Lektion 3.1

Produktregel

40 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

an einem Gegenbeispiel zeigen, dass die Ableitung eines Produkts nicht das Produkt der Ableitungen ist
die Produktregel am wachsenden Rechteck anschaulich erklären
die Produktregel mit dem Differenzenquotienten beweisen
Produkte aus Potenzen, Wurzeln, Sinus und Kosinus ableiten und das Ergebnis sinnvoll vereinfachen
die Regel auf Produkte aus drei Faktoren erweitern

Wenn zwei Größen gleichzeitig wachsen. Ein rechteckiges Beet wird jedes Jahr größer: Es wird länger und breiter zugleich. Wie schnell wächst seine Fläche? Die Fläche ist Länge mal Breite. Man könnte vermuten, dass dann auch die Wachstumsgeschwindigkeit der Fläche einfach Geschwindigkeit der Länge mal Geschwindigkeit der Breite ist. Für Summen hat das ja auch geklappt: $(f + g)' = f' + g'$ .

Für Produkte ist es falsch, und es lohnt sich, genau zu sehen, warum. Produkte von Funktionen kommen ständig vor. Das Drehmoment ist Kraft mal Hebelarm, die Leistung ist Spannung mal Stromstärke, eine gedämpfte Schwingung ist Amplitude mal Sinus. Und Funktionen wie $x^2 \sin x$ kann man nicht zu einer einzigen Potenz zusammenfassen, sodass die Potenzregel nicht hilft.

Vermute zuerst

Kann man ein Produkt ableiten, indem man beide Faktoren einzeln ableitet und multipliziert, also $(u \cdot v)' = u' \cdot v'$ ?

Ein Rechteck mit den Seiten

u = x

und

v = x^2

x

= 1

h

= 0,5

$u = x$: 1
$v = x^2$: 1
$\Delta u \cdot v \,/\, h$: 1
$u \cdot \Delta v \,/\, h$: 2,5
$\Delta u \cdot \Delta v \,/\, h$: 1,25
$\Delta(uv) \,/\, h$: 4,75
$u'v + uv'$: 3

Der Flächenzuwachs besteht aus drei Teilen: dem Streifen rechts ( $\Delta u \cdot v$ ), dem Streifen oben ( $u \cdot \Delta v$ ) und der kleinen Ecke ( $\Delta u \cdot \Delta v$ ). Die Ecke macht gerade $26{,}3\,\%$ des Zuwachses aus. Halbiere $h$ ein paar Mal.

Der Streifen rechts entsteht, weil $u$ wächst, der Streifen oben, weil $v$ wächst. Die Ecke entsteht, weil beide gleichzeitig wachsen. Sie ist ein Produkt von zwei kleinen Größen und wird deshalb viel schneller klein als die Streifen.

Probier es aus

Das innere Rechteck hat die Fläche $u \cdot v = x \cdot x^2 = x^3$ . Wenn $x$ um $h$ wächst, kommen drei Stücke dazu. Welches gehört zu welchem Faktor?
Halbiere $h$ mehrmals. Was passiert mit dem Anteil der Ecke am Zuwachs?
Vergleiche $\frac{\Delta(uv)}{h}$ mit $u'v + uv'$ für kleines $h$ . Bei $x = 1$ sollte beides fast $3$ sein. Warum passt das zu $(x^3)' = 3x^2$ ?
Schieb $x$ auf $1{,}5$ und wiederhole den Vergleich.

Schritt für Schritt

Vom Rechteck zur Regel

Wir übersetzen das Bild in eine Rechnung. Wenn $x$ um $h$ zunimmt, ändert sich $u$ um $\Delta u = u(x + h) - u(x)$ und $v$ um $\Delta v = v(x + h) - v(x)$ .

Die neue Fläche ist $(u + \Delta u)(v + \Delta v)$ . Ausmultipliziert und die alte Fläche $uv$ abgezogen:
$\Delta(uv) = \Delta u \cdot v + u \cdot \Delta v + \Delta u \cdot \Delta v$

Schritt 1 von 3

Satz

Produktregel

Sind $u$ und $v$ an der Stelle $x$ differenzierbar, dann ist auch $u \cdot v$ dort differenzierbar, und es gilt

(u \cdot v)'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)

Schritt für Schritt

Probe mit der Potenzregel

Eine neue Regel sollte zu dem passen, was man schon weiß. Wir leiten $f(x) = x^2 \cdot x^3$ auf zwei Wegen ab.

Mit der Produktregel, $u = x^2$ , $v = x^3$ , $u' = 2x$ , $v' = 3x^2$ :
$f'(x) = 2x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2 = 2x^4 + 3x^4 = 5x^4$

Schritt 1 von 2

Beispiel

$f(x) = x^2 \sin x$

Hier lässt sich nichts zusammenfassen. Die Faktoren sind $u = x^2$ und $v = \sin x$ , mit $u' = 2x$ und $v' = \cos x$ . Eingesetzt in $u'v + uv'$ :

f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x = x\,(2\sin x + x\cos x)

Ausklammern ist nicht nötig, hilft aber später, wenn man Nullstellen der Ableitung sucht: Das Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist.

Kurz geprüft

Leite $f(x) = x \cos x$ ab.

Schritt für Schritt

Ein Produkt mit einer Wurzel: $f(x) = (x^2 + 1)\sqrt{x}$

Auch hier könnte man ausmultiplizieren. Mit der Produktregel geht es genauso schnell, und es zeigt, wie man das Ergebnis aufräumt.

Faktoren und ihre Ableitungen:
$u = x^2 + 1, \quad u' = 2x, \qquad v = \sqrt{x}, \quad v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Schritt 1 von 3

Kurz geprüft

Für $f(x) = \sin x \cdot \cos x$ : Welchen Wert hat $f'(0)$ ?

Häufige Fehler

Die Ableitungen einfach multiplizieren

Man rechnet $(x^2 \sin x)' = 2x \cos x$ .

Richtig ist

Das ist die Vermutung vom Anfang, und sie ist falsch. Im Rechteckbild fehlt bei $u' \cdot v'$ gerade alles, was zählt: die beiden Streifen. Richtig ist $2x\sin x + x^2\cos x$ .

Häufige Fehler

Die Produktregel bei konstanten Faktoren

Man rechnet $(5x^3)'$ mit der Produktregel: $0 \cdot x^3 + 5 \cdot 3x^2$ .

Richtig ist

Das Ergebnis $15x^2$ stimmt sogar, aber der Weg ist unnötig lang. Für einen konstanten Faktor gilt die Faktorregel: Er bleibt einfach stehen. Die Produktregel braucht man nur, wenn beide Faktoren von $x$ abhängen.

Häufige Fehler

Einen der beiden Summanden vergessen

Man schreibt bei $(x^3 \cos x)'$ nur $3x^2 \cos x$ hin und hört auf.

Richtig ist

Es gibt immer zwei Summanden: Erst wird $u$ abgeleitet, dann $v$ . Hilfreich ist, vorher $u$ , $u'$ , $v$ , $v'$ in eine kleine Tabelle zu schreiben und dann einzusetzen: $3x^2\cos x - x^3\sin x$ .

Zusammenfassung

Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen.
Produktregel: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ . Jeder Faktor wird einmal abgeleitet, der andere bleibt stehen.
Anschaulich: Ein Rechteck mit den Seiten $u$ und $v$ wächst um zwei Streifen $\Delta u \cdot v$ und $u \cdot \Delta v$ und eine Ecke $\Delta u \cdot \Delta v$ . Die Ecke fällt beim Grenzübergang weg.
Bewiesen mit dem Trick, im Zähler $u(x)\,v(x + h)$ abzuziehen und wieder zu addieren.
Bei drei Faktoren: $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$ .
Konstante Faktoren behandelt man mit der Faktorregel, Produkte von Potenzen fasst man vorher zusammen.

Übungen

Aufgabe 1Term eingeben

Leite $f(x) = x^3 \sin x$ ab.

Aufgabe 2Numerisch

Sei $f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)$ . Berechne $f'(2)$ mit der Produktregel und prüfe durch Ausmultiplizieren.

Aufgabe 3Term eingeben

Leite $f(x) = \sqrt{x}\,\cos x$ für $x > 0$ ab.

Aufgabe 4Multiple Choice

Welche Ableitung hat $f(x) = x \cdot \sin x \cdot \cos x$ ?

Aufgabe 5Numerisch

Die Tangente an $f(x) = x^2 \sin x$ an der Stelle $x_0 = \pi$ hat welche Steigung? Gib das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen an.

Aufgabe 6Numerisch

Für zwei Funktionen ist bekannt: $u(1) = 3$ , $u'(1) = -2$ , $v(1) = 4$ , $v'(1) = 5$ . Berechne $(u \cdot v)'(1)$ .

Aufgabe 7Freitext

Die Leistung an einem Bauteil ist $P(t) = U(t) \cdot I(t)$ . Zum Zeitpunkt $t_0$ ist $U = 12\,\text{V}$ und steigt mit $0{,}5\,\text{V/s}$ , die Stromstärke ist $I = 2\,\text{A}$ und fällt mit $0{,}1\,\text{A/s}$ . Steigt oder fällt die Leistung in diesem Moment, und wie schnell? Erkläre mit dem Rechteckbild, warum die Antwort nicht offensichtlich ist.

Vom Rechteck zur Regel

Probe mit der Potenzregel

f(x)=x2sin⁡xf(x) = x^2 \sin xf(x)=x2sinx

Ein Produkt mit einer Wurzel: f(x)=(x2+1)xf(x) = (x^2 + 1)\sqrt{x}f(x)=(x2+1)x​

Die Ableitungen einfach multiplizieren

Die Produktregel bei konstanten Faktoren

Einen der beiden Summanden vergessen

Zusammenfassung

Übungen

$f(x) = x^2 \sin x$

Ein Produkt mit einer Wurzel: $f(x) = (x^2 + 1)\sqrt{x}$