Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem ein Körper ohne äußere Kraft in Ruhe oder in geradlinig gleichförmiger Bewegung bleibt. Jedes System, das sich relativ dazu mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, ist wieder eines. Das Relativitätsprinzip (Galilei) sagt: Die Gesetze der Mechanik haben in allen Inertialsystemen dieselbe Form. In einem gleichförmig fahrenden Zug lässt sich durch mechanische Versuche nicht feststellen, ob er fährt. Beim Systemwechsel gilt $x' = x - vt$, $t' = t$ und für Geschwindigkeiten $u' = u - v$. Die Maxwellschen Gleichungen liefern für Licht im Vakuum aber den festen Wert $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}$. Gilt er nur in einem besonderen System, dem „Äther“?

Läge der Äther in Ruhe, bewegte sich die Erde mit etwa $v = 30$ km/s durch ihn, und die Lichtlaufzeit hinge von der Richtung ab. Michelson und Morley (1887) prüften das mit einem Interferometer: Ein halbdurchlässiger Spiegel teilt Licht in zwei Bündel, die in zwei senkrechten Armen der Länge $L$ zu Spiegeln und zurück laufen und dann interferieren. Mit $\beta = v/c$ braucht das Licht hin und zurück längs des Ätherwinds $t_\parallel$ und quer dazu $t_\perp$ (quer muss es schräg gegen den Wind laufen, die Querkomponente ist $\sqrt{c^2 - v^2}$):

Einstein (1905) ersetzte den Äther durch zwei Postulate:

• Relativitätsprinzip: Alle Naturgesetze, auch die der Elektrodynamik, haben in allen Inertialsystemen dieselbe Form.
• Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Licht breitet sich im Vakuum in jedem Inertialsystem mit demselben Wert $c \approx 3{,}00 \cdot 10^{8}$ m/s aus, unabhängig von der Bewegung der Quelle und des Beobachters.

Das zweite Postulat widerspricht der Galilei-Addition der Geschwindigkeiten. Beide zusammen zwingen dazu, die absolute Zeit aufzugeben.

In der Mitte eines fahrenden Wagens blitzt eine Lampe, das Licht läuft zum vorderen und zum hinteren Ende. Für die Fahrgäste kommt es an beiden Enden gleichzeitig an: gleiche Strecken, gleiche Geschwindigkeit $c$. Für einen Beobachter am Bahnsteig läuft das hintere Ende dem Licht entgegen und das vordere davon. Das Licht hat auch für ihn die Geschwindigkeit $c$, erreicht also das hintere Ende zuerst. Zwei Ereignisse an verschiedenen Orten, die in einem Inertialsystem gleichzeitig sind, sind es in einem dazu bewegten System im Allgemeinen nicht. Das ist keine Täuschung durch Signallaufzeiten, die sind herausgerechnet. Jedes Inertialsystem hat seine eigene Zeit.

Eine Lichtuhr lässt einen Lichtimpuls zwischen zwei Spiegeln im Abstand $d$ hin und her laufen. Im Ruhesystem der Uhr dauert ein Takt $t_0 = 2d/c$ (Eigenzeit: Zeit zwischen zwei Ereignissen am selben Ort, gemessen mit einer dort ruhenden Uhr). Bewegt sich die Uhr mit $v$ quer zur Spiegelverbindung, läuft der Impuls für den Beobachter schräg. Mit der Taktdauer $t$ gilt nach Pythagoras $(ct/2)^2 = d^2 + (vt/2)^2$, also $t = 2d/\sqrt{c^2 - v^2}$. Mit $t_0 = 2d/c$ folgt:

Die Eigenlänge $L_0$ ist die Länge eines Körpers in seinem Ruhesystem. In einem System, in dem er sich mit $v$ in Längsrichtung bewegt, misst man $L = L_0/\gamma$. Längen in Bewegungsrichtung sind verkürzt, Querlängen bleiben gleich. Herleitung: Eine Uhr fliegt mit $v$ an einer Strecke der Eigenlänge $L_0$ vorbei. Im Ruhesystem der Strecke dauert das $t = L_0/v$, die Uhr zeigt die Eigenzeit $t_0 = t/\gamma$. Im Ruhesystem der Uhr zieht die Strecke in dieser Zeit mit $v$ vorbei, ihre Länge ist $L = v\,t_0 = L_0/\gamma$.

Für das Myon im Beispiel ist die Atmosphäre nur $10\ \text{km}/22{,}4 = 0{,}446$ km dick. Es braucht dafür $0{,}446\ \text{km} : (0{,}999\,c) = 1{,}49$ µs, dasselbe Ergebnis wie oben.

Damit die Impulserhaltung in allen Inertialsystemen gilt, muss der Impuls anders definiert werden als bei Newton. Mit der Ruhemasse $m$ (sie hängt nicht von $v$ ab) ist $p = \gamma\,m\,v$. Für $v \ll c$ ist $\gamma \approx 1$, und $p = mv$ folgt. Für $v \to c$ wächst $p$ über alle Grenzen: Ein Körper mit Masse lässt sich nicht auf $c$ beschleunigen, weil jede weitere Kraftwirkung die Geschwindigkeit kaum noch erhöht.

Die Gesamtenergie eines Körpers ist $E = \gamma m c^2$. In Ruhe bleibt die Ruheenergie $E_0 = mc^2$. Die kinetische Energie ist die Differenz $E_{\text{kin}} = (\gamma - 1)\,mc^2$; für $v \ll c$ ist $\gamma \approx 1 + v^2/(2c^2)$ und damit $E_{\text{kin}} \approx \tfrac12 mv^2$. Aus $E$ und $p$ folgt $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$, denn $E^2 - (pc)^2 = \gamma^2 m^2 c^4 (1 - v^2/c^2) = m^2 c^4$. Für Photonen ($m = 0$) ergibt das $E = pc$.

Jede Energieänderung eines Systems ändert seine Masse um $\Delta m = \Delta E/c^2$. Das ist der Massendefekt der Kerne, die Quelle der Sonnenenergie (die Sonne verliert etwa 4 Millionen Tonnen Masse je Sekunde) und die Paarbildung und Paarvernichtung.