Netze, Schrägbilder und Ansichten von Quader und Würfel
Du schneidest eine leere Müslipackung vorsichtig an den Klebekanten auf und legst sie flach auf den Tisch. Aus dem Körper ist ein flaches Stück Pappe geworden. In der Fabrik wird eine Packung genau so hergestellt: Erst schneidet eine Maschine das flache Stück aus, dann faltet sie es zur Packung.
Zwei weitere Aufgaben kommen dazu. Du willst einer Freundin zeigen, wie dein Schuhkarton aussieht, hast aber nur ein Blatt Papier. Wie zeichnest du ihn so, dass er räumlich wirkt? Und ein Schreiner will wissen, wie ein Schrank von vorn und von oben aussieht. Welche Zeichnungen helfen ihm?
In dieser Lektion lernst du drei Möglichkeiten, einen Quader oder Würfel auf Papier darzustellen: Netz, Schrägbild und Ansichten.
Länge, Breite und Höhe
Ein Quader hat drei Maße. Die Länge reicht von links nach rechts, die Breite von vorn nach hinten und die Höhe von unten nach oben.
Wir schreiben die Maße so: 5 cm × 3 cm × 2 cm. Das Zeichen × liest du „mal“. Zuerst steht die Länge, dann die Breite, dann die Höhe.
Netz
Ein Netz entsteht, wenn du einen Körper entlang einiger Kanten aufschneidest und flach hinlegst. Alle Flächen bleiben in einem Stück verbunden und behalten ihre wahre Größe. Umgekehrt faltest du ein ausgeschnittenes Netz an den Kanten zum Körper.
Dafür müssen zwei Dinge stimmen. Die Flächen hängen mit ganzen Kanten aneinander, nicht nur an einer Ecke. Und beim Falten liegen nie zwei Flächen aufeinander, sonst fehlt anderswo eine Fläche.
Das Netz eines Quaders
Das Netz eines Quaders
Ein Quader ist 4 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch. Wie sieht sein Netz aus? Die sechs Rechtecke haben diese Maße:
| Fläche | Maße | Anzahl |
|---|---|---|
| Boden und Deckel | Länge × Breite = 4 cm × 3 cm | 2 |
| Vorderseite und Rückseite | Länge × Höhe = 4 cm × 2 cm | 2 |
| linke und rechte Seite | Breite × Höhe = 3 cm × 2 cm | 2 |
Du zeichnest zuerst den Boden: ein Rechteck, 4 cm breit und 3 cm hoch. Über den Boden kommt die Rückseite (4 cm breit, 2 cm hoch), unter den Boden die Vorderseite mit denselben Maßen. Links und rechts vom Boden kommen die beiden Seiten (je 2 cm breit und 3 cm hoch). Ganz oben, über der Rückseite, folgt der Deckel (4 cm × 3 cm).
Das Netz sieht aus wie ein Kreuz. Es ist 2 + 4 + 2 = 8 cm breit und 3 + 2 + 3 + 2 = 10 cm hoch. Beim Falten stehen alle Seitenflächen am Boden senkrecht nach oben, und der Deckel klappt von oben darüber.
Würfelnetz
Das Netz eines Würfels besteht aus sechs gleich großen Quadraten. Es gibt genau elf verschiedene Würfelnetze. Ein gedrehtes oder umgeklapptes Netz zählt dabei nicht als neues. Zwei Regeln helfen dir beim Prüfen:
- Vier Quadrate in einer Reihe, dazu ein Quadrat darüber und ein Quadrat darunter, jeweils an einer beliebigen Stelle: Das ist immer ein Würfelnetz. Es sind sechs der elf Netze.
- Wenn du eine Reihe aus Quadraten faltest, liegen das erste und das dritte Quadrat einander gegenüber. Auch das zweite und das vierte liegen einander gegenüber.
Gegenüberliegende Flächen im Würfelnetz
Gegenüberliegende Flächen im Würfelnetz
Das Raster zeigt das Netz eines Spielwürfels. Jede Zahl steht in einem Quadrat des Netzes und ist die Augenzahl. Welche Zahl liegt beim fertigen Würfel gegenüber der 1? Welche liegt gegenüber der 3?
| Zeile | Spalte 1 | Spalte 2 | Spalte 3 | Spalte 4 |
|---|---|---|---|---|
| oben | 3 | |||
| Mitte | 1 | 2 | 6 | 5 |
| unten | 4 |
In der mittleren Zeile liegen vier Quadrate in einer Reihe: 1, 2, 6 und 5. Beim Falten bilden sie einen Ring um den Würfel. Das erste und das dritte Quadrat liegen einander gegenüber, also liegt die 6 gegenüber der 1. Genauso liegt die 5 gegenüber der 2. Die 3 ist Deckel und die 4 ist Boden, also liegt die 4 gegenüber der 3. Probe: Es gilt 1 + 6 = 7, 2 + 5 = 7 und 3 + 4 = 7. Bei einem echten Spielwürfel ergeben gegenüberliegende Augenzahlen immer 7.
Schrägbild
Ein Schrägbild zeigt einen Körper auf dem Papier so, dass er räumlich wirkt. Beim Quader gelten diese Regeln:
- Die Vorderseite ist ein Rechteck in wahrer Größe mit Länge und Höhe.
- Die Kanten nach hinten laufen schräg unter 45° nach rechts oben. Auf kariertem Papier ist das die Diagonale eines Kästchens.
- Diese Kanten zeichnest du nur halb so lang, wie sie wirklich sind. Sonst sähe der Körper zu tief aus.
- Kanten, die verdeckt sind, zeichnest du gestrichelt.
Ein Schrägbild zeichnen
Ein Schrägbild zeichnen
Zeichne das Schrägbild eines Quaders, der 5 cm lang, 4 cm breit und 3 cm hoch ist.
Die Breite läuft nach hinten. Sie ist 4 cm, im Bild zeichnest du die Hälfte, also 2 cm.
Schritt 1: Zeichne die Vorderseite als Rechteck, 5 cm lang und 3 cm hoch.
Schritt 2: Zeichne von jeder der vier Ecken eine Linie, 2 cm lang, unter 45° nach rechts oben.
Schritt 3: Verbinde die vier Endpunkte der Linien. Die hintere Fläche ist wieder ein Rechteck, 5 cm × 3 cm, nur nach oben rechts verschoben.
Schritt 4: Drei Kanten wären verdeckt. Sie treffen sich an der Ecke hinten links unten. Zeichne sie gestrichelt.
Aufriss, Grundriss und Seitenriss
Eine Ansicht zeigt den Körper so, wie du ihn von einer Seite genau anschaust. Du siehst dabei nur eine Fläche, aber in wahrer Größe. Es gibt drei wichtige Ansichten:
- Der Aufriss ist die Ansicht von vorn.
- Der Grundriss ist die Ansicht von oben.
- Der Seitenriss ist die Ansicht von der Seite.
Für einen Quader, der 5 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch ist, sehen sie so aus:
| Ansicht | Blick | Form | Maße |
|---|---|---|---|
| Aufriss | von vorn | Rechteck | 5 cm × 2 cm (Länge × Höhe) |
| Grundriss | von oben | Rechteck | 5 cm × 3 cm (Länge × Breite) |
| Seitenriss | von der Seite | Rechteck | 3 cm × 2 cm (Breite × Höhe) |
Eine Ansicht allein verrät nicht alle drei Maße. Aufriss und Grundriss zusammen schon.
Ansichten eines Schuhkartons
Ansichten eines Schuhkartons
Ein Schuhkarton ist 30 cm lang, 20 cm breit und 12 cm hoch. Er liegt auf dem Tisch. Welche Maße haben Aufriss und Grundriss? Was ändert sich, wenn du ihn aufstellst, sodass er 30 cm hoch, 20 cm lang und 12 cm breit ist?
Liegend zeigt der Aufriss Länge und Höhe: ein Rechteck von 30 cm × 12 cm. Der Grundriss zeigt Länge und Breite: 30 cm × 20 cm.
Stehend ist der Aufriss 20 cm × 30 cm groß und der Grundriss 20 cm × 12 cm. Es ist derselbe Karton, aber die Ansichten sehen anders aus. Es kommt darauf an, wie der Körper steht.
Netz, Schrägbild und Ansicht im Vergleich
Alle Darstellungen zeigen denselben Körper. Sie betonen aber Verschiedenes:
| Darstellung | Was sie zeigt | Wofür du sie brauchst |
|---|---|---|
| Modell | den ganzen Körper zum Anfassen | prüfen und ausprobieren |
| Netz | alle sechs Flächen flach, in wahrer Größe | den Körper basteln und Material berechnen |
| Schrägbild | den ganzen Körper räumlich, die Vorderseite in wahrer Größe | das Aussehen zeigen |
| Aufriss, Grundriss, Seitenriss | je eine Fläche in wahrer Größe | Maße genau ablesen |
Aus einem Netz entsteht das Modell durch Falten. Das Schrägbild zeigt dieses Modell. Die Ansichten sind genau die Rechtecke, die du auch im Netz findest.
Sechs Quadrate in einer Reihe
Sechs Quadrate in einer Reihe
Jemand zeichnet sechs Quadrate in einer langen Reihe und sagt: „Das ist ein Würfelnetz, denn es sind sechs Quadrate.“
Vier Quadrate in einer Reihe bilden schon einen Ring um den Würfel. Das fünfte läge auf dem ersten, das sechste auf dem zweiten, und oben und unten fehlen die Flächen. Stell dir beim Prüfen immer das Falten vor: Jede der sechs Flächen muss genau einmal vorkommen.
Die Tiefe im Schrägbild nicht halbiert
Die Tiefe im Schrägbild nicht halbiert
Jemand zeichnet im Schrägbild eines 4 cm breiten Quaders die Kanten nach hinten 4 cm lang.
Die Kanten nach hinten werden halbiert, hier auf 2 cm. Sonst wirkt der Körper zu tief. Länge und Höhe der Vorderseite kürzt du nicht.
Zusammenfassung
Länge geht von links nach rechts, Breite von vorn nach hinten, Höhe von unten nach oben.
Ein Netz ist ein aufgeschnittener, flach hingelegter Körper. Das Netz eines Quaders besteht aus sechs Rechtecken, je zwei sind gleich.
Ein Würfelnetz besteht aus sechs Quadraten. Es gibt elf verschiedene. In einer Reihe liegen das erste und das dritte Quadrat einander gegenüber.
Im Schrägbild des Quaders ist die Vorderseite in wahrer Größe, die Kanten nach hinten laufen unter 45° und sind nur halb so lang. Verdeckte Kanten sind gestrichelt.
Der Aufriss ist der Blick von vorn, der Grundriss der Blick von oben, der Seitenriss der Blick von der Seite. Jede Ansicht zeigt eine Fläche in wahrer Größe.
Netz, Schrägbild und Ansichten gehören zum selben Körper und haben dieselben Maße.
Übungen
Welcher dieser Vorschläge ist kein Würfelnetz?
Ein Quader ist 6 cm lang, 5 cm breit und 3 cm hoch. Du zeichnest sein Schrägbild. Wie viele Zentimeter lang zeichnest du die Kanten, die nach hinten laufen?
Ein Aquarium ist 60 cm lang, 30 cm breit und 40 cm hoch. Welche Maße hat sein Aufriss?
Das Raster zeigt das Netz eines Spielwürfels. Welche Zahl liegt beim gefalteten Würfel gegenüber der 4?
| Zeile | Spalte 1 | Spalte 2 | Spalte 3 | Spalte 4 |
|---|---|---|---|---|
| oben | 2 | |||
| Mitte | 3 | 1 | 4 | 6 |
| unten | 5 |
Ein Quader ist 6 cm lang, 6 cm breit und 2 cm hoch. Wie viele der sechs Flächen im Netz sind Quadrate?