Oberflächeninhalt und Volumen von Quader und Würfel
Du willst ein Geschenk einpacken. Es steckt in einer Schachtel, die 20 cm lang, 10 cm breit und 5 cm hoch ist. Du fragst dich zwei Dinge. Wie viel Geschenkpapier brauchst du, um die ganze Schachtel zu bedecken? Und wie viel passt in die Schachtel hinein, zum Beispiel an Sand oder Wasser?
Die erste Frage betrifft die Außenhaut der Schachtel. Die zweite fragt nach dem Platz im Inneren. Dazu kommt eine dritte Frage, die oft damit verwechselt wird: Wie schwer ist die Schachtel mit ihrem Inhalt? In dieser Lektion lernst du, die drei Fragen auseinanderzuhalten und die ersten beiden auszurechnen.
Oberflächeninhalt
Die Außenhaut eines Körpers besteht aus Flächen. Der Oberflächeninhalt ist die Summe der Flächeninhalte aller Begrenzungsflächen. Er ist eine Fläche, deshalb hat er Einheiten wie cm² oder m². Wir schreiben dafür.
Am Netz siehst du alle Flächen auf einmal. Ein Quader hat die Länge , die Breite und die Höhe . Sein Netz besteht aus sechs Rechtecken, je zwei sind gleich. Boden und Deckel haben , Vorderseite und Rückseite haben , die beiden Seiten haben . Du rechnest jede der drei Flächen, verdoppelst sie und addierst. Beim Würfel mit der Kantenlänge sind alle sechs Flächen Quadrate mit dem Flächeninhalt .
Geschenkpapier für die Schachtel
Geschenkpapier für die Schachtel
Eine Schachtel ist 20 cm lang, 10 cm breit und 5 cm hoch. Wie viel Papier brauchst du mindestens, um sie ganz zu bedecken? Berechne außerdem den Oberflächeninhalt eines Würfels mit 5 cm Kantenlänge.
Stell dir das Netz der Schachtel vor. Es hat drei Paare von Flächen. Boden und Deckel: 20 · 10 = 200 cm² je Fläche, zusammen 400 cm². Vorderseite und Rückseite: 20 · 5 = 100 cm² je Fläche, zusammen 200 cm². Die beiden Seiten: 10 · 5 = 50 cm² je Fläche, zusammen 100 cm². Die Summe ist 700 cm². Du brauchst also mindestens 700 cm² Papier. Beim Würfel ist eine Fläche 5 · 5 = 25 cm² groß. Sechs Flächen ergeben 150 cm².
Volumen
Das Volumen eines Körpers sagt, wie viel Raum er ausfüllt. Du kannst auch Rauminhalt dazu sagen. Die Einheit ist ein Würfel mit der Kantenlänge 1 cm. Er hat das Volumen 1 cm³, gelesen „ein Kubikzentimeter“. Das Volumen sagt, wie viele solche Einheitswürfel in den Körper passen.
So misst du einen Quader, der 4 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch ist: Auf den Boden legst du eine Reihe aus 4 Würfeln. Drei solche Reihen füllen den Boden: 3 · 4 = 12 Würfel. Das ist eine Schicht, sie ist 1 cm hoch. Du brauchst 2 Schichten: 2 · 12 = 24 Würfel. Das Volumen ist 24 cm³.
Du musst die Würfel nicht legen. Länge mal Breite gibt die Würfel in einer Schicht an. Die Höhe gibt die Zahl der Schichten an. Beim Würfel sind alle drei Maße gleich. Für schreibst du kurz , gelesen „a hoch drei“. Wir schreiben für das Volumen.
Volumen und Masse
Volumen und Masse sind verschiedene Größen. Das Volumen sagt, wie viel Platz ein Körper braucht. Die Masse sagt, wie schwer er ist. Zwei Körper mit gleichem Volumen können verschieden schwer sein. Ein Eisenwürfel ist viel schwerer als ein gleich großer Würfel aus Holz.
| Größe | Frage | Einheiten | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Oberflächeninhalt | Wie groß ist die Außenhaut? | cm², m² | Geschenkpapier |
| Volumen | Wie viel Platz ist drin? | cm³, dm³, m³, l, ml | Wasser im Aquarium |
| Masse | Wie schwer ist es? | g, kg, t | Wiegen auf der Waage |
Für das Volumen gilt: 1 dm³ ist 1 Liter, 1 cm³ ist 1 Milliliter und 1 m³ sind 1000 Liter. Nur bei Wasser kommt hinzu: 1 Liter Wasser wiegt 1 kg.
Wasser im Aquarium
Wasser im Aquarium
Ein Aquarium ist 6 dm lang, 3 dm breit und 4 dm hoch. Wie viel Wasser passt hinein, wenn es ganz gefüllt wird? Welche Masse hat das Wasser?
Du rechnest Länge mal Breite mal Höhe. Zuerst 6 · 3 = 18: So viele Würfel mit 1 dm Kantenlänge passen in die unterste Schicht. Dann 18 · 4 = 72, denn es gibt 4 Schichten. Das Volumen ist 72 dm³. Weil 1 dm³ genau 1 Liter ist, passen 72 Liter hinein. Bei Wasser wiegt 1 Liter genau 1 kg. Das Wasser hat also die Masse 72 kg. Mit Sand gefüllt, hätte dasselbe Aquarium eine andere Masse.
Zusammengesetzte Körper
Manche Körper bestehen aus mehreren Quadern, zum Beispiel ein Block mit einem Aufsatz. Für das Volumen gehst du wie bei zusammengesetzten Figuren vor. Du zerlegst den Körper in Quader und addierst ihre Volumina. Oder du ergänzt ihn zu einem großen Quader und ziehst das fehlende Stück ab.
Beim Oberflächeninhalt musst du aufpassen. Du darfst die Oberflächen der Teile nicht einfach addieren. Wo zwei Teile aneinanderliegen, ist die Fläche nicht mehr außen. Sie fällt bei beiden Teilen weg.
Ein Block mit Würfel
Ein Block mit Würfel
Unten liegt ein Quader, 8 cm lang, 4 cm breit und 2 cm hoch. Auf seiner Oberseite steht ein Würfel mit 4 cm Kantenlänge. Berechne das Volumen und den Oberflächeninhalt des ganzen Körpers.
Das Volumen ist die Summe der beiden Teile: 64 cm³ + 64 cm³ = 128 cm³. Beim Oberflächeninhalt rechnest du zuerst beide Teile einzeln: 112 cm² und 96 cm². Zusammen wären das 208 cm². Aber der Würfel steht mit einer Fläche von 4 · 4 = 16 cm² auf dem Quader. Diese 16 cm² liegen beim Quader nicht mehr außen, und beim Würfel auch nicht. Du ziehst sie deshalb zweimal ab: 208 − 32 = 176 cm².
Fläche und Raum verwechseln
Fläche und Raum verwechseln
Jemand berechnet das Volumen der Schachtel (20 cm, 10 cm, 5 cm) so: cm³.
Das ist der Oberflächeninhalt, und er gehört in cm². Das Volumen ist cm³. Merke dir: Eine Fläche misst du in Quadratzentimetern (cm²), einen Raum in Kubikzentimetern (cm³).
Ein Liter wiegt nicht immer ein Kilogramm
Ein Liter wiegt nicht immer ein Kilogramm
Jemand sagt: „In den Eimer passen 10 Liter Sand, also wiegt der Sand 10 kg.“
Das Volumen sagt nicht, wie schwer ein Stoff ist. Nur bei Wasser wiegt 1 Liter genau 1 kg. Ein Liter Sand wiegt mehr als ein Kilogramm. Volumen und Masse sind verschiedene Größen.
Klebeflächen mitzählen
Klebeflächen mitzählen
Jemand klebt zwei Quader aneinander und addiert ihre Oberflächeninhalte. Das soll der Oberflächeninhalt des neuen Körpers sein.
Die Fläche, an der die Quader aneinanderkleben, liegt nicht mehr außen. Sie fehlt bei beiden Teilen. Du musst sie zweimal abziehen. Beim Volumen darfst du dagegen einfach addieren, denn der Platz im Inneren bleibt gleich.
Zusammenfassung
Der Oberflächeninhalt ist die Summe der Flächeninhalte aller Flächen. Am Netz des Quaders rechnest du . Beim Würfel gilt .
Das Volumen sagt, wie viele Einheitswürfel in den Körper passen. Beim Quader gilt , beim Würfel .
Der Oberflächeninhalt hat Einheiten wie cm² und m². Das Volumen hat Einheiten wie cm³, dm³, m³ und Liter.
Es gilt 1 dm³ = 1 Liter, 1 cm³ = 1 Milliliter und 1 m³ = 1000 Liter.
Volumen und Masse sind verschieden. Nur bei Wasser wiegt 1 Liter genau 1 kg.
Bei zusammengesetzten Körpern addierst du die Volumina. Beim Oberflächeninhalt musst du die aneinanderliegenden Flächen bei beiden Teilen abziehen.
Übungen
Ein Quader ist 7 cm lang, 4 cm breit und 3 cm hoch. Wie groß ist sein Volumen in Kubikzentimetern?
Ein Würfel hat die Kantenlänge 3 dm. Wie groß ist sein Oberflächeninhalt in Quadratdezimetern?
Bei welcher Frage brauchst du das Volumen?
Ein Quader ist 6 cm lang, 5 cm breit und 4 cm hoch. Wie groß ist sein Oberflächeninhalt in Quadratzentimetern?
Ein Schwimmbecken ist 5 m lang, 4 m breit und 2 m tief. Es wird ganz mit Wasser gefüllt. Wie viele Liter Wasser sind das? Es gilt 1 m³ = 1000 Liter. Schreibe die Zahl ohne Punkt.
Aus einer Ecke eines Würfels mit 5 cm Kantenlänge wird ein kleiner Würfel mit 2 cm Kantenlänge herausgeschnitten. Berechne das Volumen des Restkörpers. Wie ändert sich der Oberflächeninhalt?