Lektion 5.2

Regelungstechnik

20 min Lesezeit

Der Thermostat einer Heizung hält ein Zimmer auf 21 °C, obwohl es draußen kälter wird oder jemand das Fenster öffnet. Er misst die Temperatur, vergleicht sie mit dem Wunsch und schaltet die Heizung. Eine Steuerung ohne Messung könnte das nicht: Sie stellt die Heizung auf einen festen Wert und merkt nicht, wenn sich die Lage ändert.

Wie sieht ein solcher Wirkungskreis aus? Wie entscheidet der Regler, wann er eingreift, und wie genau trifft er den Wunschwert? Die Lektion klärt das für zwei einfache Regler. Der Teil für das Leistungsniveau (Sprungantwort, Streckentypen, I- und PI-Regler, Simulation) steht am Ende.

Definition

Regelkreis und Blockdiagramm

Beim Regeln misst man die Größe, die man beeinflussen will, vergleicht sie mit dem Wunsch und greift ein, bis beide übereinstimmen. Weil die Messung auf den Eingriff zurückwirkt, ist der Wirkungsablauf ein geschlossener Kreis (negative Rückkopplung). Bei einer Steuerung fehlt die Messung, eine Störung bleibt unbemerkt. Die Größen, am Beispiel der Raumheizung:

Zeichen	Name	Beispiel
$w$	Führungsgröße (Sollwert)	gewünschte Temperatur 21 °C
$x$	Regelgröße (Istwert)	gemessene Raumtemperatur
$e = w - x$	Regelabweichung	Wunsch minus Messwert
$y$	Stellgröße	Ventilöffnung, Heizleistung
$z$	Störgröße	geöffnetes Fenster

Im Blockdiagramm steht jeder Teil als Rechteck, Pfeile zeigen den Signalfluss. Der Regler erhält $e$ und gibt $y$ ab. Das Stellglied (Ventil) wirkt auf die Regelstrecke (den Teil der Anlage mit der Regelgröße, hier der Raum), auf die auch $z$ wirkt. Der Messfühler führt $x$ zum Vergleich $w - x$ zurück.

Definition

Zweipunktregler

Ein Zweipunktregler kennt nur zwei Stellgrößen: ein und aus. Er schaltet ein, wenn $x$ unter $w$ minus der halben Schaltdifferenz liegt, und aus, wenn $x$ über $w$ plus der halben Schaltdifferenz liegt. Dazwischen behält er den Zustand. Die Schaltdifferenz (Hysterese) verhindert, dass er bei $x \approx w$ ständig hin- und herschaltet. Die Regelgröße pendelt dadurch dauernd um den Sollwert. Vorteil: einfach und billig (Thermostat im Bügeleisen). Nachteil: Dauerschwingung und Verschleiß bei häufigem Schalten.

Beispiel

Raumthermostat

Sollwert 21 °C, Schaltdifferenz 1 K: Die Heizung schaltet bei 20,5 °C ein und bei 21,5 °C aus. Angenommen steigt die Temperatur bei eingeschalteter Heizung um 0,2 K je Minute und sinkt bei ausgeschalteter um 0,05 K je Minute. Wie lange dauert ein Schaltspiel, und wie viel Prozent der Zeit ist die Heizung an?

Aufheizen um 1 K: 1 K : 0,2 K/min = 5 min. Abkühlen um 1 K: 1 K : 0,05 K/min = 20 min. Ein Schaltspiel dauert 5 + 20 = 25 min, die Heizung ist 5/25 = 20 % der Zeit an. Bei einer Schaltdifferenz von 2 K wären es 50 min: Die Temperatur schwankt stärker, dafür schaltet die Heizung seltener.

Definition

P-Regler

Ein P-Regler gibt eine Stellgröße proportional zur Regelabweichung ab: $y = K_\text{P}\,e$ mit dem Verstärkungsfaktor $K_\text{P}$ . Er stellt stetig statt zu schalten. Eine Strecke mit Ausgleich stellt sich bei konstanter Stellgröße auf einen festen Wert ein. Hier vereinfacht ohne Verzögerung: $x = K_\text{S}\,y$ mit der Streckenverstärkung $K_\text{S}$ . Aus $x = K_\text{S}K_\text{P}(w - x)$ folgt nach $x$ aufgelöst die Regelabweichung unten. Sie ist nie null: Der P-Regler gibt nur dann eine Stellgröße ab, wenn $e \neq 0$ ist. Diese bleibende Regelabweichung wird mit größerem $K_\text{P}$ kleiner. Bei Strecken mit Verzögerung kann ein zu großes $K_\text{P}$ den Kreis zum Schwingen bringen.

e = w - x = \frac{w}{1 + K_\text{S}K_\text{P}}

Beispiel

Bleibende Regelabweichung

Eine Strecke hat $K_\text{S} = 2$ , der Sollwert ist $w = 100$ (Größen ohne Einheit). Berechne $x$ , $e$ und $y$ für $K_\text{P} = 2$ und für $K_\text{P} = 12$ .

Aus $x = K_\text{S}K_\text{P}(w - x)$ folgt $x = \frac{K_\text{S}K_\text{P}}{1 + K_\text{S}K_\text{P}}\,w$ . Für $K_\text{P} = 2$ ist $K_\text{S}K_\text{P} = 4$ , also $x = \frac{4}{5}\cdot 100 = 80$ , $e = 20$ , $y = 2 \cdot 20 = 40$ (Probe: $2 \cdot 40 = 80$ ). Für $K_\text{P} = 12$ ist $K_\text{S}K_\text{P} = 24$ , also $x = \frac{24}{25}\cdot 100 = 96$ , $e = 4$ , $y = 12 \cdot 4 = 48$ (Probe: $2 \cdot 48 = 96$ ). Ein größeres $K_\text{P}$ verkleinert $e$ , beseitigt es aber nicht.

Definition

Sprungantwort und Streckentypen

Das Zeitverhalten eines Gliedes (Strecke oder Regler) zeigt seine Sprungantwort: Der Eingang springt zur Zeit 0 von 0 auf den festen Wert $y_0$ , aufgezeichnet wird der Ausgang $x(t)$ .

P-Strecke: Der Ausgang folgt sofort, $x = K_\text{S}\,y_0$ (etwa ein Spannungsteiler).
PT1-Strecke (Verzögerung erster Ordnung): Der Ausgang nähert sich dem Endwert $K_\text{S}\,y_0$ mit der Zeitkonstante $T$ , wie die Spannung beim Laden eines Kondensators. Nach $t = T$ sind etwa 63 % des Endwerts erreicht, nach $3T$ etwa 95 %.
I-Strecke: Der Ausgang wächst bei konstantem Eingang gleichmäßig, $x = K_\text{I}\,y_0\,t$ (Füllstand bei konstantem Zufluss). Sie stellt sich auf keinen festen Wert ein.

x(t) = K_\text{S}\,y_0\,\bigl(1 - \mathrm{e}^{-t/T}\bigr) \quad \text{(PT1-Strecke)}

Definition

I-Regler und PI-Regler

Der I-Regler summiert die Regelabweichung auf, seine Stellgröße wächst, solange $e \neq 0$ ist, und bleibt erst bei $e = 0$ stehen. Im eingeschwungenen Zustand bleibt deshalb keine Regelabweichung. Dafür reagiert er langsam und neigt zum Schwingen. Der PI-Regler addiert beide Anteile: Der P-Anteil reagiert sofort, der I-Anteil beseitigt die Restabweichung. Seine Sprungantwort springt auf $K_\text{P}\,e_0$ und steigt dann linear mit der Steigung $K_\text{I}\,e_0$ .

y(t) = K_\text{P}\,e(t) + K_\text{I}\int_0^t e(\tau)\,\mathrm{d}\tau

Definition

Simulation eines Regelkreises

Eine Simulation rechnet den Regelkreis in kleinen Zeitschritten $\Delta t$ . Für eine PT1-Strecke gilt je Schritt $x_\text{neu} = x + \frac{\Delta t}{T}\,(K_\text{S}\,y - x)$ : Man geht mit der momentanen Steigung ein Stück weiter. Je kleiner $\Delta t$ , desto genauer ist das. Ablauf (Pseudocode):

Zeile	Einrückung	Anweisung
1	0	$\texttt{x = 0}$
2	0	$\texttt{wiederhole für jeden Zeitschritt}$
3	1	$\texttt{e = w - x}$
4	1	$\texttt{y = Kp * e}$
5	1	$\texttt{x = x + dt / T * (Ks * y - x)}$

Beispiel

Die ersten Schritte der Simulation

PT1-Strecke mit $K_\text{S} = 2$ und $T = 10\,\text{s}$ , P-Regler mit $K_\text{P} = 2$ , $w = 100$ , $\Delta t = 0{,}5\,\text{s}$ . Berechne die ersten drei Schritte.

Es ist $\Delta t/T = 0{,}05$ . Schritt 1: $e = 100$ , $y = 200$ , $x = 0 + 0{,}05\,(2 \cdot 200 - 0) = 20$ . Schritt 2: $e = 80$ , $y = 160$ , $x = 20 + 0{,}05\,(320 - 20) = 35$ . Schritt 3: $e = 65$ , $y = 130$ , $x = 35 + 0{,}05\,(260 - 35) = 46{,}25$ . Der Wert nähert sich $\frac{4}{5}\cdot 100 = 80$ wie im Beispiel zur bleibenden Regelabweichung.

Häufige Fehler

Der P-Regler erreicht den Sollwert

„Wenn ich lange genug warte, regelt der P-Regler genau auf den Sollwert.“

Richtig ist

Er gibt nur dann eine Stellgröße ab, wenn eine Regelabweichung besteht. Wäre $e = 0$ , wäre auch $y = 0$ . Bei einer Strecke mit Ausgleich bleibt deshalb eine Restabweichung $w/(1 + K_\text{S}K_\text{P})$ . Nur ein I-Anteil beseitigt sie.

Häufige Fehler

Steuern und Regeln sind dasselbe

„Ein Backofen mit fester Heizleistung regelt die Temperatur.“

Richtig ist

Eine Steuerung wirkt ohne Messung der Wirkung: Öffnest du die Tür, merkt sie es nicht. Beim Regeln wird die Regelgröße gemessen und zurückgeführt, der Regler gleicht Störungen aus.

Zusammenfassung

Ein Regelkreis misst die Regelgröße $x$ , bildet $e = w - x$ und stellt $y$ so, dass die Störgröße $z$ ausgeglichen wird. Das Blockdiagramm zeigt Regler, Stellglied, Strecke und Rückführung.
Ein Zweipunktregler schaltet ein und aus. Die Schaltdifferenz verhindert Dauerschalten, die Regelgröße pendelt um den Sollwert.
Ein P-Regler stellt $y = K_\text{P}\,e$ . An einer Strecke mit Ausgleich bleibt eine Regelabweichung $w/(1 + K_\text{S}K_\text{P})$ , die mit $K_\text{P}$ sinkt.
Leistungskurs: Die Sprungantwort kennzeichnet P-, PT1- und I-Strecke. Der I-Anteil beseitigt die Regelabweichung, der PI-Regler verbindet schnelle Reaktion mit genauem Ergebnis.
Leistungskurs: Eine Simulation rechnet den Kreis in Zeitschritten.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Welche Aussage über einen Zweipunktregler stimmt?

Aufgabe 2Numerisch

Ein Zweipunktregler hat eine Schaltdifferenz von 2 K. Bei eingeschalteter Heizung steigt die Temperatur um 0,25 K je Minute, bei ausgeschalteter sinkt sie um 0,05 K je Minute. Wie lange dauert ein Schaltspiel, in Minuten?

Aufgabe 3Numerisch

Ein P-Regler regelt eine Strecke ohne Verzögerung mit $K_\text{S} = 3$ und $K_\text{P} = 5$ . Der Sollwert ist 160. Wie groß ist die bleibende Regelabweichung?

Aufgabe 4Multiple Choice

Leistungskurs: Bei der Sprungantwort einer PT1-Strecke ist nach der Zeit $t = T$ etwa welcher Anteil des Endwerts erreicht?

Aufgabe 5Freitext

Leistungskurs: Erkläre, warum ein PI-Regler im eingeschwungenen Zustand keine Regelabweichung hat, ein P-Regler an einer Strecke mit Ausgleich aber schon.

Lektion 5.2 · Automatisierung, Regelung und Datenkommunikation

Regelungstechnik

Definition

Regelkreis und Blockdiagramm

Zeichen	Name	Beispiel
$w$	Führungsgröße (Sollwert)	gewünschte Temperatur 21 °C
$x$	Regelgröße (Istwert)	gemessene Raumtemperatur
$e = w - x$	Regelabweichung	Wunsch minus Messwert
$y$	Stellgröße	Ventilöffnung, Heizleistung
$z$	Störgröße	geöffnetes Fenster

Definition

Zweipunktregler

Beispiel

Raumthermostat

Definition

P-Regler

e = w - x = \frac{w}{1 + K_\text{S}K_\text{P}}

Beispiel

Bleibende Regelabweichung

Eine Strecke hat $K_\text{S} = 2$ , der Sollwert ist $w = 100$ (Größen ohne Einheit). Berechne $x$ , $e$ und $y$ für $K_\text{P} = 2$ und für $K_\text{P} = 12$ .

Definition

Sprungantwort und Streckentypen

Das Zeitverhalten eines Gliedes (Strecke oder Regler) zeigt seine Sprungantwort: Der Eingang springt zur Zeit 0 von 0 auf den festen Wert $y_0$ , aufgezeichnet wird der Ausgang $x(t)$ .

P-Strecke: Der Ausgang folgt sofort, $x = K_\text{S}\,y_0$ (etwa ein Spannungsteiler).
PT1-Strecke (Verzögerung erster Ordnung): Der Ausgang nähert sich dem Endwert $K_\text{S}\,y_0$ mit der Zeitkonstante $T$ , wie die Spannung beim Laden eines Kondensators. Nach $t = T$ sind etwa 63 % des Endwerts erreicht, nach $3T$ etwa 95 %.
I-Strecke: Der Ausgang wächst bei konstantem Eingang gleichmäßig, $x = K_\text{I}\,y_0\,t$ (Füllstand bei konstantem Zufluss). Sie stellt sich auf keinen festen Wert ein.

x(t) = K_\text{S}\,y_0\,\bigl(1 - \mathrm{e}^{-t/T}\bigr) \quad \text{(PT1-Strecke)}

Definition

I-Regler und PI-Regler

y(t) = K_\text{P}\,e(t) + K_\text{I}\int_0^t e(\tau)\,\mathrm{d}\tau

Definition

Simulation eines Regelkreises

Zeile	Einrückung	Anweisung
1	0	$\texttt{x = 0}$
2	0	$\texttt{wiederhole für jeden Zeitschritt}$
3	1	$\texttt{e = w - x}$
4	1	$\texttt{y = Kp * e}$
5	1	$\texttt{x = x + dt / T * (Ks * y - x)}$

Beispiel

Die ersten Schritte der Simulation

PT1-Strecke mit $K_\text{S} = 2$ und $T = 10\,\text{s}$ , P-Regler mit $K_\text{P} = 2$ , $w = 100$ , $\Delta t = 0{,}5\,\text{s}$ . Berechne die ersten drei Schritte.

Häufige Fehler

Der P-Regler erreicht den Sollwert

„Wenn ich lange genug warte, regelt der P-Regler genau auf den Sollwert.“

Häufige Fehler

Steuern und Regeln sind dasselbe

„Ein Backofen mit fester Heizleistung regelt die Temperatur.“

Eine Steuerung wirkt ohne Messung der Wirkung: Öffnest du die Tür, merkt sie es nicht. Beim Regeln wird die Regelgröße gemessen und zurückgeführt, der Regler gleicht Störungen aus.

Zusammenfassung

Ein Regelkreis misst die Regelgröße $x$ , bildet $e = w - x$ und stellt $y$ so, dass die Störgröße $z$ ausgeglichen wird. Das Blockdiagramm zeigt Regler, Stellglied, Strecke und Rückführung.
Ein Zweipunktregler schaltet ein und aus. Die Schaltdifferenz verhindert Dauerschalten, die Regelgröße pendelt um den Sollwert.
Ein P-Regler stellt $y = K_\text{P}\,e$ . An einer Strecke mit Ausgleich bleibt eine Regelabweichung $w/(1 + K_\text{S}K_\text{P})$ , die mit $K_\text{P}$ sinkt.
Leistungskurs: Die Sprungantwort kennzeichnet P-, PT1- und I-Strecke. Der I-Anteil beseitigt die Regelabweichung, der PI-Regler verbindet schnelle Reaktion mit genauem Ergebnis.
Leistungskurs: Eine Simulation rechnet den Kreis in Zeitschritten.