Lektion 1.2

Grundrechenarten mit natürlichen Zahlen

17 min Lesezeit

Die Klasse 5b plant einen Ausflug in den Zoo. 26 Kinder fahren mit. Jedes Kind zahlt 8 Euro Eintritt. Der Bus kostet für alle zusammen 156 Euro. In der Klassenkasse liegen 400 Euro. Reicht das Geld? Und wie viel bleibt übrig?

Solche Fragen beantwortest du mit Rechnen. Manchmal geht es im Kopf, manchmal brauchst du Zettel und Stift. In dieser Lektion wiederholst du die vier Grundrechenarten und lernst Rechenwege für große Zahlen. Du lernst auch, wie du ein Ergebnis prüfst und wie aus einem Text eine Rechnung wird.

Definition

Die vier Grundrechenarten

Es gibt vier Grundrechenarten. Jede hat ein Rechenzeichen. Das Ergebnis jeder Rechenart hat einen eigenen Namen:

RechenartZeichenBeispielDas Ergebnis heißt
Addition (Zusammenzählen)+12 + 5 = 17Summe
Subtraktion (Abziehen)−12 − 5 = 7Differenz
Multiplikation (Malnehmen)·12 · 5 = 60Produkt
Division (Teilen):12 : 4 = 3Quotient

Das Malzeichen ist ein Punkt in halber Höhe (⋅\cdot). Das Geteilt-Zeichen ist ein Doppelpunkt (::).

Beispiel

Im Kopf rechnen

Im Kopf rechnest du am besten in kleinen Schritten. Du zerlegst eine Zahl so, dass die Teilaufgaben leicht werden.

47+38=47+30+8=77+8=8583−29=83−30+1=53+1=5414⋅6=10⋅6+4⋅6=60+24=8496:4=80:4+16:4=20+4=24\begin{aligned} 47 + 38 &= 47 + 30 + 8 = 77 + 8 = 85 \\ 83 - 29 &= 83 - 30 + 1 = 53 + 1 = 54 \\ 14 \cdot 6 &= 10 \cdot 6 + 4 \cdot 6 = 60 + 24 = 84 \\ 96 : 4 &= 80 : 4 + 16 : 4 = 20 + 4 = 24 \end{aligned}

Bei 47 + 38 addierst du erst die Zehner, dann die Einer. Bei 83 − 29 ist 29 fast 30. Du ziehst 30 ab, das war aber 1 zu viel, also gibst du 1 wieder dazu. Bei 14 · 6 zerlegst du 14 in 10 und 4 und rechnest beide Teile mal 6. Bei 96 : 4 zerlegst du 96 in 80 und 16, denn beide Zahlen lassen sich leicht durch 4 teilen.

Beispiel

Schriftlich addieren und subtrahieren

Rechne 4 387 + 2 958. Schreibe die Zahlen so untereinander, dass Einer unter Einern, Zehner unter Zehnern und so weiter stehen. Du addierst von rechts nach links. Ergibt eine Stelle 10 oder mehr, schreibst du die Einerziffer hin und merkst dir den Zehner als Übertrag für die nächste Stelle.

  • Einer: 7 + 8 = 15, du schreibst 5 und merkst 1.
  • Zehner: 8 + 5 + 1 = 14, du schreibst 4 und merkst 1.
  • Hunderter: 3 + 9 + 1 = 13, du schreibst 3 und merkst 1.
  • Tausender: 4 + 2 + 1 = 7, du schreibst 7.

Rechne nun 6 204 − 1 758. Bei jeder Stelle fragst du: Was muss ich zur unteren Ziffer addieren, um die obere zu erreichen? Reicht die obere Ziffer nicht, nimmst du 10 dazu und merkst dir 1 für die nächste Stelle der unteren Zahl.

  • Einer: 8 + ? = 14, das sind 6. Du merkst 1.
  • Zehner: 5 + 1 = 6, und 6 + ? = 10, das sind 4. Du merkst 1.
  • Hunderter: 7 + 1 = 8, und 8 + ? = 12, das sind 4. Du merkst 1.
  • Tausender: 1 + 1 = 2, und 2 + ? = 6, das sind 4.
4 387+2 958=7 3456 204−1 758=4 4464\,387 + 2\,958 = 7\,345 \qquad 6\,204 - 1\,758 = 4\,446

Wenn du in der Schule ein anderes Verfahren zum Abziehen gelernt hast, darfst du dabei bleiben. Wichtig ist, dass du Stelle für Stelle vorgehst und nichts vergisst.

Beispiel

Schriftlich multiplizieren

Rechne 346 · 27. Du zerlegst 27 in 20 und 7. Du rechnest 346 · 7 und 346 · 20 getrennt und addierst dann beide Teilergebnisse.

  • 346 · 7: 6 · 7 = 42, du schreibst 2 und merkst 4. Dann 4 · 7 = 28 und 4 dazu sind 32, du schreibst 2 und merkst 3. Dann 3 · 7 = 21 und 3 dazu sind 24. Das Ergebnis ist 2 422.
  • 346 · 20: Zuerst 346 · 2 = 692, dann mal 10. Mal 10 heißt, dass du eine 0 anhängst: 6 920.
  • Beide Teilergebnisse addieren: 6 920 + 2 422 = 9 342.
346⋅27=346⋅20+346⋅7=6 920+2 422=9 342346 \cdot 27 = 346 \cdot 20 + 346 \cdot 7 = 6\,920 + 2\,422 = 9\,342

Warum hängst du bei 20 eine 0 an? Mal 10 macht aus Einern Zehner, aus Zehnern Hunderter und so weiter. Jede Ziffer rückt eine Stelle nach links. Rechts bleibt die 0 als Platzhalter stehen.

Definition

Division mit Rest

Nicht jede Division geht auf. 29 Kinder sollen Gruppen zu je 6 Kindern bilden. Es entstehen 4 volle Gruppen, denn 4 · 6 = 24. Dann bleiben 29 − 24 = 5 Kinder übrig. Das übrige Stück heißt Rest. Du schreibst: 29 : 6 = 4 Rest 5.

Der Rest ist immer kleiner als die Zahl, durch die du teilst. Wäre er 6 oder größer, könntest du noch eine Gruppe bilden.

29:6=4 Rest 5denn4⋅6+5=2929 : 6 = 4 \text{ Rest } 5 \qquad \text{denn} \qquad 4 \cdot 6 + 5 = 29
Beispiel

Schriftlich dividieren

Rechne 8 436 : 6. Du teilst Stelle für Stelle von links. Bleibt ein Rest, holst du die nächste Ziffer dazu.

  • 8 : 6 = 1, Rest 2. (Denn 1 · 6 = 6 und 8 − 6 = 2.)
  • Hole die 4 dazu: 24 : 6 = 4, Rest 0.
  • Hole die 3 dazu: 3 : 6 = 0, Rest 3. Du schreibst die 0 in das Ergebnis.
  • Hole die 6 dazu: 36 : 6 = 6, Rest 0.

Rechne nun 1 000 : 7. Die erste Ziffer 1 ist zu klein, also nimmst du gleich 10.

  • 10 : 7 = 1, Rest 3.
  • Hole die nächste 0 dazu: 30 : 7 = 4, Rest 2. (Denn 4 · 7 = 28.)
  • Hole die letzte 0 dazu: 20 : 7 = 2, Rest 6. (Denn 2 · 7 = 14.)
8 436:6=1 4061 000:7=142 Rest 68\,436 : 6 = 1\,406 \qquad 1\,000 : 7 = 142 \text{ Rest } 6

Die 0 in 1 406 ist wichtig. Die 3 war zu klein, um durch 6 geteilt zu werden. Trotzdem musst du die 0 hinschreiben, sonst stimmt die Zahl nicht. Die Probe zeigt, dass beide Ergebnisse stimmen: 1 406 · 6 = 8 436 und 142 · 7 + 6 = 994 + 6 = 1 000.

Definition

Umkehroperationen und Probe

Addition und Subtraktion machen sich gegenseitig rückgängig. Du hast 7 Euro, bekommst 5 Euro dazu und gibst 5 Euro wieder ab. Dann hast du wieder 7 Euro. Genauso machen Multiplikation und Division einander rückgängig. Solche Paare heißen Umkehroperationen.

Mit der Umkehroperation löst du Aufgaben mit einer Lücke. Du kannst auch ein Ergebnis prüfen. Das nennt man eine Probe.

17+5=2222−5=176⋅4=2424:4=617 + 5 = 22 \qquad 22 - 5 = 17 \qquad 6 \cdot 4 = 24 \qquad 24 : 4 = 6
Beispiel

Lückenaufgaben und Probe

Löse ? + 17 = 40 und ? · 6 = 54. Prüfe dann 6 204 − 1 758 = 4 446 mit der Probe.

Bei ? + 17 = 40 ist die Umkehroperation von Plus das Minus. Du rechnest 40 − 17 = 23. Probe: 23 + 17 = 40.

Bei ? · 6 = 54 ist die Umkehroperation von Mal das Geteilt. Du rechnest 54 : 6 = 9. Probe: 9 · 6 = 54.

Bei der Subtraktion rechnest du das Ergebnis plus die abgezogene Zahl. Es muss die Ausgangszahl herauskommen.

4 446+1 758=6 2044\,446 + 1\,758 = 6\,204

Die Probe stimmt. Das Ergebnis 4 446 ist also richtig. Mit der Umkehroperation findest du Rechenfehler, die du beim ersten Rechnen übersehen hast.

Definition

Überschlag

Mit einem Überschlag prüfst du schnell, ob ein Ergebnis ungefähr stimmt. Du rundest jede Zahl auf eine Stelle, mit der du leicht im Kopf rechnest. Dann rechnest du mit den gerundeten Zahlen. Der Überschlag ist nicht genau. Er zeigt aber, ob das Ergebnis die richtige Größe hat. So entdeckst du zum Beispiel eine vergessene oder eine zu viel geschriebene Null.

Beispiel

Fehler mit dem Überschlag finden

Ein Kind rechnet 346 · 27 und bekommt 93 420 heraus. Passt das?

Du rundest 346 auf 300 und 27 auf 30. Dann rechnest du 300 · 30. Das sind 3 · 3 = 9 und dann drei Nullen dazu.

346⋅27≈300⋅30=9 000346 \cdot 27 \approx 300 \cdot 30 = 9\,000

Das Ergebnis müsste ungefähr bei 9 000 liegen. Der genaue Wert 9 342 passt dazu. Die Zahl 93 420 ist zehnmal so groß, das Kind hat sich also verrechnet. Auch bei der Addition hilft der Überschlag: 4 387 + 2 958 ≈ 4 000 + 3 000 = 7 000. Das genaue Ergebnis 7 345 liegt nah dabei.

Definition

Sachaufgaben lösen

Bei einer Sachaufgabe steht die Aufgabe in Worten. So gehst du vor:

  • Lies den Text genau und überlege, worum es geht.
  • Schreibe auf, was gegeben ist und was gesucht wird.
  • Überlege, welche Rechnung passt, und schreibe sie auf.
  • Mache einen Überschlag und rechne dann genau.
  • Prüfe, ob das Ergebnis zur Frage passt, und schreibe einen Antwortsatz.
Beispiel

Sachaufgabe: Der Zooausflug

Die Klasse 5b hat 26 Kinder. Jedes Kind zahlt 8 Euro Eintritt. Der Bus kostet 156 Euro. In der Klassenkasse sind 400 Euro. Reicht das Geld, und wie viel bleibt übrig?

Gegeben: 26 Kinder, 8 Euro je Kind, 156 Euro für den Bus, 400 Euro in der Kasse. Gesucht: Reicht das Geld, und wie viel bleibt?

Zuerst der Eintritt: 26 · 8 = 20 · 8 + 6 · 8 = 160 + 48 = 208 Euro. Dazu kommt der Bus.

26⋅8=208208+156=364400−364=3626 \cdot 8 = 208 \qquad 208 + 156 = 364 \qquad 400 - 364 = 36

Überschlag: 200 + 150 = 350, das passt zu 364. Antwort: Das Geld reicht. Es bleiben 36 Euro übrig.

Beispiel

Sachaufgabe mit Rest

78 Kinder fahren zum Wandertag. In einen Bus passen 25 Kinder. Wie viele Busse braucht man?

Gesucht ist die Anzahl der Busse. Du rechnest 78 : 25. Es gilt 3 · 25 = 75 und 4 · 25 = 100, also passt 25 dreimal in 78. Es bleibt ein Rest von 78 − 75 = 3.

78:25=3 Rest 378 : 25 = 3 \text{ Rest } 3

Drei Busse sind voll. Drei Kinder bleiben übrig, und auch sie brauchen einen Platz. Antwort: Man braucht 4 Busse. Überlege bei jedem Rest, was er in der Aufgabe bedeutet. Bei 62 Eiern in Kartons zu je 6 gibt es 10 volle Kartons und 2 Eier übrig. Es wird nicht aufgerundet, wenn nur nach vollen Kartons gefragt ist.

Häufige Fehler

Durch null teilen

Jemand rechnet 5 : 0 = 0 oder 5 : 0 = 5.

Richtig ist

Durch 0 darf man nicht teilen. Das Ergebnis von 5:05 : 0 müsste eine Zahl sein, die mal 0 genau 5 ergibt. Jede Zahl mal 0 ergibt aber 0, nie 5. Es gibt also kein Ergebnis. Das Teilen von 0 durch eine Zahl außer 0 ist dagegen erlaubt: 0:5=00 : 5 = 0.

Häufige Fehler

Ziffern beim Abziehen vertauschen

Beim schriftlichen Subtrahieren steht an der Einerstelle 4 − 8. Das geht nicht, also rechnet jemand 8 − 4 = 4.

Richtig ist

Die obere Zahl bleibt oben. Du darfst die Ziffern nicht tauschen. Du ergänzt stattdessen: 8 + 6 = 14. Die Einerziffer des Ergebnisses ist also 6, und du merkst dir 1 für die nächste Stelle.

Zusammenfassung

  • Die vier Grundrechenarten sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Ihre Ergebnisse heißen Summe, Differenz, Produkt und Quotient.

  • Im Kopf zerlegst du Zahlen so, dass die Teilaufgaben leicht werden. Schriftlich rechnest du Stelle für Stelle und merkst dir Überträge.

  • Bei der schriftlichen Multiplikation zerlegst du die zweite Zahl in Zehner und Einer und addierst die Teilergebnisse. Bei der Division holst du die nächste Ziffer dazu, wenn ein Rest bleibt.

  • Bei der Division mit Rest ist der Rest immer kleiner als die Zahl, durch die du teilst. Durch 0 darf man nicht teilen.

  • Plus und Minus sind Umkehroperationen, ebenso Mal und Geteilt. Damit löst du Lückenaufgaben und machst die Probe.

  • Ein Überschlag mit gerundeten Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis die richtige Größe hat.

  • Bei Sachaufgaben schreibst du auf, was gegeben und gesucht ist, rechnest, prüfst das Ergebnis und schreibst einen Antwortsatz.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Rechne im Kopf: 63 − 28.

Aufgabe 2Multiple Choice

Du sollst die Lücke in ? − 38 = 49 füllen. Welche Rechnung führt zum richtigen Ergebnis?

Aufgabe 3Numerisch

Berechne schriftlich: 253 · 34. Schreibe die Zahl ohne Punkt.

Aufgabe 4Numerisch

Berechne schriftlich: 7 245 : 5. Schreibe die Zahl ohne Punkt.

Aufgabe 5Multiple Choice

Ein Kind rechnet 489 · 21. Welches Ergebnis passt zu einem Überschlag?

Aufgabe 6Freitext

Ein Jahr hat 365 Tage. Eine Woche hat 7 Tage. Wie viele volle Wochen hat ein Jahr, und wie viele Tage bleiben übrig? Schreibe die Rechnung, die Probe und einen Antwortsatz auf.