Lektion 8.3

Umfang und Flächeninhalt von Rechteck, Quadrat und zusammengesetzten Figuren

15 min Lesezeit

Auf dem Schulhof wird ein Beet angelegt. Es ist 6 m lang und 4 m breit. Der Hausmeister stellt zwei Fragen. Wie viel Zaun braucht er, damit keine Hasen ins Beet laufen? Und wie viel Erde braucht er, damit das ganze Beet bedeckt ist?

Das sind zwei verschiedene Fragen. Für den Zaun misst du, wie lang der Rand ist. Für die Erde misst du, wie viel Platz im Inneren ist. Dafür gibt es in der Mathematik eigene Wörter und eigene Rechnungen. Du lernst sie hier kennen. Danach rechnest du auch mit Figuren, die aus mehreren Rechtecken bestehen, zum Beispiel mit dem Grundriss einer Wohnung in L-Form.

Definition

Umfang

Der Umfang einer ebenen Figur ist die Länge ihrer Randlinie. Stell dir vor, du legst einen Faden genau um die Figur und misst, wie lang er ist. Der Umfang ist eine Länge. Du gibst ihn in Millimetern, Zentimetern, Metern oder Kilometern an.

Ein Rechteck hat zwei lange und zwei kurze Seiten. Wir nennen die Länge $a$ und die Breite $b$ . Die Buchstaben stehen für Zahlen. Den Umfang schreiben wir als $u$ . Du läufst einmal um das Rechteck und addierst die vier Seiten. Beim Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang, jede hat die Länge $a$ .

\begin{aligned} u_{\text{Rechteck}} &= a + b + a + b = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot (a + b) \\ u_{\text{Quadrat}} &= a + a + a + a = 4 \cdot a \end{aligned}

Definition

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt einer Figur sagt, wie viel Fläche sie bedeckt. Wie jede Größe misst du ihn, indem du ihn mit einer Einheit vergleichst. Die Einheit ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm. Es hat den Flächeninhalt 1 cm², gelesen „ein Quadratzentimeter“. Der Flächeninhalt sagt, wie viele solche Einheitsquadrate in die Figur passen.

So misst du ein Rechteck, das 5 cm lang und 3 cm breit ist: Du legst eine Reihe aus 5 Einheitsquadraten an die lange Seite. Die Reihe ist 1 cm hoch. Du brauchst 3 solche Reihen, bis das Rechteck voll ist. Das sind 3 · 5 = 15 Einheitsquadrate. Der Flächeninhalt ist 15 cm².

Du musst die Quadrate nicht wirklich legen. Die Zahl der Quadrate in einer Reihe ist die Länge. Die Zahl der Reihen ist die Breite. Du multiplizierst also Länge mal Breite. Beim Quadrat sind beide gleich lang. Für $a \cdot a$ schreibst du kurz $a^2$ , gelesen „a Quadrat“. Wir schreiben $A$ für den Flächeninhalt.

A_{\text{Rechteck}} = a \cdot b \qquad A_{\text{Quadrat}} = a \cdot a = a^2

Merke: Umfang und Flächeninhalt sind zwei verschiedene Größen.

Größe	Umfang	Flächeninhalt
Frage	Wie lang ist der Rand?	Wie viel Fläche liegt innen?
Beispiel	Zaun, Fußleiste, Bilderrahmen	Rasen, Teppich, Wandfarbe
Einheit	cm, m	cm², m²
Rechteck	$2 \cdot (a + b)$	$a \cdot b$
Quadrat	$4 \cdot a$	$a \cdot a$

Beispiel

Beet und Quadrat

Berechne Umfang und Flächeninhalt des Beets (6 m lang, 4 m breit) und eines Quadrats mit der Seitenlänge 7 cm.

\begin{aligned} u_{\text{Beet}} &= 2 \cdot (6 + 4) = 2 \cdot 10 = 20 \text{ m} \\ A_{\text{Beet}} &= 6 \cdot 4 = 24 \text{ m}^2 \\ u_{\text{Quadrat}} &= 4 \cdot 7 = 28 \text{ cm} \\ A_{\text{Quadrat}} &= 7 \cdot 7 = 49 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Beim Beet addierst du zuerst Länge und Breite: 6 m + 4 m = 10 m. Das ist der halbe Weg um das Beet. Mal 2 ergibt 20 m. Der Hausmeister braucht also 20 m Zaun. Für die Erde rechnest du 6 · 4 = 24. Er muss 24 m² bedecken. Beim Quadrat sind alle vier Seiten 7 cm lang. Der Umfang ist 4 · 7 cm = 28 cm. Der Flächeninhalt ist 7 · 7 = 49 cm².

Beispiel

Verschiedene Einheiten

Ein Teppich ist 2 m lang und 80 cm breit. Berechne den Flächeninhalt in m² und in cm². Wie lang ist die Leiste, die rund um den Teppich liegt?

\begin{aligned} A &= 2 \cdot 0{,}8 = 1{,}6 \text{ m}^2 \\ A &= 200 \cdot 80 = 16\,000 \text{ cm}^2 \\ u &= 2 \cdot (2 + 0{,}8) = 2 \cdot 2{,}8 = 5{,}6 \text{ m} \end{aligned}

Du darfst nur Maße in derselben Einheit multiplizieren. Rechne deshalb zuerst um. 80 cm sind 0,8 m. Dann gilt 2 m · 0,8 m = 1,6 m². Du kannst auch alles in Zentimeter umrechnen: 2 m = 200 cm. Dann gilt 200 · 80 = 16 000 cm². Beide Ergebnisse sind gleich groß, denn 1 m² sind 100 · 100 = 10 000 cm². Für die Leiste brauchst du den Umfang: 2 · (2 m + 0,8 m) = 5,6 m.

Definition

Zusammengesetzte Figur

Viele Figuren sind kein einzelnes Rechteck. Der Grundriss einer Wohnung ist oft ein L. Eine zusammengesetzte Figur besteht aus mehreren Rechtecken oder Quadraten. Für den Flächeninhalt gibt es zwei Wege:

Zerlegen: Du teilst die Figur mit geraden Strichen in Rechtecke. Du rechnest jedes Rechteck einzeln und addierst die Flächeninhalte.
Ergänzen: Du füllst die Figur zu einem großen Rechteck auf. Du rechnest das große Rechteck und ziehst die Stücke ab, die du ergänzt hast.

Beim Umfang zählt nur die äußere Randlinie. Die Striche, mit denen du zerlegst, gehören nicht dazu.

Beispiel

Ein L-förmiger Raum

Ein Raum hat die Form eines L. Er passt in ein Rechteck von 10 m Länge und 6 m Breite. Aus der Ecke oben rechts fehlt ein Rechteck von 4 m Länge und 3 m Breite. Berechne den Flächeninhalt auf beide Arten und den Umfang.

\begin{aligned} \text{Ergänzen:}\; & 10 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 60 - 12 = 48 \\ \text{Zerlegen:}\; & 10 \cdot 3 + 6 \cdot 3 = 30 + 18 = 48 \\ \text{Umfang:}\; & 10 + 3 + 4 + 3 + 6 + 6 = 32 \end{aligned}

Beim Ergänzen füllst du die fehlende Ecke auf. Das große Rechteck hat 10 · 6 = 60 m². Davon ziehst du die Ecke ab: 4 · 3 = 12 m². Es bleiben 48 m². Beim Zerlegen teilst du den Raum mit einem waagerechten Strich in zwei Rechtecke. Das untere ist 10 m lang und 3 m hoch: 10 · 3 = 30 m². Das obere ist 10 − 4 = 6 m lang und 3 m hoch: 6 · 3 = 18 m². Zusammen sind das 48 m². Beide Wege geben dasselbe Ergebnis.

Für den Umfang gehst du einmal um die Figur: unten 10 m, rechts 3 m hoch, 4 m nach links, 3 m hoch, oben 6 m nach links und 6 m links hinunter. Zusammen sind das 32 m. Das ist genauso viel wie beim großen Rechteck, denn 2 · (10 + 6) = 32. Der Weg um die fehlende Ecke herum ist genauso lang wie der Weg an der Außenkante, nämlich 3 m + 4 m.

Häufige Fehler

Umfang und Flächeninhalt verwechseln

Jemand berechnet den Flächeninhalt eines Quadrats mit 5 cm Seitenlänge als $4 \cdot 5 = 20$ cm².

Richtig ist

Das ist der Umfang, und er hat die Einheit cm, nicht cm². Der Flächeninhalt ist $5 \cdot 5 = 25$ cm². Frage dich: Geht es um den Rand (Zaun, Leiste) oder um die Fläche innen (Rasen, Farbe)?

Häufige Fehler

Einheiten mischen

Jemand berechnet den Flächeninhalt eines Rechtecks mit 2 m Länge und 50 cm Breite so: $2 \cdot 50 = 100$ .

Richtig ist

Die beiden Maße haben verschiedene Einheiten. Rechne zuerst um: 50 cm sind 0,5 m. Dann gilt $2 \cdot 0{,}5 = 1$ , der Flächeninhalt ist also 1 m². In Zentimetern: $200 \cdot 50 = 10\,000$ cm². Das ist dasselbe, denn 1 m² sind 10 000 cm².

Häufige Fehler

Innere Striche beim Umfang mitzählen

Jemand teilt eine L-förmige Figur in zwei Rechtecke, berechnet beide Umfänge und addiert sie. Das soll der Umfang der Figur sein.

Richtig ist

Der Strich, an dem die beiden Rechtecke aneinanderliegen, ist kein Rand der Figur. Er kommt in beiden Umfängen vor, gehört aber nicht zum Umfang. Du musst nur die äußere Randlinie messen. Beim Flächeninhalt dagegen darfst du die Teile addieren, denn jedes Stück Fläche liegt in genau einem Rechteck.

Zusammenfassung

Der Umfang ist die Länge der Randlinie. Beim Rechteck gilt $u = 2 \cdot (a + b)$ , beim Quadrat $u = 4 \cdot a$ . Er hat Einheiten wie cm und m.
Der Flächeninhalt sagt, wie viele Einheitsquadrate in die Figur passen. Beim Rechteck gilt $A = a \cdot b$ , beim Quadrat $A = a \cdot a = a^2$ . Er hat Einheiten wie cm² und m².
Die Formel für den Flächeninhalt kommt vom Messen: Die Länge gibt die Quadrate je Reihe an, die Breite gibt die Zahl der Reihen an.
Vor dem Rechnen müssen alle Maße dieselbe Einheit haben. 1 m² sind 10 000 cm².
Bei zusammengesetzten Figuren kannst du zerlegen und die Flächeninhalte addieren, oder ergänzen und das Fehlende abziehen.
Beim Umfang zählt nur die äußere Randlinie.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Ein Rechteck ist 12 cm lang und 7 cm breit. Wie groß ist sein Umfang in Zentimetern?

Aufgabe 2Numerisch

Ein quadratischer Platz hat die Seitenlänge 9 m. Wie groß ist sein Flächeninhalt in Quadratmetern?

Aufgabe 3Multiple Choice

Bei welcher Aufgabe brauchst du den Flächeninhalt?

Aufgabe 4Numerisch

Ein Rechteck ist 3 m lang und 40 cm breit. Wie groß ist sein Flächeninhalt in Quadratdezimetern? Es gilt 1 m = 10 dm und 1 dm = 10 cm.

Aufgabe 5Numerisch

Ein Zimmer passt in ein Rechteck von 8 m Länge und 5 m Breite. In einer Ecke fehlt ein Rechteck von 3 m Länge und 2 m Breite. Wie groß ist der Flächeninhalt des Zimmers in Quadratmetern?

Aufgabe 6Freitext

Ein rechteckiger Garten ist 20 m lang und 12 m breit. In seiner Mitte liegt ein rechteckiger Teich, 5 m lang und 4 m breit. Berechne die Fläche, die für den Rasen bleibt, und die Länge des Zauns um den ganzen Garten.

Lektion 8.3 · Körper und Flächenberechnung

Umfang und Flächeninhalt von Rechteck, Quadrat und zusammengesetzten Figuren

Definition

Umfang

\begin{aligned} u_{\text{Rechteck}} &= a + b + a + b = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot (a + b) \\ u_{\text{Quadrat}} &= a + a + a + a = 4 \cdot a \end{aligned}

Definition

Flächeninhalt

A_{\text{Rechteck}} = a \cdot b \qquad A_{\text{Quadrat}} = a \cdot a = a^2

Merke: Umfang und Flächeninhalt sind zwei verschiedene Größen.

Größe	Umfang	Flächeninhalt
Frage	Wie lang ist der Rand?	Wie viel Fläche liegt innen?
Beispiel	Zaun, Fußleiste, Bilderrahmen	Rasen, Teppich, Wandfarbe
Einheit	cm, m	cm², m²
Rechteck	$2 \cdot (a + b)$	$a \cdot b$
Quadrat	$4 \cdot a$	$a \cdot a$

Beispiel

Beet und Quadrat

Berechne Umfang und Flächeninhalt des Beets (6 m lang, 4 m breit) und eines Quadrats mit der Seitenlänge 7 cm.

\begin{aligned} u_{\text{Beet}} &= 2 \cdot (6 + 4) = 2 \cdot 10 = 20 \text{ m} \\ A_{\text{Beet}} &= 6 \cdot 4 = 24 \text{ m}^2 \\ u_{\text{Quadrat}} &= 4 \cdot 7 = 28 \text{ cm} \\ A_{\text{Quadrat}} &= 7 \cdot 7 = 49 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Beispiel

Verschiedene Einheiten

Ein Teppich ist 2 m lang und 80 cm breit. Berechne den Flächeninhalt in m² und in cm². Wie lang ist die Leiste, die rund um den Teppich liegt?

\begin{aligned} A &= 2 \cdot 0{,}8 = 1{,}6 \text{ m}^2 \\ A &= 200 \cdot 80 = 16\,000 \text{ cm}^2 \\ u &= 2 \cdot (2 + 0{,}8) = 2 \cdot 2{,}8 = 5{,}6 \text{ m} \end{aligned}

Definition

Zusammengesetzte Figur

Zerlegen: Du teilst die Figur mit geraden Strichen in Rechtecke. Du rechnest jedes Rechteck einzeln und addierst die Flächeninhalte.
Ergänzen: Du füllst die Figur zu einem großen Rechteck auf. Du rechnest das große Rechteck und ziehst die Stücke ab, die du ergänzt hast.

Beim Umfang zählt nur die äußere Randlinie. Die Striche, mit denen du zerlegst, gehören nicht dazu.

Beispiel

Ein L-förmiger Raum

\begin{aligned} \text{Ergänzen:}\; & 10 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 60 - 12 = 48 \\ \text{Zerlegen:}\; & 10 \cdot 3 + 6 \cdot 3 = 30 + 18 = 48 \\ \text{Umfang:}\; & 10 + 3 + 4 + 3 + 6 + 6 = 32 \end{aligned}

Häufige Fehler

Umfang und Flächeninhalt verwechseln

Jemand berechnet den Flächeninhalt eines Quadrats mit 5 cm Seitenlänge als $4 \cdot 5 = 20$ cm².

Das ist der Umfang, und er hat die Einheit cm, nicht cm². Der Flächeninhalt ist $5 \cdot 5 = 25$ cm². Frage dich: Geht es um den Rand (Zaun, Leiste) oder um die Fläche innen (Rasen, Farbe)?

Häufige Fehler

Einheiten mischen

Jemand berechnet den Flächeninhalt eines Rechtecks mit 2 m Länge und 50 cm Breite so: $2 \cdot 50 = 100$ .

Häufige Fehler

Innere Striche beim Umfang mitzählen

Jemand teilt eine L-förmige Figur in zwei Rechtecke, berechnet beide Umfänge und addiert sie. Das soll der Umfang der Figur sein.

Zusammenfassung

Der Umfang ist die Länge der Randlinie. Beim Rechteck gilt $u = 2 \cdot (a + b)$ , beim Quadrat $u = 4 \cdot a$ . Er hat Einheiten wie cm und m.
Der Flächeninhalt sagt, wie viele Einheitsquadrate in die Figur passen. Beim Rechteck gilt $A = a \cdot b$ , beim Quadrat $A = a \cdot a = a^2$ . Er hat Einheiten wie cm² und m².
Die Formel für den Flächeninhalt kommt vom Messen: Die Länge gibt die Quadrate je Reihe an, die Breite gibt die Zahl der Reihen an.
Vor dem Rechnen müssen alle Maße dieselbe Einheit haben. 1 m² sind 10 000 cm².
Bei zusammengesetzten Figuren kannst du zerlegen und die Flächeninhalte addieren, oder ergänzen und das Fehlende abziehen.
Beim Umfang zählt nur die äußere Randlinie.