Lektion 8.1

Geraden im Raum

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

eine Gerade als Punkt plus Vielfaches eines Richtungsvektors parametrisieren,
prüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt,
erklären, warum dieselbe Gerade viele Parameterformen hat,
zwei Geraden als parallel, identisch, windschief oder schneidend einordnen.

In der Ebene legt eine Gerade eine Gleichung $y = mx + n$ fest — oder $ax + by = c$ . Im Raum reicht eine solche Gleichung nicht: $ax + by + cz = d$ beschreibt eine Ebene. Eine Gerade ist dünner: ein Punkt und eine Richtung.

Man schreibt das als Ortsvektor plus Parameter mal Richtungsvektor: Jede reelle Zahl $t$ liefert einen Punkt der Geraden, wie die Zeit auf einem geraden Gleis.

Vermute zuerst

Die Gerade geht durch $A(1\mid 0\mid 0)$ in Richtung $\vec{u} = (2,\,0,\,0)$ . Liegt $P(5\mid 0\mid 0)$ darauf?

Punkt

A

, Richtung

\vec u

, Schieber

t

A_x

= 1

A_y

= 0,4

A_z

= 0,6

u_x

= 1,2

u_y

= 0,8

u_z

= 0,4

t

= 1

$t$: 1
$|\vec{u}|$: 1,5
$X$: (2,2 | 1,2 | 1)

Jeder Punkt der Geraden ist $\vec{A} + t\vec{u}$ . $t = 0$ ist $A$ . $t = 1$ ist die Spitze des Richtungsvektors. Verdoppelt man $\vec{u}$ und halbiert $t$ , bleibt $X$ am selben Ort: Die Parametrisierung ist nicht eindeutig.

Parameterform: eine Zahl $t$ , drei Koordinaten. Die Gerade ist die ganze Linie, nicht nur die Strecke zwischen $A$ und $A+\vec u$ .

Probier es aus

Bei $t = 0$ sitzt $X$ auf $A$ . Bei $t = 1$ auf der Spitze von $\vec u$ . Negative $t$ gehen hinter $A$ weiter.
Verdopple ungefähr jede Komponente von $\vec u$ . Um denselben Punkt $X$ zu halten, muss $t$ halb so groß werden. Die Gerade ist dieselbe.
Setze $\vec u$ auf die $x$ -Richtung, etwa $(2,\,0,\,0)$ . Die Gerade wird parallel zur $x$ -Achse.
Schieb $A$ , ohne $\vec u$ zu ändern. Die Gerade bleibt parallel, wandert aber durch den Raum.

Definition

Parameterform einer Geraden

Eine Gerade $g$ durch den Punkt $A$ mit Richtungsvektor $\vec{u} \neq \vec{0}$ hat die Parameterform

$\displaystyle g: \quad \vec{x} = \vec{a} + t\,\vec{u}, \quad t \in \mathbb{R}$ .

Jeder Punkt von $g$ entsteht für genau ein $t$ (bei festem $\vec{u}$ ).
$k\vec{u}$ mit $k \neq 0$ ist ein gleichwertiger Richtungsvektor. Auch ein anderer Punkt $B$ auf $g$ darf als Aufpunkt dienen.
Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache sind (inklusive Gegenrichtung).
Sie sind identisch, wenn sie parallel sind und ein Punkt der einen auf der anderen liegt.
Sie schneiden sich, wenn es genau ein gemeinsames $t,s$ gibt.
Sie sind windschief, wenn sie weder parallel sind noch einen Punkt gemeinsam haben — das gibt es nur im Raum, nicht in der Ebene.

Schritt für Schritt

Liegt $P(5\mid 2\mid 1)$ auf $\vec{x} = (1,\,2,\,1) + t(2,\,0,\,0)$ ?

Drei Gleichungen, eine Unbekannte.

$x$ : $1 + 2t = 5$ ergibt $t = 2$ .

Schritt 1 von 3

Beispiel

Zwei Parametrisierungen, eine Gerade

$g: \vec{x} = (0,0,0) + t(2,2,0)$ und $h: \vec{x} = (1,1,0) + s(1,1,0)$ . Richtungen parallel, $(1,1,0)$ liegt auf $g$ ( $t = 1/2$ ). Also $g = h$ .

\vec{u}_h = \tfrac12 \vec{u}_g

Wer die Aufpunkte vergleicht und „verschieden, also andere Geraden“ sagt, verwechselt den Aufpunkt mit der Menge aller Punkte.

Kurz geprüft

Zwei Geraden im Raum mit nicht parallelen Richtungen

Häufige Fehler

Die Strecke für die Gerade halten

Die Zeichnung zeigt oft nur ein Stück. $t$ läuft über ganz $\mathbb{R}$ . Ein Punkt „hinter $A$ “ gehört dazu.

Zweiter Schnitzer: Aus $\vec{u} \neq \vec{v}$ schließen, die Geraden seien nicht parallel. $(1,0,0)$ und $(2,0,0)$ sind Vielfache.

Richtig ist

Parallel: $\vec{u} = k\vec{v}$ für ein $k \neq 0$ . Gerade = alle $t$ , nicht nur $[0;\,1]$ .

Zusammenfassung

$g: \vec{x} = \vec{a} + t\vec{u}$ , $t \in \mathbb{R}$ . Aufpunkt und Richtung sind nicht eindeutig.
Punktprobe: $\vec{a} + t\vec{u} = \vec{p}$ muss in allen drei Komponenten dasselbe $t$ liefern.
Parallel / identisch / schneidend / windschief: erst Richtungen, dann gemeinsame Punkte.
Windschief gibt es nur im Raum.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Welches $t$ liefert $P(7\mid 0\mid 0)$ auf $\vec{x} = (1,0,0) + t(2,0,0)$ ?

Aufgabe 2Multiple Choice

Welche Richtungsvektoren beschreiben dieselbe Gerade durch $A$ (bis auf Durchlaufsinn und Tempo)?

Aufgabe 3Multiple Choice

Die $x$ -Achse und die Gerade $\vec{x} = (0,1,0) + t(1,0,0)$ sind

Aufgabe 4Freitext

Warum reicht im Raum eine lineare Gleichung in $x,y,z$ nicht, um eine Gerade festzulegen?