Lektion 8.3

Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

zwei Geraden als identisch, parallel, schneidend oder windschief einordnen,
eine Gerade und eine Ebene als enthalten, parallel oder schneidend erkennen,
zwei Ebenen als identisch, parallel oder schneidend (Schnittgerade) erkennen,
die Entscheidung auf Richtungs- und Normalenvektoren zurückführen, nicht auf Zeichnung allein.

Zwei Stäbe im Raum können sich kreuzen, ohne sich zu berühren: windschief. In der Schulheftebene gibt es das nicht, dort trifft sich alles, was nicht parallel ist. Deshalb muss man im Raum rechnen, nicht nur skizzieren.

Die Fälle sind überschaubar, sobald man die Richtungen kennt. Parallel oder nicht? Gemeinsamer Punkt oder nicht? Mehr nicht. Dieselbe Frage für Gerade und Ebene und für zwei Ebenen.

Vermute zuerst

Die $x$ -Achse und die Gerade $\vec{x} = (0,0,1) + t(0,1,0)$ (parallel zur $y$ -Achse, durch $(0,0,1)$ ) — welche Lage?

Eine Gerade verschieben: parallel bleibt parallel

A_x

= 0,5

A_y

= 1

A_z

= 0,8

u_x

= 2

u_y

= 0

u_z

= 0

t

= 0,8

$t$: 0,8
$|\vec{u}|$: 2
$X$: (2,1 | 1 | 0,8)

Jeder Punkt der Geraden ist $\vec{A} + t\vec{u}$ . $t = 0$ ist $A$ . $t = 1$ ist die Spitze des Richtungsvektors. Verdoppelt man $\vec{u}$ und halbiert $t$ , bleibt $X$ am selben Ort: Die Parametrisierung ist nicht eindeutig.

Parallelität liest man an den Richtungsvektoren. Schnittpunkte rechnet man. Die Zeichnung hilft der Vorstellung, entscheidet im Raum aber nicht zuverlässig.

Probier es aus

Das Beispiel „parallel zur $x$ -Achse“: Schieb die $y$ - oder $z$ -Koordinate von $A$ . Die Gerade bleibt parallel zur $x$ -Achse und trifft sie nicht — das Bild zweier paralleler Geraden.
Setze $A$ auf den Ursprung. Jetzt liegt die Gerade auf der $x$ -Achse (identisch, wenn man die $x$ -Achse als zweite Gerade denkt).
Kippe $\vec u$ aus der $x$ -Richtung, etwa mit einer $z$ -Komponente. Ob sie eine andere feste Gerade trifft, sieht man der Skizze allein oft nicht an — dafür das Gleichungssystem.

Definition

Lage Gerade / Gerade

Seien $g: \vec{x} = \vec{a} + t\vec{u}$ und $h: \vec{x} = \vec{b} + s\vec{v}$ .

$\vec{u} \parallel \vec{v}$ und $B \in g$ : identisch,
$\vec{u} \parallel \vec{v}$ und $B \notin g$ : echt parallel,
$\vec{u} \nparallel \vec{v}$ und eine Lösung $(t,s)$ : schneidend,
$\vec{u} \nparallel \vec{v}$ und keine Lösung: windschief.

$\vec{u} \parallel \vec{v}$ heißt: $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ .

Definition

Lage Gerade / Ebene und Ebene / Ebene

Gerade $g: \vec{x} = \vec{a} + t\vec{u}$ , Ebene $E$ mit Normale $\vec{n}$ .

$\vec{n}\cdot\vec{u} = 0$ und $A \in E$ : $g$ liegt in $E$ ,
$\vec{n}\cdot\vec{u} = 0$ und $A \notin E$ : $g$ parallel zu $E$ (kein Schnitt),
$\vec{n}\cdot\vec{u} \neq 0$ : genau ein Schnittpunkt (die Gerade durchstößt die Ebene).

Zwei Ebenen mit Normalen $\vec{n},\vec{m}$ :

$\vec{n} \parallel \vec{m}$ und ein Punkt gemeinsam: identisch,
$\vec{n} \parallel \vec{m}$ sonst: echt parallel,
sonst: Schnitt gerade, deren Richtung $\vec{n}\times\vec{m}$ ist.

Normale und Aufspannvektoren: steckt die Gerade in der Ebene?

u_x

= 2

u_y

= 0

u_z

= 0

v_x

= 0

v_y

= 2

v_z

= 0

s

= 0,7

t

= 0,5

$s$: 0,7
$t$: 0,5
$|\vec{n}|$: 4
$X$: (1,4 | 1 | 0)

$X = A + s\vec{u} + t\vec{v}$ läuft in der Ebene. $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ steht senkrecht darauf. Werden $\vec{u}$ und $\vec{v}$ parallel, klappt das Parallelogramm zusammen — dann spannen sie keine Ebene auf.

Die eine Zahl $\vec{n}\cdot\vec{u}$ entscheidet: $0$ heißt „Richtung in der Ebene (oder parallel)“, sonst Durchstoß.

Probier es aus

Die $xy$ -Ebene hat Normale in $z$ -Richtung. Eine Gerade in $x$ -Richtung hat $\vec{n}\cdot\vec{u} = 0$ : Sie ist parallel zur Ebene oder liegt darin.
Liegt sie darin? Der Aufpunkt muss $z = 0$ erfüllen. Im Beispiel der Ursprung: ja, die $x$ -Achse liegt in der $xy$ -Ebene.
Denk an $\vec{u}$ mit $z$ -Anteil: Dann durchstößt die Gerade die Ebene in einem Punkt.

Schritt für Schritt

Durchstoßpunkt von $\vec{x} = (0,0,2) + t(0,0,-1)$ mit $z = 0$

Die Gerade kommt die $z$ -Achse herunter. Die Ebene ist die $xy$ -Ebene.

Normale $\vec{n} = (0,0,1)$ , Richtung $\vec{u} = (0,0,-1)$ , Produkt $-1 \neq 0$ : genau ein Schnitt.

Schritt 1 von 3

Kurz geprüft

Zwei Ebenen mit Normalen $(1,0,0)$ und $(2,0,0)$

Häufige Fehler

Windschief in der Ebene suchen

In $\mathbb{R}^2$ schneiden sich nicht parallele Geraden immer. Wer das im Raum übernimmt, erfindet Schnittpunkte.

Ebenso: Aus „kein sichtbarer Schnitt in der Kabinettzeichnung“ auf windschief schließen. Die Zeichnung verdeckt. Erst das Gleichungssystem.

Richtig ist

Im Raum vier Fälle für zwei Geraden. Parallelität über das Kreuzprodukt, Schnitt über das LGS.

Zusammenfassung

Zwei Geraden: identisch / parallel / schneidend / windschief.
Gerade und Ebene: enthalten / parallel / ein Durchstoßpunkt. Test: $\vec{n}\cdot\vec{u}$ .
Zwei Ebenen: identisch / parallel / Schnittgerade mit Richtung $\vec{n}\times\vec{m}$ .
Richtungen zuerst, Punkte danach. Die Skizze ist Hilfe, nicht Beweis.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

$x$ -Achse und $y$ -Achse im Raum sind

Aufgabe 2Multiple Choice

Die Gerade $\vec{x} = (0,0,1) + t(1,0,0)$ und die $xy$ -Ebene $z = 0$ sind

Aufgabe 3Numerisch

Durchstoß von $\vec{x} = (0,0,4) + t(0,0,-2)$ mit $z = 0$ : welcher $t$ -Wert?

Aufgabe 4Freitext

Warum kann eine Gerade, die nicht parallel zu einer Ebene ist, die Ebene nicht in zwei Punkten treffen, ohne ganz in ihr zu liegen?

Durchstoßpunkt von x⃗=(0,0,2)+t(0,0,−1)\vec{x} = (0,0,2) + t(0,0,-1)x=(0,0,2)+t(0,0,−1) mit z=0z = 0z=0

Windschief in der Ebene suchen

Zusammenfassung

Übungen

Durchstoßpunkt von $\vec{x} = (0,0,2) + t(0,0,-1)$ mit $z = 0$