Lektion 7.1

Vektoren im Raum

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

einen Vektor als Pfeil deuten: Richtung und Länge, nicht den Startpunkt,
Vektoren in Koordinaten addieren, subtrahieren und mit einer Zahl multiplizieren,
Ort und Verschiebung unterscheiden: Ortsvektor $\vec{p}$ gegen Richtungsvektor $\vec{u}$ ,
die Länge $|\vec{a}|$ aus den Komponenten berechnen.

Eine Verschiebung im Raum hat eine Richtung und eine Weite, aber keinen festen Start. „Drei Meter nach Osten und ein Meter hoch“ ist dieselbe Anweisung, ob du sie am Tisch oder am Fenster ausführst. Genau das ist ein Vektor: ein Pfeil, den man verschieben darf, ohne ihn zu ändern.

In Koordinaten schreibt man ihn als Spalte mit drei Zahlen, den Komponenten in $x$ -, $y$ - und $z$ -Richtung. Addieren heißt: die Verschiebungen hintereinander ausführen. Das Bild im Raum ist ein Parallelogramm: Die Diagonale ist die Summe.

Vermute zuerst

Zwei Verschiebungen: $\vec{a}$ geht $2$ nach rechts, $\vec{b}$ geht $2$ nach oben. Wohin zeigt $\vec{a} + \vec{b}$ ?

Parallelogramm der Summe

a_x

= 2

a_y

= 0,5

a_z

= 1

b_x

= 0,5

b_y

= 2

b_z

= 0,4

$|\vec{a}|$: 2,29
$|\vec{b}|$: 2,1
$|\vec{a} + \vec{b}|$: 3,8

Die gestrichelten Linien schließen das Parallelogramm. $\vec{a} + \vec{b}$ ist die Diagonale. Die Länge der Summe ist nur dann $|\vec{a}| + |\vec{b}|$ , wenn beide in dieselbe Richtung zeigen.

Kabinettzeichnung: $x$ nach rechts, $z$ nach oben, $y$ schräg in die Tiefe. Kein 3D-Film, eine saubere Skizze wie auf dem Papier.

Probier es aus

Die gestrichelten Kanten vervollständigen das Parallelogramm. Die Diagonale ist $\vec{a}+\vec{b}$ .
Setze $\vec{b}$ ungefähr gleich $\vec{a}$ . Die Summe wird etwa doppelt so lang und zeigt dieselbe Richtung: $2\vec{a}$ .
Setze $\vec{b} \approx -\vec{a}$ . Die Summe schrumpft zum Ursprung. Gegenvektoren heben sich auf.
Lies die drei Komponenten von $\vec{a}$ ab und addiere sie im Kopf zu denen von $\vec{b}$ . Das muss zu den Komponenten der Summe passen.

Definition

Vektor

Ein Vektor $\vec{a}$ im Anschauungsraum ist festgelegt durch drei reelle Komponenten

$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}$ .

Zwei Pfeile stellen denselben Vektor dar, wenn sie parallel, gleich lang und gleich orientiert sind.

Addition: $\vec{a} + \vec{b} = (a_x+b_x,\, a_y+b_y,\, a_z+b_z)$ .
Skalarmultiplikation: $k\vec{a} = (ka_x,\, ka_y,\, ka_z)$ . Für $k<0$ kehrt sich die Richtung um.
Gegenvektor: $-\vec{a}$ . Es gilt $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$ .
Länge (Betrag): $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$ .

Ein Ortsvektor $\overrightarrow{OP}$ zeigt vom Ursprung zum Punkt $P$ und hat dieselben Komponenten wie $P$ . Ein Richtungsvektor beschreibt nur eine Richtung, sein Fuß ist frei.

Schritt für Schritt

Vom Punkt $A(1\mid 2\mid 0)$ zum Punkt $B(4\mid 2\mid 3)$

Der Verbindungsvektor ist Ziel minus Start.

$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (4-1,\, 2-2,\, 3-0) = (3,\, 0,\, 3)$ .

Schritt 1 von 3

Beispiel

Teilung einer Strecke

Mitte $M$ von $A$ und $B$ : Ortsvektor $\vec{m} = \tfrac12(\vec{a}+\vec{b})$ . Allgemein teilt $T$ die Strecke im Verhältnis $k:1$ , wenn $\vec{t} = \vec{a} + \frac{k}{k+1}\overrightarrow{AB}$ .

\vec{m} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}

Das folgt aus $\vec{m} = \vec{a} + \tfrac12(\vec{b}-\vec{a})$ . Keine neue Magie, nur die Hälfte des Weges.

Kurz geprüft

Welche Aussage über $2\vec{a}$ und $\vec{a}+\vec{a}$ ist richtig?

Häufige Fehler

Punkte und Vektoren in einen Topf

Ein Punkt $P(1\mid 2\mid 3)$ ist ein Ort. Ein Vektor $\vec{a} = (1,\,2,\,3)$ ist eine Verschiebung. Man darf $P + \vec{a}$ schreiben (neuer Punkt), aber nicht $P + Q$ für zwei Punkte ohne Herkunft.

Zweiter Schnitzer: $|\vec{a}| = a_x + a_y + a_z$ . Länge ist die Wurzel der Quadratsumme, der Satz des Pythagoras im Raum.

Richtig ist

Ortsvektor = Pfeil vom Ursprung zum Punkt. Länge immer $\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ .

Zusammenfassung

Vektor: Richtung und Länge. In $\mathbb{R}^3$ drei Komponenten.
Addition komponentenweise = Parallelogramm. $k\vec{a}$ streckt (und kehrt um für $k<0$ ).
$\overrightarrow{AB} = \vec{b}-\vec{a}$ . Länge über Pythagoras.
Ortsvektor hängt am Ursprung, Richtungsvektor darf rutschen.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Länge von $\vec{a} = (3,\,0,\,4)$ .

Aufgabe 2Multiple Choice

$\overrightarrow{AB}$ für $A(1\mid 0\mid 2)$ und $B(4\mid 3\mid 2)$ ist

Aufgabe 3Numerisch

Die $x$ -Komponente von $2\vec{a} - \vec{b}$ für $\vec{a} = (1,\,2,\,0)$ und $\vec{b} = (0,\,1,\,3)$ .

Aufgabe 4Freitext

Warum stellen zwei Pfeile an verschiedenen Orten denselben Vektor dar, wenn sie parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind?