Der Ort $s(t)$ eines Körpers auf einer Geraden ist eine Funktion der Zeit. Die mittlere Geschwindigkeit zwischen $t$ und $t + \Delta t$ ist der Differenzenquotient, also die Steigung der Sekante im $s$-$t$-Diagramm. Die Momentangeschwindigkeit ist sein Grenzwert für $\Delta t \to 0$, die Ableitung nach der Zeit, im Diagramm die Steigung der Tangente. Ebenso ist die Beschleunigung die Änderungsrate der Geschwindigkeit. Ein Punkt über dem Zeichen steht für die Ableitung nach der Zeit. Umgekehrt ist die Fläche unter dem $v$-$t$-Graphen die Ortsänderung und die Fläche unter dem $a$-$t$-Graphen die Geschwindigkeitsänderung.

Bleibt die Beschleunigung $a$ konstant, wächst $v$ gleichmäßig, und der Weg ist die Fläche unter dem $v$-$t$-Graphen, ein Trapez. Du prüfst das Ergebnis durch Ableiten: $\dot{s} = v_0 + a t$ und $\dot{v} = a$. Die Gesetze enthalten zwei frei wählbare Größen, die Anfangsbedingungen: den Anfangsort $s_0$ und die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ bei $t = 0$. Erst sie legen fest, welche Bewegung gemeint ist.

Du wählst eine Achse mit positiver Richtung. Zeigt eine Größe gegen die Achse, ist sie negativ: Beim Bremsen eines Autos, das in Achsenrichtung fährt, ist $a < 0$. Löst du das erste Gesetz nach $t$ auf und setzt es in das zweite ein, entfällt die Zeit (dritte Gleichung).

In der Ebene genügt eine Zahl nicht mehr. Der Ortsvektor $\vec{r} = (x \mid y)$ zeigt vom Ursprung zum Körper. Die Verschiebung $\Delta\vec{r}$ ist der Vektor vom alten zum neuen Ort, nicht die Länge des zurückgelegten Wegs. Die Änderungsraten sind wieder Vektoren, komponentenweise gebildet: $\vec{v} = \dot{\vec{r}} = (v_x \mid v_y)$ und $\vec{a} = \dot{\vec{v}} = (a_x \mid a_y)$. Die Geschwindigkeit zeigt in jedem Moment tangential zur Bahn.

Betrag und Richtung (Winkel $\alpha$ gegen die $x$-Achse) folgen aus den Komponenten:

Bewegungen in zueinander senkrechten Richtungen beeinflussen sich nicht. Nach dem Superpositionsprinzip (Überlagerungsprinzip) ist eine Bewegung in der Ebene die Überlagerung zweier unabhängiger Bewegungen längs der Achsen. Jede Komponente folgt ihren eigenen Gesetzen, und $\vec{r}$, $\vec{v}$, $\vec{a}$ ergeben sich durch Addition der Komponenten. Dasselbe gilt für Bewegungen in einem bewegten Medium: Ein Boot hat gegenüber dem Ufer die Vektorsumme aus seiner Geschwindigkeit gegenüber dem Wasser und der Strömungsgeschwindigkeit. Eine solche zusammengesetzte Bewegung kann geradlinig oder gekrümmt sein, obwohl jede Komponente einfach ist.

Bei einer Wurfbewegung wirkt nur die Gewichtskraft. Der Luftwiderstand wird vernachlässigt (Modellannahme). Zeigt $y$ nach oben, ist $\vec{a} = (0 \mid -g)$ mit $g = 9{,}81\,\text{m/s}^2$. Nach dem Superpositionsprinzip läuft in $x$-Richtung eine gleichförmige und in $y$-Richtung eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ab. Der Körper startet im Ursprung mit dem Betrag $v_0$ unter dem Abwurfwinkel $\alpha$ gegen die Waagerechte, also mit $v_{0x} = v_0\cos\alpha$ und $v_{0y} = v_0\sin\alpha$.

Die drei Würfe sind Sonderfälle derselben Gesetze:

• Senkrechter Wurf ($\alpha = 90°$): nur die $y$-Bewegung. Steigzeit $t_S = v_0 : g$, Steighöhe $h = v_0^2 : (2g)$. Im Umkehrpunkt ist $v_y = 0$, die Beschleunigung aber weiter $-g$.
• Waagerechter Wurf ($\alpha = 0°$, Abwurf aus der Höhe $h$): $x = v_0 t$ und $y = -\tfrac{1}{2} g t^2$. Die Fallzeit $t_F = \sqrt{2h : g}$ hängt nicht von $v_0$ ab. Eliminierst du $t$, erhältst du die Bahn $y = -g x^2 : (2 v_0^2)$, eine Parabel.
• Schiefer Wurf ($0° < \alpha < 90°$) mit gleicher Start- und Landehöhe: Aus $y(T) = 0$ folgt die Flugzeit $T = 2 v_0 \sin\alpha : g$. Einsetzen in $x(T)$ ergibt mit $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$ die Wurfweite $w = v_0^2 \sin 2\alpha : g$. Sie ist bei $\alpha = 45°$ am größten, und $\alpha$ und $90° - \alpha$ geben dieselbe Weite. Höchster Punkt: $h = (v_0 \sin\alpha)^2 : (2g)$.