Lektion 6.4

Uneigentliche Integrale

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

  • ein Integral mit unendlicher Grenze als Grenzwert lim⁡b→∞∫abf\lim_{b \to \infty} \int_a^b f lesen,

  • Konvergenz von Divergenz an Beispielen 1/x1/x und 1/x21/x^2 unterscheiden,

  • eine Unendlichkeitsstelle im Inneren durch einseitige Grenzwerte behandeln,

  • entscheiden, ob der Flächeninhalt unter einem unbeschränkten Graphen endlich sein kann.

Die Fläche unter 1/x21/x^2 von 11 bis 1010 ist kleiner als von 11 bis 100100, aber nicht viel kleiner: Die Kurve klebt an der Achse. Ob die Fläche bis unendlich überhaupt eine endliche Zahl ist, ist nicht klar. Man kann unendlich weit gehen und trotzdem nur endlich viel Fläche einsammeln — oder die Fläche wächst ohne Grenze.

Dasselbe Problem nach oben: 1/x1/\sqrt{x} schießt bei 00 nach unendlich. Der Graph ist unbeschränkt, die Fläche darunter auf (0; 1](0;\,1] kann trotzdem endlich sein. Solche Integrale heißen uneigentlich: Eine Grenze ist ∞\infty, oder der Integrand ist an einem Rand nicht beschränkt.

Vermute zuerst

Es gilt ∫1b1x2 dx=1−1b\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx = 1 - \frac{1}{b}. Was passiert für b→∞b \to \infty?

Fläche unter 1/x21/x^2 von 11 bis xx: sie sättigt

∫1xt−2 dt=1−1/x→1\int_1^x t^{-2}\,dt = 1 - 1/x \to 1. Der Graph der Integralfunktion hat eine waagerechte Asymptote.

Probier es aus

Definition

Uneigentliches Integral

Unendliche Grenze. Existiert der Grenzwert, sagt man, das Integral konvergiert, sonst divergiert es:

∫a∞f(x) dx:=lim⁡b→∞∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^{\infty} f(x)\,dx := \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx.

Analog von −∞-\infty oder von −∞-\infty bis ∞\infty (dann beide Seiten getrennt, nicht „durch ∞\infty durchintegrieren“).

Unbeschränkter Integrand. Ist ff bei aa unbeschränkt, aber auf jedem [a+ε; b][a+\varepsilon;\,b] integrierbar:

∫abf:=lim⁡ε→0+∫a+εbf\displaystyle\int_a^b f := \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f.

Konvergenz heißt: Dieser Grenzwert ist eine reelle Zahl. Einsetzen von ∞\infty in eine Stammfunktion ist nur eine Schreibabkürzung für den Grenzwert.

Schritt für Schritt

∫1∞x−p dx\int_1^{\infty} x^{-p}\,dx für p=1p = 1 und p=2p = 2

Stammfunktion, dann b→∞b \to \infty.

  1. Für p=2p = 2: ∫1bx−2 dx=1−1/b→1\int_1^b x^{-2}\,dx = 1 - 1/b \to 1. Konvergiert.

    ∫1∞x−2 dx=1\int_1^{\infty} x^{-2}\,dx = 1
Schritt 1 von 3
Beispiel

Pol bei 00: ∫01x−1/2 dx\int_0^1 x^{-1/2}\,dx

F(x)=2x1/2F(x) = 2x^{1/2}. An 00 ist ff unbeschränkt.

∫ε1x−1/2 dx=2−2ε→ε→02\int_{\varepsilon}^{1} x^{-1/2}\,dx = 2 - 2\sqrt{\varepsilon} \xrightarrow{\varepsilon \to 0} 2

Die Fläche unter der senkrechten Asymptote ist endlich. Dagegen ∫01x−1 dx=[−ln⁡ε]→∞\int_0^1 x^{-1}\,dx = [-\ln\varepsilon] \to \infty divergiert. Wieder entscheidet der Exponent.

Kurz geprüft

Welche Aussage stimmt?

Häufige Fehler

Durch eine Unendlichkeitsstelle hindurch integrieren

∫−111/x dx\int_{-1}^{1} 1/x\,dx ist nicht [ln⁡∣x∣]−11=0[\ln|x|]_{-1}^{1} = 0. Bei 00 sitzt ein Pol. Die Fläche links ist unendlich (negativ), rechts unendlich (positiv). Der Cauchy-Hauptwert wäre 00, das uneigentliche Integral im eigentlichen Sinn divergiert.

Ebenso ∫−∞∞x dx\int_{-\infty}^{\infty} x\,dx nicht als 00 abtun, ohne beide Seiten getrennt zu prüfen.

Richtig ist

An jeder kritischen Stelle den Grenzwert extra. Beide Seiten müssen für sich konvergieren.

Zusammenfassung

  • Uneigentlich: Grenze ±∞\pm\infty oder Integrand unbeschränkt. Definition immer als Grenzwert.

  • Konvergent = Grenzwert eine Zahl. 1/xp1/x^p ab 11 konvergiert für p>1p>1.

  • Pol bei 00: x−px^{-p} auf (0; 1](0;\,1] konvergiert für p<1p<1.

  • Nicht durch Pole „durchintegrieren“. f→0f \to 0 allein reicht nicht für Konvergenz.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Wert von ∫1∞x−2 dx\int_1^{\infty} x^{-2}\,dx.

Aufgabe 2Multiple Choice

∫1∞1/x dx\int_1^{\infty} 1/x\,dx ist

Aufgabe 3Numerisch

∫01x−1/2 dx\int_0^1 x^{-1/2}\,dx.

Aufgabe 4Freitext

Warum ist ∫−111/x dx\int_{-1}^{1} 1/x\,dx nicht 00, obwohl die Stammfunktion ln⁡∣x∣\ln|x| an ±1\pm 1 denselben Wert hat?