Lektion 7.3

Vektorprodukt

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

das Vektorprodukt $\vec{a}\times\vec{b}$ als Pfeil senkrecht zur Ebene von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ deuten,
seine Länge als Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms nutzen,
die Komponentenformel und die Rechte-Hand-Regel anwenden,
Orthogonalität zu beiden Faktoren und Parallelität als $\vec{a}\times\vec{b} = \vec{0}$ erkennen.

Zwei Kanten eines Tischs spannen eine Fläche auf, ein Parallelogramm. Drei Zahlen sollen diese Fläche beschreiben: Wie groß ist sie, und wohin zeigt ihre „oben“-Richtung?

Das Vektorprodukt $\vec{a}\times\vec{b}$ ist ein Pfeil, der auf der Tischplatte senkrecht steht. Seine Länge ist genau der Flächeninhalt. Die Orientierung wählt man so, dass Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger von rechter Hand $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{a}\times\vec{b}$ bilden. Dreht man die Reihenfolge um, kehrt der Pfeil um: $\vec{b}\times\vec{a} = -(\vec{a}\times\vec{b})$ .

Vermute zuerst

$\vec{a} = (1,\,0,\,0)$ (nach rechts) und $\vec{b} = (0,\,1,\,0)$ (in die Tiefe). Wohin zeigt $\vec{a}\times\vec{b}$ in unserem Achsenbild, und wie lang ist der Pfeil?

Parallelogramm und Normale

a_x

= 2

a_y

= 0,2

a_z

= 0,1

b_x

= 0,3

b_y

= 2

b_z

= 0,2

$\vec{a} \times \vec{b}$: (−0,2 | −0,4 | 3,9)
$|\vec{a} \times \vec{b}|$: 3,96

Die Länge $3{,}96$ ist der Flächeninhalt des Parallelogramms. $\vec{a} \times \vec{b}$ steht senkrecht auf der Ebene der beiden Pfeile (Rechte-Hand-Regel).

Wenn der dritte Pfeil zu lang für die Zeichnung wäre, wird er verkürzt dargestellt. Die angezeigte Länge in der Legende bleibt die echte.

Probier es aus

Die gestrichelten Kanten zeichnen das Parallelogramm. Der dritte Pfeil steht darauf senkrecht.
Wähle „parallel“. Das Parallelogramm klappt zu einer Strecke zusammen, das Kreuzprodukt wird der Nullvektor.
Tausche in Gedanken $\vec{a}$ und $\vec{b}$ : Die Normale kehrt um, die Fläche bleibt.
Vergleiche die angezeigte Länge mit $|\vec{a}|\,|\vec{b}|\sin\varphi$ . Bei fast senkrechten Faktoren ist sie am größten.

Definition

Vektorprodukt

In $\mathbb{R}^3$ ist

$\displaystyle \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix}$ .

Eigenschaften:

$\vec{a}\times\vec{b}$ steht senkrecht auf $\vec{a}$ und auf $\vec{b}$ ,
$|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\sin\varphi$ = Flächeninhalt des Parallelogramms,
$\vec{b}\times\vec{a} = -(\vec{a}\times\vec{b})$ (antikommutativ),
$\vec{a}\times\vec{a} = \vec{0}$ , und $\vec{a}\times\vec{b} = \vec{0}$ genau dann, wenn $\vec{a}$ und $\vec{b}$ parallel sind (oder einer der Nullvektor ist),
$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$ ist das Spatprodukt, das Volumen des Spats mit Kanten $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ .

Schritt für Schritt

$\vec{i}\times\vec{j}$ für die Standardbasis

$\vec{i}=(1,0,0)$ , $\vec{j}=(0,1,0)$ , $\vec{k}=(0,0,1)$ .

Komponenten: $a_y b_z - a_z b_y = 0$ , $a_z b_x - a_x b_z = 0$ , $a_x b_y - a_y b_x = 1\cdot 1 - 0 = 1$ .
$\vec{i}\times\vec{j} = \vec{k}$

Schritt 1 von 3

Beispiel

Fläche eines Dreiecks im Raum

Punkte $A, B, C$ . Das Dreieck ist die Hälfte des Parallelogramms von $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ .

A_{\triangle} = \tfrac12 \bigl|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr|

Keine Koordinaten in der Ebene nötig: Das Kreuzprodukt erledigt die Geometrie im Raum. Liegen die drei Punkte auf einer Geraden, ist das Produkt der Nullvektor und die Fläche $0$ .

Kurz geprüft

Welche Aussage unterscheidet Skalarprodukt und Vektorprodukt?

Häufige Fehler

Reihenfolge und „mal“ wie Zahlen

$\vec{a}\times\vec{b}$ ist nicht $\vec{b}\times\vec{a}$ . Wer die Zeilen der Formel vertauscht, bekommt das falsche Vorzeichen — und damit die falsche Seite der Ebene, etwa die falsche Normale.

Auch: Das Ergebnis als Zahl $|\vec{a}||\vec{b}|$ ohne $\sin\varphi$ angeben, oder die Komponenten einfach multiplizieren wie beim Skalarprodukt.

Richtig ist

Formel zeilenweise (zyklisch) hinschreiben. Probe: Skalarprodukte $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}$ und $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}$ müssen $0$ sein.

Zusammenfassung

$\vec{a}\times\vec{b}$ steht senkrecht auf beiden, Länge = Parallelogrammfläche, Orientierung rechte Hand.
Komponenten: $(a_y b_z - a_z b_y,\, a_z b_x - a_x b_z,\, a_x b_y - a_y b_x)$ .
Parallel $\Leftrightarrow$ Kreuzprodukt $\vec{0}$ . Antikommutativ.
Dreiecksfläche $\tfrac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$ . Spatprodukt = Volumen.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

$(1,\,0,\,0)\times(0,\,1,\,0)$ ist

Aufgabe 2Numerisch

Flächeninhalt des Parallelogramms von $\vec{a} = (2,\,0,\,0)$ und $\vec{b} = (0,\,3,\,0)$ .

Aufgabe 3Multiple Choice

Wann ist $\vec{a}\times\vec{b} = \vec{0}$ ?

Aufgabe 4Freitext

Wie prüfst du nach dem Ausrechnen von $\vec{n} = \vec{a}\times\vec{b}$ , dass du dich nicht in einer Komponente vertan hast?