Lektion 3.4

Kürzen, Erweitern, Vergleichen und Ordnen von Brüchen

15 min Lesezeit

Annas Pizza ist in 4 Stücke geschnitten. Sie isst 2 Stücke. Bens Pizza ist genauso groß, aber nur in 2 Stücke geschnitten. Er isst 1 Stück. Wer hat mehr gegessen? Beide haben gleich viel gegessen, nämlich die Hälfte. Trotzdem sehen die Brüche $\frac{2}{4}$ und $\frac{1}{2}$ verschieden aus.

Nun isst Cem $\frac{3}{4}$ einer Pizza und Dana $\frac{5}{6}$ einer gleich großen Pizza. Wer hat mehr gegessen? Das siehst du den Brüchen nicht sofort an. In dieser Lektion lernst du, wie du einen Bruch umschreibst, ohne dass sich seine Größe ändert. Damit kannst du Brüche vergleichen, ordnen und auf der Zahlengerade einordnen.

Definition

Gleichwertige Brüche

Brüche, die dieselbe Größe haben, heißen gleichwertig. Du schreibst sie mit einem Gleichheitszeichen. Sie zeigen dieselbe Menge, nur mit einer feineren oder gröberen Einteilung. Teilst du einen Bruchstreifen in 2 Teile und einen gleich langen in 4 Teile, ist ein Halb genauso lang wie zwei Viertel. Auf dem Zahlenstrahl liegen gleichwertige Brüche am selben Punkt.

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}

Definition

Erweitern

Beim Erweitern teilst du jedes Teil in gleich viele kleinere Teile. Das Ganze hat dann mehr Teile, und du nimmst entsprechend mehr Teile. Das heißt: Du multiplizierst Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Teilst du bei $\frac{3}{4}$ jedes Viertel in 2 Teile, hast du statt 3 Vierteln 6 Achtel. Die Zahl, mit der du erweiterst, darf nicht 0 sein.

Beim Erweitern ändert sich nur die Einteilung. Die Größe des Bruchs bleibt gleich.

\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}

Definition

Kürzen

Das Kürzen ist das Gegenteil vom Erweitern. Du fasst Teile zu größeren Teilen zusammen. Das heißt: Du teilst Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Diese Zahl muss in beide Zahlen ohne Rest hineinpassen. Bei $\frac{6}{8}$ teilst du durch 2 und bekommst $\frac{3}{4}$ .

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner außer der 1 keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Das schaffst du in einem Schritt mit dem ggT, dem größten gemeinsamen Teiler. Er ist die größte Zahl, die in beide Zahlen ohne Rest hineinpasst. Du kannst auch in mehreren kleinen Schritten kürzen. Wenn beide Zahlen gerade sind, kannst du durch 2 kürzen. Enden beide auf 0 oder 5, geht es durch 5.

\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}

Beispiel

Erweitern

Erweitere $\frac{2}{3}$ mit 4. Erweitere $\frac{5}{6}$ so, dass der Nenner 24 ist.

\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} \qquad \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}

Bei der ersten Aufgabe multiplizierst du Zähler und Nenner mit 4. Bei der zweiten Aufgabe fragst du: Mit welcher Zahl wird aus 6 die 24? Es ist 24 : 6 = 4. Mit 4 musst du auch den Zähler multiplizieren: 5 · 4 = 20.

Beispiel

Kürzen

Kürze $\frac{12}{18}$ und $\frac{45}{60}$ vollständig.

\frac{12}{18} = \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3} \qquad \frac{45}{60} = \frac{45 : 15}{60 : 15} = \frac{3}{4}

Der ggT von 12 und 18 ist 6, denn 6 ist die größte Zahl, die in beide hineinpasst. Mit 6 kürzt du in einem Schritt. Bei $\frac{45}{60}$ ist der ggT 15. Siehst du ihn nicht sofort, kürzt du in Schritten: erst durch 5 zu $\frac{9}{12}$ , dann durch 3 zu $\frac{3}{4}$ .

Definition

Brüche vergleichen und der Hauptnenner

Du vergleichst Brüche mit den Zeichen $<$ , $>$ und $=$ . Es gibt drei Fälle:

Gleicher Nenner: Die Teile sind gleich groß. Der Bruch mit dem größeren Zähler ist größer. Es gilt $\frac{3}{8} < \frac{5}{8}$ .
Gleicher Zähler: Du nimmst gleich viele Teile, aber die Teile sind verschieden groß. Je größer der Nenner, desto kleiner sind die Teile. Es gilt $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$ , denn ein Drittel einer Pizza ist ein größeres Stück als ein Fünftel.
Alles verschieden: Du machst die Brüche gleichnamig. Das heißt: Du erweiterst beide so, dass sie denselben Nenner haben. Danach vergleichst du die Zähler.

Der kleinste mögliche gemeinsame Nenner heißt Hauptnenner. Er ist das kgV der Nenner, das kleinste gemeinsame Vielfache. Das ist die kleinste Zahl, die in beiden Einmaleinsreihen vorkommt. So findest du ihn: Schreibe die Vielfachen des größeren Nenners auf, bis eine Zahl auch in der Reihe des kleineren Nenners steht. Bei 4 und 6 sind es 6, 12. Die 12 steht in der 4er-Reihe, also ist 12 der Hauptnenner.

Beispiel

Brüche vergleichen

Vergleiche a) $\frac{4}{9}$ und $\frac{7}{9}$ , b) $\frac{2}{5}$ und $\frac{2}{7}$ , c) $\frac{3}{4}$ und $\frac{5}{6}$ . Wer hat in der Einleitung mehr gegessen, Cem oder Dana?

\frac{4}{9} < \frac{7}{9} \qquad \frac{2}{5} > \frac{2}{7} \qquad \frac{3}{4} = \frac{9}{12} < \frac{10}{12} = \frac{5}{6}

a) Der Nenner ist gleich, 4 ist kleiner als 7. b) Der Zähler ist gleich. Fünftel sind größere Teile als Siebtel, also ist $\frac{2}{5}$ größer. c) Der Hauptnenner von 4 und 6 ist 12. Du erweiterst $\frac{3}{4}$ mit 3 zu $\frac{9}{12}$ und $\frac{5}{6}$ mit 2 zu $\frac{10}{12}$ . Weil 9 kleiner als 10 ist, gilt $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ . Dana hat also mehr gegessen als Cem.

Definition

Ordnen und Einordnen auf der Zahlengerade

Willst du mehrere Brüche der Größe nach ordnen, bringst du alle auf denselben Nenner, den Hauptnenner aller Nenner. Danach sortierst du nach den Zählern.

Für die Zahlengerade wählst du die Einteilung passend zum Hauptnenner. Soll der Hauptnenner 12 sein, teilst du die Strecke von 0 bis 1 in 12 gleiche Teile. Jeder Bruch mit dem Nenner 12 liegt am Strich, dessen Nummer der Zähler ist. Bei einem Bruch größer als 1 zählst du hinter der 1 mit denselben Teilen weiter.

Beispiel

Ordnen und einordnen

Ordne $\frac{2}{3}$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{1}{2}$ und $\frac{5}{6}$ der Größe nach, den kleinsten zuerst. Die Strecke von 0 bis 1 ist 12 cm lang. Wo liegt jeder Bruch? Wo liegt $1\frac{1}{6}$ ?

\frac{1}{2} = \frac{6}{12} < \frac{2}{3} = \frac{8}{12} < \frac{3}{4} = \frac{9}{12} < \frac{5}{6} = \frac{10}{12}

Der Hauptnenner von 3, 4, 2 und 6 ist 12. Aus $\frac{2}{3}$ wird $\frac{8}{12}$ , aus $\frac{3}{4}$ wird $\frac{9}{12}$ , aus $\frac{1}{2}$ wird $\frac{6}{12}$ und aus $\frac{5}{6}$ wird $\frac{10}{12}$ . Nach den Zählern 6, 8, 9, 10 ergibt sich die Reihenfolge oben. Jedes Zwölftel ist 1 cm lang. Die Brüche liegen bei 6 cm, 8 cm, 9 cm und 10 cm. Die gemischte Zahl $1\frac{1}{6}$ ist ein Ganzes und noch ein Sechstel. Das Ganze sind 12 cm, ein Sechstel sind 2 cm. Sie liegt also bei 14 cm.

Häufige Fehler

Addieren statt Multiplizieren

Jemand erweitert $\frac{1}{2}$ mit 2 so: $\frac{1 + 2}{2 + 2} = \frac{3}{4}$ .

Richtig ist

Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Richtig ist $\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$ . Der Bruch $\frac{3}{4}$ ist größer als ein Halbes, denn er ist ein Halbes plus noch ein Viertel.

Häufige Fehler

Nur auf eine Zahl schauen

Jemand sagt: „ $\frac{1}{8}$ ist größer als $\frac{1}{5}$ , denn 8 ist größer als 5.“

Richtig ist

Bei gleichem Zähler sind die Teile umso kleiner, je größer der Nenner ist. Ein Achtel einer Pizza ist ein kleineres Stück als ein Fünftel. Richtig ist $\frac{1}{8} < \frac{1}{5}$ . Sind Zähler und Nenner verschieden, machst du die Brüche zuerst gleichnamig.

Häufige Fehler

Nur den Zähler kürzen

Jemand kürzt $\frac{6}{8}$ zu $\frac{3}{8}$ , weil beide Zahlen gerade sind.

Richtig ist

Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Richtig ist $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ . Das Ergebnis $\frac{3}{8}$ ist nur halb so groß wie $\frac{6}{8}$ .

Zusammenfassung

Gleichwertige Brüche haben dieselbe Größe, zum Beispiel $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ . Sie liegen am selben Punkt der Zahlengerade.
Erweitern heißt: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Kürzen heißt: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen. Die Größe des Bruchs ändert sich nicht.
Mit dem ggT kürzt du in einem Schritt vollständig. Danach haben Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer der 1.
Bei gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer. Bei gleichem Zähler ist der Bruch mit dem größeren Nenner kleiner.
Bei verschiedenen Zählern und Nennern machst du die Brüche gleichnamig. Der Hauptnenner ist das kgV der Nenner.
Zum Ordnen und Einordnen auf der Zahlengerade nutzt du den Hauptnenner als Einteilung der Strecke von 0 bis 1.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Der Bruch $\frac{3}{5}$ wird zu $\frac{12}{20}$ erweitert. Mit welcher Zahl wurde erweitert?

Aufgabe 2Numerisch

Kürze $\frac{24}{36}$ vollständig. Welche Zahl steht im Nenner des gekürzten Bruchs?

Aufgabe 3Multiple Choice

Welcher dieser Brüche ist der größte?

Aufgabe 4Multiple Choice

Welche Aussage ist richtig?

Aufgabe 5Numerisch

Wie groß ist der Hauptnenner von $\frac{1}{6}$ und $\frac{3}{8}$ ?

Aufgabe 6Freitext

Ordne $\frac{3}{5}$ , $\frac{1}{2}$ und $\frac{7}{10}$ der Größe nach, den kleinsten zuerst. Schreibe deinen Rechenweg auf.