Ein Zahlbereich ist eine Gruppe von Zahlen, mit denen man rechnet, zum Beispiel die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$. In $\mathbb{N}$ geht das Addieren und das Malnehmen immer. Das Subtrahieren geht nicht immer: 5 − 8 hat kein Ergebnis. Darum hast du die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ kennengelernt, mit denen 5 − 8 = −3 geht.

Das Teilen geht in $\mathbb{N}$ auch nicht immer: 3 : 4 hat kein Ergebnis. Deshalb nimmt man neue Zahlen dazu. Das nennt man einen Zahlbereich erweitern. Die alten Zahlen bleiben dabei erhalten, und es kommen neue hinzu. Wenn du die natürlichen Zahlen um alle Ergebnisse von Teilungen erweiterst, bekommst du die Bruchzahlen.

Das Ergebnis von 3 : 4 schreibst du mit einem Bruchstrich: 3 steht oben, 4 steht unten, und du liest „drei Viertel“. Die obere Zahl heißt Zähler, die untere heißt Nenner. Der Nenner sagt, in wie viele gleiche Teile ein Ganzes geteilt wird. Der Zähler sagt, wie viele Teile du nimmst. Der Bruchstrich bedeutet „geteilt durch“. Der Nenner darf nie 0 sein, denn durch 0 kann man nicht teilen.

Zu den Bruchzahlen zählt man alle Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen. Die natürlichen Zahlen gehören dazu, denn $5 = \frac{5}{1}$ und $4 = \frac{8}{2}$. Alle Bruchzahlen zusammen schreibt man $\mathbb{Q}^{+}_{0}$. Das Q steht für Quotient, so heißt das Ergebnis einer Teilung. Das Plus bedeutet: nur positive Zahlen. Die kleine 0 bedeutet: Die Null gehört dazu.

Eine Menge ist eine Sammlung von Dingen, die man zusammen betrachtet. Die Dinge in der Menge heißen Elemente. Mengen schreibt man mit geschweiften Klammern. So ist $\{2, 4, 6\}$ die Menge mit den Elementen 2, 4 und 6. Auch $\mathbb{N}$ und $\mathbb{Z}$ sind Mengen.

Mit dem Zeichen $\in$ sagst du „ist Element von“. Mit $\notin$ sagst du „ist kein Element von“. Liegt jedes Element einer Menge A auch in einer Menge B, dann ist A eine Teilmenge von B. Du schreibst $A \subset B$. Ein Beispiel aus dem Alltag: Jedes Kind der Klasse 5a geht in die Schule. Die Klasse 5a ist eine Teilmenge aller Kinder der Schule.

Ein Mengendiagramm zeichnet jede Menge als Oval. Die Elemente liegen im Oval. Liegt ein Oval ganz in einem anderen, ist die Menge eine Teilmenge.

Bei unseren Zahlbereichen sieht das so aus: Das Oval für $\mathbb{N}$ liegt ganz im Oval für $\mathbb{Z}$, denn jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Es liegt auch ganz im Oval für die Bruchzahlen, denn jede natürliche Zahl lässt sich als Bruch schreiben. Die beiden größeren Ovale überdecken sich genau dort, wo $\mathbb{N}$ liegt. Die Zahl −3 liegt nur bei $\mathbb{Z}$, die Zahl $\frac{3}{4}$ nur bei den Bruchzahlen. Die ganzen Zahlen sind keine Teilmenge der Bruchzahlen, denn −3 ist keine Bruchzahl. Negative Brüche gibt es in dieser Lektion nicht.

Bei den natürlichen Zahlen hat jede Zahl einen Nachfolger. Nach 3 kommt 4, und dazwischen liegt nichts. Bei den Bruchzahlen gibt es das nicht. Zwischen zwei verschiedenen Bruchzahlen liegt immer noch eine weitere. Du findest sie, indem du den Abstand halbierst.

Zwischen 0 und 1 liegt $\frac{1}{2}$. Zwischen 0 und $\frac{1}{2}$ liegt $\frac{1}{4}$, die Hälfte von einem Halben. Zwischen 0 und $\frac{1}{4}$ liegt $\frac{1}{8}$. So geht es endlos weiter. Auch in eine ganz kleine Lücke passen immer noch neue Bruchzahlen. Man sagt: Die Bruchzahlen liegen auf der Zahlengerade dicht. Darum gibt es keine kleinste Bruchzahl über 0 und keine „nächste“ Bruchzahl nach der 0.