Lektion 3.3

Quotientenregel

35 min Lesezeit

Nach dieser Lektion kannst du

  • die Quotientenregel aus Produkt- und Kettenregel herleiten

  • Brüche von Funktionen ableiten und das Ergebnis vereinfachen

  • entscheiden, wann man statt der Quotientenregel besser umformt

  • die Ableitung des Tangens bestimmen

Brüche sind überall. Viele Größen sind Verhältnisse: die Durchschnittskosten pro Stück K(x)x\frac{K(x)}{x}, die Konzentration eines Stoffes StoffmengeVolumen\frac{\text{Stoffmenge}}{\text{Volumen}}, die Wirkung eines Medikaments, die erst steigt und dann abklingt, etwa 5tt2+1\frac{5t}{t^2 + 1}. Wer wissen will, wann eine solche Größe am größten ist, braucht ihre Ableitung.

Für Produkte haben wir die Produktregel. Ein Bruch uv\frac{u}{v} ist das Produkt u⋅1vu \cdot \frac{1}{v}. Wir müssen also nur noch herausfinden, wie man 1v\frac{1}{v} ableitet, und dafür reicht die Kettenregel. Eine neue Grundidee braucht diese Lektion nicht. Sie setzt zusammen, was schon da ist.

Vermute zuerst

Darf man einen Bruch ableiten, indem man Zähler und Nenner einzeln ableitet, also (uv)′=u′v′\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'}{v'}?

Schritt für Schritt

Schritt 1: die Ableitung von 1v(x)\frac{1}{v(x)}

1v(x)\frac{1}{v(x)} ist eine Verkettung: Innen wird v(x)v(x) berechnet, außen der Kehrwert genommen.

  1. Die äußere Funktion ist der Kehrwert. Als Potenz geschrieben lässt sie sich mit der Potenzregel ableiten:

    f(u)=1u=u−1,f′(u)=−u−2=−1u2f(u) = \frac{1}{u} = u^{-1}, \qquad f'(u) = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}
Schritt 1 von 2
Schritt für Schritt

Schritt 2: der allgemeine Bruch

Jetzt schreiben wir uv=u⋅1v\frac{u}{v} = u \cdot \frac{1}{v} und wenden die Produktregel an.

  1. Produktregel mit den Faktoren uu und 1v\frac{1}{v}:

    (u⋅1v)′=u′⋅1v+u⋅(−v′v2)\left(u \cdot \frac{1}{v}\right)' = u' \cdot \frac{1}{v} + u \cdot \left(-\frac{v'}{v^2}\right)
Schritt 1 von 2
Satz

Quotientenregel

Sind uu und vv an der Stelle xx differenzierbar und ist v(x)≠0v(x) \neq 0, dann ist uv\frac{u}{v} dort differenzierbar mit

(uv)′(x)=u′(x) v(x)−u(x) v′(x)(v(x))2\left(\frac{u}{v}\right)'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}
Schritt für Schritt

Beispiel: f(x)=5xx2+1f(x) = \dfrac{5x}{x^2 + 1}

Das ist die Wirkung eines Medikaments aus der Einleitung (mit xx statt tt). Wann ist sie am größten?

  1. Zähler und Nenner mit Ableitungen:

    u=5x,u′=5,v=x2+1,v′=2xu = 5x, \quad u' = 5, \qquad v = x^2 + 1, \quad v' = 2x
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Der Graph von 5xx2+1\dfrac{5x}{x^2 + 1} und seine Steigung

Bei x=±1x = \pm 1 schneidet der Graph von f′f' die Achse, dort hat ff Hoch- und Tiefpunkt. Für große ∣x∣|x| nähert sich ff der xx-Achse und wird immer flacher.

Probier es aus

Kurz geprüft

Leite f(x)=xx+2f(x) = \dfrac{x}{x + 2} ab und vereinfache.

Potenzen mit ^, Wurzel als sqrt(x), Brüche mit / und Klammern.

Beispiel

Die Ableitung des Tangens

Der Tangens ist tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, definiert überall dort, wo cos⁡x≠0\cos x \neq 0. Mit u=sin⁡xu = \sin x, u′=cos⁡xu' = \cos x, v=cos⁡xv = \cos x, v′=−sin⁡xv' = -\sin x:

(tan⁡x)′=cos⁡x⋅cos⁡x−sin⁡x⋅(−sin⁡x)cos⁡2x=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2x(\tan x)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}

Im letzten Schritt steht der Satz des Pythagoras am Einheitskreis: sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1. Teilt man den Zähler stattdessen einzeln, erhält man die zweite übliche Form (tan⁡x)′=1+tan⁡2x(\tan x)' = 1 + \tan^2 x. Beide Formen sind gleich, und beide sind immer positiv: Der Tangens steigt auf jedem Stück seines Definitionsbereichs.

Kurz geprüft

Welche Ableitung hat f(x)=4x2+1f(x) = \dfrac{4}{x^2 + 1}?

Häufige Fehler

Die Reihenfolge im Zähler vertauschen

Man schreibt uv′−u′vv2\frac{uv' - u'v}{v^2}.

Richtig ist

Das Ergebnis hat dann das falsche Vorzeichen. Probe mit 1x\frac{1}{x}: Die vertauschte Formel gibt +1x2+\frac{1}{x^2}, aber der Graph von 1x\frac{1}{x} fällt. Richtig: zuerst der abgeleitete Zähler, u′v−uv′u'v - uv'.

Häufige Fehler

Das Quadrat im Nenner vergessen

Man schreibt u′v−uv′v\frac{u'v - uv'}{v}.

Richtig ist

Im Nenner steht v2v^2. Das sieht man an der Herleitung: Die Kehrwertregel liefert −v′v2-\frac{v'}{v^2}, und der erste Summand u′v\frac{u'}{v} wird mit vv auf denselben Nenner erweitert.

Häufige Fehler

Falsch kürzen

Man kürzt in 5x2+5−10x2(x2+1)2\frac{5x^2 + 5 - 10x^2}{(x^2 + 1)^2} ein x2+1x^2 + 1 aus der Summe im Zähler gegen den Nenner.

Richtig ist

Kürzen darf man nur Faktoren, nie Summanden. Erst den Zähler zusammenfassen (5−5x25 - 5x^2), dann prüfen, ob er einen Faktor mit dem Nenner gemeinsam hat. Hier ist das nicht der Fall.

Zusammenfassung

  • Einen Bruch darf man nicht ableiten, indem man Zähler und Nenner einzeln ableitet.

  • Kehrwertregel aus der Kettenregel: (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}.

  • Quotientenregel aus Produkt- und Kehrwertregel: (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}, für v≠0v \neq 0.

  • Im Zähler zuerst den abgeleiteten Zähler, dann das Minus. Probe mit u=1u = 1.

  • Den Nenner v2v^2 stehen lassen: Er ist nie negativ, das Vorzeichen von f′f' steckt im Zähler.

  • Ableitung des Tangens: (tan⁡x)′=1cos⁡2x=1+tan⁡2x(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x.

  • Vorher prüfen, ob Kürzen, Umschreiben als Potenz oder die Kehrwertregel einfacher ist.

Übungen

Aufgabe 1Term eingeben

Leite f(x)=x+1x−1f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 1} für x≠1x \neq 1 ab.

Potenzen mit ^, Wurzel als sqrt(x), Brüche mit / und Klammern.

Aufgabe 2Numerisch

Sei f(x)=x2x+1f(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}. Berechne f′(1)f'(1).

Aufgabe 3Term eingeben

Leite f(x)=sin⁡xxf(x) = \dfrac{\sin x}{x} für x≠0x \neq 0 ab.

Potenzen mit ^, Wurzel als sqrt(x), Brüche mit / und Klammern.

Aufgabe 4Multiple Choice

Für welche Funktion ist die Quotientenregel der umständlichste Weg?

Aufgabe 5Numerisch

Der Graph von f(x)=x2x−2f(x) = \dfrac{x^2}{x - 2} hat für x>2x > 2 einen Tiefpunkt. An welcher Stelle?

Aufgabe 6Numerisch

Die Durchschnittskosten bei xx Stück sind D(x)=K(x)xD(x) = \dfrac{K(x)}{x} mit K(x)=x2+100K(x) = x^2 + 100. Bei welcher Stückzahl sind die Durchschnittskosten minimal?

Aufgabe 7Freitext

Zeige: An der Stelle, an der die Durchschnittskosten D(x)=K(x)xD(x) = \frac{K(x)}{x} minimal sind, sind sie genau so groß wie die Grenzkosten K′(x)K'(x). Prüfe das mit K(x)=x2+100K(x) = x^2 + 100.