Lektion 3.2

Kettenregel

45 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

eine verkettete Funktion in innere und äußere Funktion zerlegen
die Kettenregel als Produkt zweier Streckfaktoren verstehen und begründen
Verkettungen mit Potenzen, Wurzeln, Sinus und Kosinus ableiten, auch in Kombination mit Produkt- und Summenregel
den Sonderfall einer linearen inneren Funktion sicher anwenden
mit der Kettenregel die Potenzregel für Wurzelexponenten beweisen

Änderungen, die sich weitergeben. Ein Wetterballon steigt mit $5$ Metern pro Sekunde. Mit jedem Meter Höhe wird die Luft um $0{,}0065$ Grad kälter. Wie schnell sinkt die Temperatur, die der Ballon misst? Man muss nicht lange rechnen: $5 \cdot 0{,}0065 = 0{,}0325$ Grad pro Sekunde. Die Zeit bestimmt die Höhe, die Höhe bestimmt die Temperatur, und die beiden Änderungsraten werden multipliziert.

Dasselbe passiert bei Zahnrädern: Dreht sich das zweite Rad dreimal so schnell wie das erste und das dritte doppelt so schnell wie das zweite, dann dreht sich das dritte sechsmal so schnell wie das erste.

Solche Ketten von Abhängigkeiten stecken in vielen Funktionstermen, auch wenn man sie nicht sofort sieht: In $(2x + 1)^3$ wird erst $2x + 1$ ausgerechnet und das Ergebnis dann hoch drei genommen. In $\sin(x^2)$ wird erst quadriert, dann der Sinus genommen. Die Kettenregel sagt, wie man solche Funktionen ableitet, und sie ist im Kern die Beobachtung vom Wetterballon.

Definition

Verkettung

Wird in eine Funktion $f$ der Wert einer anderen Funktion $g$ eingesetzt, entsteht die Verkettung

$k(x) = f\bigl(g(x)\bigr).$

$g$ heißt innere Funktion, sie wird zuerst ausgeführt. $f$ heißt äußere Funktion. Um beide auseinanderzuhalten, nennt man das Zwischenergebnis oft $u = g(x)$ und schreibt die äußere Funktion mit $u$ : $k(x) = f(u)$ mit $u = g(x)$ .

Man findet die Zerlegung, indem man fragt: Was rechnet der Taschenrechner zuletzt? Das ist die äußere Funktion. Alles, was vorher berechnet werden muss, ist die innere.

$k(x)$	innen $u = g(x)$	außen $f(u)$
$(2x + 1)^3$	$2x + 1$	$u^3$
$\sin(x^2)$	$x^2$	$\sin u$
$\sqrt{x^2 + 1}$	$x^2 + 1$	$\sqrt{u}$
$(\sin x)^2$	$\sin x$	$u^2$

Kurz geprüft

Welche Zerlegung hat $k(x) = \cos(3x - 1)$ ?

Vermute zuerst

Für $k(x) = (2x + 1)^3$ an der Stelle $x_0 = 0{,}5$ : Die innere Funktion $g(x) = 2x + 1$ hat überall die Steigung $2$ . Die äußere Funktion $f(u) = u^3$ hat an der Stelle $u = g(0{,}5) = 2$ die Steigung $f'(2) = 12$ . Wie steil ist $k$ an der Stelle $0{,}5$ ?

Wie

(2x + 1)^3

ein kleines Intervall streckt

x_0

= 0,5

h

= 0,2

$\Delta u \,/\, h$: 2
$\Delta y \,/\, \Delta u$: 14,56
$\Delta y \,/\, h$: 29,12
$g'(x_0)$: 2
$f'(g(x_0))$: 12
$f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)$: 24

Mit $g(x) = 2x + 1$ und $f(u) = u^3$ : Die innere Funktion streckt das Intervall um den Faktor $2$ , die äußere danach um $14{,}56$ . Zusammen ergibt das $2 \cdot 14{,}56 = 29{,}12$ . Halbiere $h$ : Die Faktoren nähern sich $g'(x_0)$ und $f'(g(x_0))$ .

Der Faktor $\frac{\Delta u}{h}$ ist die Sekantensteigung von $g$ , der Faktor $\frac{\Delta y}{\Delta u}$ die von $f$ an der Stelle $u = g(x_0)$ . Für kleine $h$ werden daraus $g'(x_0)$ und $f'(g(x_0))$ .

Probier es aus

Oben liegt ein Intervall der Länge $h$ auf der $x$ -Achse. Darunter siehst du, wohin $g$ es bringt, und ganz unten, wohin $f$ das Ergebnis bringt. Alle drei Geraden haben denselben Maßstab.
Lies die beiden Streckfaktoren ab. Ihr Produkt ist $\frac{\Delta y}{h}$ . Warum muss das so sein?
Halbiere $h$ mehrmals. Gegen welche Werte gehen die Streckfaktoren?
Schieb $x_0$ auf $-0{,}5$ . Dort ist $g(x_0) = 0$ . Was passiert mit dem untersten Intervall, und warum?

Satz

Kettenregel

Ist $g$ an der Stelle $x$ differenzierbar und $f$ an der Stelle $g(x)$ , dann ist $k(x) = f(g(x))$ an der Stelle $x$ differenzierbar mit

k'(x) = f'\bigl(g(x)\bigr) \cdot g'(x)

Schritt für Schritt

Drei Beispiele nach Schema

Bei jeder Verkettung geht man gleich vor: zerlegen, beide Teile ableiten, zusammensetzen.

$k(x) = (2x + 1)^3$ . Außen $f(u) = u^3$ , $f'(u) = 3u^2$ . Innen $g(x) = 2x + 1$ , $g'(x) = 2$ .
$k'(x) = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x + 1)^2$

Schritt 1 von 3

Kurz geprüft

Leite $k(x) = (x^2 - 3x)^4$ ab.

Wenn die innere Funktion waagerecht ist:

\sin(x^2)

x_0

= 1

h

= 0,2

$\Delta u \,/\, h$: 2,2
$\Delta y \,/\, \Delta u$: 0,3409
$\Delta y \,/\, h$: 0,7499
$g'(x_0)$: 2
$f'(g(x_0))$: 0,5403
$f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)$: 1,0806

Mit $g(x) = x^2$ und $f(u) = \sin u$ : Die innere Funktion streckt das Intervall um den Faktor $2{,}2$ , die äußere danach um $0{,}341$ . Zusammen ergibt das $2{,}2 \cdot 0{,}341 = 0{,}75$ . Halbiere $h$ : Die Faktoren nähern sich $g'(x_0)$ und $f'(g(x_0))$ .

Bei $x_0 = 0$ hat $x^2$ einen Tiefpunkt und drückt das Intervall fast auf einen Punkt zusammen. Egal wie steil die äußere Funktion ist, die Verkettung hat dort die Steigung $0$ . Ein negativer Streckfaktor dreht die Richtung des Intervalls um: Das Trichterband kreuzt sich.

Probier es aus

Bei $x_0 = 1$ : Lies $g'(1)$ und $f'(g(1)) = \cos 1$ ab und prüfe das Produkt.
Schieb $x_0$ auf $0$ . Was macht die innere Funktion mit dem Intervall? Was folgt für $k'(0)$ ?
Suche ein $x_0$ , bei dem der zweite Streckfaktor negativ ist. Woran erkennst du das im Bild?

Beispiel

Kettenregel und Produktregel zusammen

Bei $k(x) = x \cdot \sin(2x)$ ist die Funktion zuerst ein Produkt. Also beginnt man mit der Produktregel, $u = x$ , $v = \sin(2x)$ . Für $v'$ braucht man dann die Kettenregel: $v' = 2\cos(2x)$ .

k'(x) = 1 \cdot \sin(2x) + x \cdot 2\cos(2x) = \sin(2x) + 2x\cos(2x)

Die Reihenfolge der Regeln ergibt sich aus dem Aufbau des Terms: Die zuletzt ausgeführte Rechenart (hier das Mal) bestimmt die erste Regel.

Satz

Potenzregel für Wurzeln

Für jede natürliche Zahl $n \geq 2$ und $x > 0$ gilt

\bigl(x^{1/n}\bigr)' = \tfrac{1}{n}\,x^{\frac{1}{n} - 1}

Häufige Fehler

Die innere Ableitung vergessen

Man rechnet $\bigl((3x + 2)^5\bigr)' = 5(3x + 2)^4$ .

Richtig ist

Es fehlt der Faktor $3$ , die innere Ableitung: $15(3x + 2)^4$ . Im Bild der drei Zahlengeraden hat man vergessen, dass die innere Funktion das Intervall schon dreimal so lang macht. Probe für $x = 0$ mit einer Sekante: $\frac{(3 \cdot 0{,}001 + 2)^5 - 2^5}{0{,}001} \approx 240 = 15 \cdot 2^4$ .

Häufige Fehler

Die äußere Ableitung an der falschen Stelle

Man rechnet $(\sin(x^2))' = \cos x \cdot 2x$ .

Richtig ist

Die äußere Funktion wird an der Stelle $u = g(x)$ abgeleitet, also an der Stelle $x^2$ . Richtig ist $\cos(x^2) \cdot 2x$ . Der Ballon misst die Temperaturänderung in seiner Höhe, nicht am Boden.

Häufige Fehler

Verkettung und Produkt verwechseln

Man behandelt $\sin x \cdot x^2$ wie $\sin(x^2)$ oder umgekehrt.

Richtig ist

Bei $\sin x \cdot x^2$ werden zwei Funktionswerte multipliziert: Produktregel. Bei $\sin(x^2)$ wird ein Funktionswert eingesetzt: Kettenregel. Die Taschenrechner-Frage hilft: Was wird zuletzt ausgeführt, das Mal oder der Sinus?

Zusammenfassung

Eine Verkettung $f(g(x))$ hat eine innere Funktion $g$ (zuerst ausgeführt) und eine äußere Funktion $f$ (zuletzt ausgeführt).
Kettenregel: $\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ , äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Anschaulich: Die innere Funktion streckt ein kleines Intervall um $g'(x)$ , die äußere danach um $f'(g(x))$ . Die Faktoren multiplizieren sich.
In der äußeren Ableitung bleibt die innere Funktion unverändert stehen.
Lineare innere Funktion: $\bigl(f(ax + b)\bigr)' = a \cdot f'(ax + b)$ .
Bei zusammengesetzten Termen bestimmt die zuletzt ausgeführte Rechenart, mit welcher Regel man beginnt.
Mit der Kettenregel folgt die Potenzregel für Wurzeln und rationale Exponenten.

Übungen

Aufgabe 1Term eingeben

Leite $k(x) = (4x - 1)^3$ ab.

Aufgabe 2Term eingeben

Leite $k(x) = \cos(5x)$ ab.

Aufgabe 3Term eingeben

Leite $k(x) = \sqrt{3x^2 + 4}$ ab.

Aufgabe 4Numerisch

Sei $k(x) = (\sin x)^2$ . Berechne $k'\bigl(\frac{\pi}{4}\bigr)$ . (Es ist $\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .)

Aufgabe 5Multiple Choice

Welche Ableitung hat $k(x) = x^2 (x + 1)^3$ ?

Aufgabe 6Numerisch

Sind $f$ und $g$ mit $g(2) = 5$ , $g'(2) = -3$ und $f'(5) = 4$ gegeben: Welchen Wert hat die Ableitung von $k(x) = f(g(x))$ an der Stelle $2$ ?

Aufgabe 7Numerisch

Ein kugelförmiger Ballon wird aufgeblasen, sein Radius wächst mit $0{,}5\,\text{cm/s}$ . Wie schnell wächst sein Volumen $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ in dem Moment, in dem $r = 10\,\text{cm}$ ist? Angabe in $\text{cm}^3/\text{s}$ , auf ganze Zahlen gerundet.

Aufgabe 8Freitext

Zeige mit der Kettenregel: Ist $f$ eine gerade Funktion, also $f(-x) = f(x)$ für alle $x$ , dann ist $f'$ ungerade, also $f'(-x) = -f'(x)$ . Erkläre das Ergebnis auch am Graphen.

Lektion 3.2 · Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Kettenregel

Definition

Verkettung

Wird in eine Funktion $f$ der Wert einer anderen Funktion $g$ eingesetzt, entsteht die Verkettung

$k(x) = f\bigl(g(x)\bigr).$

Man findet die Zerlegung, indem man fragt: Was rechnet der Taschenrechner zuletzt? Das ist die äußere Funktion. Alles, was vorher berechnet werden muss, ist die innere.

$k(x)$	innen $u = g(x)$	außen $f(u)$
$(2x + 1)^3$	$2x + 1$	$u^3$
$\sin(x^2)$	$x^2$	$\sin u$
$\sqrt{x^2 + 1}$	$x^2 + 1$	$\sqrt{u}$
$(\sin x)^2$	$\sin x$	$u^2$

Satz

Kettenregel

Ist $g$ an der Stelle $x$ differenzierbar und $f$ an der Stelle $g(x)$ , dann ist $k(x) = f(g(x))$ an der Stelle $x$ differenzierbar mit

k'(x) = f'\bigl(g(x)\bigr) \cdot g'(x)

Beweis

Wir setzen $u = g(x)$ und $\Delta u = g(x + h) - g(x)$ . Ist $\Delta u \neq 0$ , kann man den Differenzenquotienten von $k$ mit $\Delta u$ erweitern:

$\frac{k(x + h) - k(x)}{h} = \frac{f(u + \Delta u) - f(u)}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{h}.$

Das ist genau das Bild aus dem Versuch: Streckfaktor der äußeren Funktion mal Streckfaktor der inneren. Für $h \to 0$ geht $\frac{\Delta u}{h}$ gegen $g'(x)$ . Weil $g$ differenzierbar und damit stetig ist, geht auch $\Delta u$ gegen $0$ , und damit geht der erste Bruch gegen $f'(u) = f'(g(x))$ .

Eine Lücke bleibt: Wenn $g$ in der Nähe von $x$ für manche $h$ denselben Wert annimmt, ist $\Delta u = 0$ und man darf nicht durch $\Delta u$ teilen. In diesem Fall ist aber auch $k(x + h) - k(x) = f(u) - f(u) = 0$ , der Differenzenquotient von $k$ ist für diese $h$ also $0$ . Eine genauere Rechnung (für Interessierte: man ersetzt den ersten Bruch für $\Delta u = 0$ durch den Wert $f'(u)$ ) zeigt, dass die Formel auch dann gilt.

q.e.d.

Schritt für Schritt

Drei Beispiele nach Schema

Bei jeder Verkettung geht man gleich vor: zerlegen, beide Teile ableiten, zusammensetzen.

$k(x) = (2x + 1)^3$ . Außen $f(u) = u^3$ , $f'(u) = 3u^2$ . Innen $g(x) = 2x + 1$ , $g'(x) = 2$ .
$k'(x) = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x + 1)^2$
$k(x) = \sin(x^2)$ . Außen $f(u) = \sin u$ , $f'(u) = \cos u$ . Innen $g(x) = x^2$ , $g'(x) = 2x$ .
$k'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$
$k(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ . Außen $f(u) = \sqrt{u}$ , $f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ . Innen $g(x) = x^2 + 1$ , $g'(x) = 2x$ .
$k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Das Schema in einer Zeile:

\bigl(f(g(x))\bigr)' = \underbrace{f'\bigl(g(x)\bigr)}_{\text{äußere Ableitung}} \cdot \underbrace{g'(x)}_{\text{innere Ableitung}}

Beispiel

Kettenregel und Produktregel zusammen

Bei $k(x) = x \cdot \sin(2x)$ ist die Funktion zuerst ein Produkt. Also beginnt man mit der Produktregel, $u = x$ , $v = \sin(2x)$ . Für $v'$ braucht man dann die Kettenregel: $v' = 2\cos(2x)$ .

k'(x) = 1 \cdot \sin(2x) + x \cdot 2\cos(2x) = \sin(2x) + 2x\cos(2x)

Die Reihenfolge der Regeln ergibt sich aus dem Aufbau des Terms: Die zuletzt ausgeführte Rechenart (hier das Mal) bestimmt die erste Regel.

Satz

Potenzregel für Wurzeln

Für jede natürliche Zahl $n \geq 2$ und $x > 0$ gilt

\bigl(x^{1/n}\bigr)' = \tfrac{1}{n}\,x^{\frac{1}{n} - 1}

Beweis

Wir setzen $w(x) = x^{1/n} = \sqrt[n]{x}$ und nehmen an, dass $w$ differenzierbar ist (das sieht man am glatten Graphen, ein strenger Beweis gehört in die Hochschule). Nach Definition der $n$ -ten Wurzel gilt

$\bigl(w(x)\bigr)^n = x.$

Links steht eine Verkettung: außen $u^n$ , innen $w(x)$ . Wir leiten beide Seiten ab, links mit der Kettenregel:

$n\,\bigl(w(x)\bigr)^{n-1} \cdot w'(x) = 1.$

Auflösen und $w(x) = x^{1/n}$ einsetzen:

$w'(x) = \frac{1}{n\,(x^{1/n})^{n-1}} = \frac{1}{n}\,x^{-\frac{n-1}{n}} = \frac{1}{n}\,x^{\frac{1}{n} - 1}.$

Das ist die Potenzregel mit dem Exponenten $\frac{1}{n}$ . Für $n = 2$ erhält man wieder $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Mit $x^{m/n} = (x^{1/n})^m$ und noch einmal der Kettenregel folgt die Regel dann für alle positiven rationalen Exponenten.

q.e.d.

Häufige Fehler

Die innere Ableitung vergessen

Man rechnet $\bigl((3x + 2)^5\bigr)' = 5(3x + 2)^4$ .

Häufige Fehler

Die äußere Ableitung an der falschen Stelle

Man rechnet $(\sin(x^2))' = \cos x \cdot 2x$ .

Häufige Fehler

Verkettung und Produkt verwechseln

Man behandelt $\sin x \cdot x^2$ wie $\sin(x^2)$ oder umgekehrt.

Zusammenfassung

Eine Verkettung $f(g(x))$ hat eine innere Funktion $g$ (zuerst ausgeführt) und eine äußere Funktion $f$ (zuletzt ausgeführt).
Kettenregel: $\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ , äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Anschaulich: Die innere Funktion streckt ein kleines Intervall um $g'(x)$ , die äußere danach um $f'(g(x))$ . Die Faktoren multiplizieren sich.
In der äußeren Ableitung bleibt die innere Funktion unverändert stehen.
Lineare innere Funktion: $\bigl(f(ax + b)\bigr)' = a \cdot f'(ax + b)$ .
Bei zusammengesetzten Termen bestimmt die zuletzt ausgeführte Rechenart, mit welcher Regel man beginnt.
Mit der Kettenregel folgt die Potenzregel für Wurzeln und rationale Exponenten.