Ganze Zahlen: Einführung
Heute früh zeigt das Thermometer vor dem Fenster 3 Grad unter null. Wie schreibst du das auf? Auf dem Thermometer steht ein Minuszeichen vor der Zahl: −3 °C. Mit den Zahlen 0, 1, 2, 3 und so weiter geht das nicht, denn −3 gehört nicht dazu.
Solche Zahlen kommen im Alltag öfter vor. Du hast 5 Euro und willst ein Eis für 8 Euro kaufen. Dir fehlen 3 Euro. Wenn du sie dir leihst, schuldest du jemandem 3 Euro. Die Aufgabe 5 − 8 hat mit den natürlichen Zahlen kein Ergebnis.
In dieser Lektion lernst du neue Zahlen kennen, mit denen so etwas geht. Du lernst, wie du sie ordnest und wie du in Alltagsaufgaben mit ihnen addierst und subtrahierst.
Negative Zahlen, Vorzeichen und ganze Zahlen
Zahlen, die kleiner als null sind, heißen negative Zahlen. Vor ihnen steht ein Minuszeichen, zum Beispiel −3. Du sprichst es „minus drei“. Zahlen, die größer als null sind, heißen positive Zahlen, zum Beispiel 3 oder 12. Die Null ist weder positiv noch negativ.
Das Zeichen vor einer Zahl heißt Vorzeichen. Bei −3 ist das Vorzeichen ein Minus. Bei +3 ist es ein Plus. Ein Plus als Vorzeichen lässt man meistens weg und schreibt einfach 3. Achte beim Rechnen auf den Unterschied: In 5 − 3 ist das Minus ein Rechenzeichen. In −3 ist es ein Vorzeichen.
Die natürlichen Zahlen zusammen mit den negativen Zahlen heißen ganze Zahlen. Alle ganzen Zahlen zusammen schreibt man kurz . Die drei Punkte in der Liste bedeuten: Es geht immer weiter, nach rechts und nach links.
Zahlengerade und Ordnen
Auf dem Zahlenstrahl steht die 0 ganz links. Für die negativen Zahlen verlängerst du ihn nach links. Dann hat er auf beiden Seiten einen Pfeil und heißt Zahlengerade. Die 0 liegt in der Mitte. Rechts davon stehen die positiven Zahlen, links die negativen. Alle Abstände zwischen zwei ganzen Zahlen, die nebeneinander stehen, sind gleich groß. Ein senkrecht gehaltenes Thermometer ist eine Zahlengerade.
Je weiter rechts eine Zahl steht, desto größer ist sie. Je weiter links, desto kleiner. Darum ist −2 größer als −5, denn −2 liegt rechts von −5. Am Thermometer heißt das: −2 °C ist wärmer als −5 °C. Du schreibst für „größer als“ und für „kleiner als“.
Zahlen ordnen
Zahlen ordnen
Ordne die Zahlen von der kleinsten zur größten: 4, −7, 0, −2, 6, −10.
Negative Zahlen liegen links von der 0. Sie sind also kleiner als 0, 4 und 6. Unter den negativen Zahlen liegt −10 am weitesten links, dann kommen −7 und −2. Bei negativen Zahlen ist die Zahl kleiner, die ohne Minuszeichen größer ist. Denk ans Thermometer: −10 °C ist kälter als −2 °C.
Betrag
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von der 0 auf der Zahlengerade. Du schreibst ihn zwischen zwei senkrechte Striche.
Die Zahl −4 ist vier Schritte von der 0 entfernt. Ihr Betrag ist 4. Auch die Zahl 4 ist vier Schritte von der 0 entfernt. Ihr Betrag ist ebenfalls 4. Ein Abstand ist nie negativ, darum ist auch ein Betrag nie negativ. Der Betrag von 0 ist 0. Beim Betrag lässt du also das Vorzeichen weg. Zwei Zahlen mit gleichem Betrag liegen gleich weit von der 0 entfernt, aber auf verschiedenen Seiten.
Betrag und Abstand
Betrag und Abstand
a) Gib die Beträge von −9, 5 und −1 an.
b) Welche Zahlen haben den Betrag 6?
c) Wie groß ist der Temperaturunterschied zwischen −6 °C und 4 °C?
a) Du lässt das Vorzeichen weg. b) Zwei Zahlen sind sechs Schritte von der 0 entfernt: eine rechts, eine links. c) Von −6 bis zur 0 sind es 6 Grad. Von der 0 bis 4 sind es noch 4 Grad. Zusammen sind das 10 Grad. Liegen zwei Zahlen auf verschiedenen Seiten der 0, addierst du ihre Beträge.
Addieren und Subtrahieren in Sachaufgaben
Auf der Zahlengerade kannst du eine Rechnung als Schritte lesen. Du startest bei der ersten Zahl. Dazuzählen heißt nach rechts gehen. Abziehen heißt nach links gehen. Dort, wo du ankommst, steht das Ergebnis.
Das passt zu Alltagsaufgaben. Bei der Temperatur heißt „wärmer“ nach rechts und „kälter“ nach links. Beim Geld ist Guthaben das Geld, das du hast. Es zählt positiv. Schulden sind Geld, das du jemandem schuldest. Sie zählen negativ. Zahlst du Geld ein, gehst du nach rechts. Gibst du Geld aus, gehst du nach links. Der Kontostand sagt, wie viel Geld auf einem Konto ist. Er ist Guthaben oder Schulden, je nachdem, auf welcher Seite der 0 du stehst.
Temperatur
Temperatur
Am Morgen sind es −4 °C. Bis zum Mittag wird es 9 Grad wärmer. Bis zum Abend wird es dann 7 Grad kälter. Welche Temperatur ist am Abend?
Du startest bei −4 und gehst 9 Schritte nach rechts. Die ersten 4 Schritte bringen dich zur 0. Dann bleiben noch 5 Schritte. Du landest bei 5, am Mittag sind es also 5 °C. Am Abend gehst du 7 Schritte nach links. Die ersten 5 Schritte bringen dich zur 0. Dann bleiben noch 2 Schritte. Du landest bei −2. Am Abend sind es −2 °C.
Kontostand
Kontostand
Mia hat 20 Euro auf ihrem Konto. Sie kauft ein Buch für 35 Euro. Danach zahlt ihre Oma 10 Euro ein. Zuletzt kauft Mia für 4 Euro Süßigkeiten. Wie steht ihr Konto am Ende?
Von 20 gehst du 35 Schritte nach links. 20 Schritte bringen dich zur 0, dann gehst du noch 15 weiter nach −15. Mia hat jetzt 15 Euro Schulden. Dann gehst du 10 Schritte nach rechts. Das ergibt −5. Zuletzt geht es 4 Schritte nach links. Das ergibt −9. Beachte −5 − 4: Das erste Minus ist ein Vorzeichen, das zweite ein Rechenzeichen. Am Ende stehen auf Mias Konto −9 Euro. Sie hat 9 Euro Schulden.
Zahlen ohne Vorzeichen vergleichen
Zahlen ohne Vorzeichen vergleichen
Jemand sagt: „−2 ist kleiner als −5, denn 2 ist kleiner als 5.“
Auf der Zahlengerade liegt −2 rechts von −5. Also gilt . Bei negativen Zahlen ist die Zahl mit dem kleineren Betrag die größere. Am Thermometer ist −2 °C wärmer als −5 °C.
Betrag mit Vorzeichen
Betrag mit Vorzeichen
Jemand schreibt .
Der Betrag ist ein Abstand und nie negativ. Richtig ist . Das Vorzeichen fällt weg.
Immer die kleinere von der größeren Zahl abziehen
Immer die kleinere von der größeren Zahl abziehen
Jemand rechnet , weil 4 − 3 = 1 ist.
Du startest bei −3 und gehst 4 Schritte nach links. Das ergibt . Denk an Schulden: Du hast schon 3 Euro Schulden und gibst noch 4 Euro aus. Dann sind es 7 Euro Schulden.
Zusammenfassung
Negative Zahlen sind kleiner als 0 und haben ein Minus als Vorzeichen. Positive Zahlen sind größer als 0. Die 0 ist keins von beiden.
Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen und den negativen Zahlen.
Auf der Zahlengerade steht die 0 in der Mitte. Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie.
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von der 0. Er ist nie negativ: .
Dazuzählen heißt nach rechts gehen, abziehen heißt nach links gehen.
Guthaben und Temperaturen über null sind positiv. Schulden und Temperaturen unter null sind negativ.
Übungen
Welche Aussage ist richtig?
Am Morgen zeigt das Thermometer −8 °C. Bis zum Nachmittag wird es 11 Grad wärmer. Wie viel Grad zeigt das Thermometer dann?
Auf einem Berg sind es −7 °C, im Tal sind es 5 °C. Wie viel Grad ist es im Tal wärmer?
Zwei verschiedene Zahlen haben denselben Betrag. Welches Paar ist es?
Jonas hat 12 Euro Schulden. Er bekommt 30 Euro Geburtstagsgeld und zahlt sie ein. Danach kauft er ein Spiel für 25 Euro und bezahlt vom Konto. Wie viele Euro Schulden hat er am Ende?
Ein Taucher ist 6 Meter unter der Wasseroberfläche. Er taucht noch 4 Meter tiefer und steigt dann 9 Meter nach oben. Die Wasseroberfläche ist die 0. Schreibe beide Rechnungen auf und sage, wo der Taucher am Ende ist.