht aus allen Punkten mit $z = 0$ . Welche Parameterform passt?

Parallelogramm in der Ebene, Normale

\vec n

u_x

= 2

u_y

= 0,2

u_z

= 0,1

v_x

= 0,2

v_y

= 2

v_z

= 0,3

s

= 0,6

t

= 0,5

$s$: 0,6
$t$: 0,5
$|\vec{n}|$: 4
$X$: (1,7 | 1,4 | 0,4)

$X = A + s\vec{u} + t\vec{v}$ läuft in der Ebene. $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ steht senkrecht darauf. Werden $\vec{u}$ und $\vec{v}$ parallel, klappt das Parallelogramm zusammen — dann spannen sie keine Ebene auf.

Das gezeichnete Parallelogramm ist nur ein Stück. Die Ebene geht in alle vier Richtungen von $A$ weiter, auch für negative $s,t$ .

Probier es aus

Schieb $s$ und $t$ . $X$ bleibt in der von $\vec u$ und $\vec v$ aufgespannten Fläche (und darüber hinaus, auch außerhalb des gezeichneten Parallelogramms).
Die Normale $\vec n$ rührt sich nicht, solange $\vec u$ und $\vec v$ fest sind. Sie steht auf beiden.
Wähle das Beispiel „xy-Ebene“. $\vec n$ zeigt in $z$ -Richtung.
Mache $\vec u$ und $\vec v$ ungefähr parallel. Das Parallelogramm wird dünn, $|\vec n|$ wird klein: Die Aufspannvektoren sind dann linear abhängig.

Definition

Ebene

Parameterform. Punkt $A$ , linear unabhängige Richtungen $\vec{u},\vec{v}$ :

$E: \quad \vec{x} = \vec{a} + s\vec{u} + t\vec{v}, \quad s,t \in \mathbb{R}$ .

Koordinatenform. Mit $\vec{n} = (n_1, n_2, n_3) \neq \vec{0}$ :

$n_1 x + n_2 y + n_3 z = d$ .

Dabei ist $d = \vec{n}\cdot\vec{a}$ für einen Punkt $A$ der Ebene, und $\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}$ .

Normalenform. $\vec{n}\cdot(\vec{x} - \vec{a}) = 0$ . Dasselbe, nur vektoriell.

Linear unabhängig heißt: $\vec{u}\times\vec{v} \neq \vec{0}$ , die beiden spannen wirklich eine Fläche auf.

Schritt für Schritt

Von Parameter- zu Koordinatenform

Ebene durch $A(1\mid 0\mid 0)$ mit $\vec{u} = (0,1,0)$ , $\vec{v} = (0,0,1)$ .

Normale: $\vec{u}\times\vec{v} = (1,0,0)$ (rechte Hand: $y$ mal $z$ ergibt $x$ ).

Schritt 1 von 3

Beispiel

Punktprobe

Liegt $P(2\mid 3\mid 4)$ in $x + 2y - z = 4$ ? Einsetzen: $2 + 6 - 4 = 4$ . Ja. In Parameterform müsste man $s,t$ suchen; in Koordinatenform reicht ein Einsetzen.

2 + 2\cdot 3 - 4 = 4

Für eine Gerade braucht man drei Zeilen und ein $t$ . Für die Ebene in Koordinatenform eine Zeile.

Kurz geprüft

Wann spannen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ keine Ebene auf?

Häufige Fehler

Drei Punkte ohne Unabhängigkeit

Drei Punkte bestimmen eine Ebene — außer sie liegen auf einer Geraden. Dann sind $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ parallel, das Kreuzprodukt verschwindet.

Auch: Die Koordinatenform $x + y + z = 1$ mit der Geraden verwechseln. Das ist eine Ebene, nicht eine Gerade.

Richtig ist

Immer $|\vec{u}\times\vec{v}|$ prüfen. Eine Gleichung in drei Unbekannten: Ebene.

Zusammenfassung

Parameterform: zwei Richtungen, zwei Parameter. Koordinatenform: eine lineare Gleichung, die Normale in den Koeffizienten.
$\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}$ . Normalenform $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{a}) = 0$ .
Punktprobe in Koordinatenform: einsetzen. In Parameterform: $s,t$ lösen.
Linear abhängige Aufspannvektoren ergeben keine Ebene.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Eine Normale der Ebene $\vec{x} = s(1,0,0) + t(0,1,0)$ ist

Aufgabe 2Numerisch

Welchen Wert hat $d$ in $2x + y = d$ , wenn $A(1\mid 3\mid 0)$ in der Ebene liegt?

Aufgabe 3Multiple Choice

Die Gleichung $z = 2$ beschreibt

Aufgabe 4Freitext

Warum braucht eine Ebene zwei Richtungsvektoren und eine Gerade nur einen?