Lektion 1.4

Potenzen und Zehnerpotenzen

12 min Lesezeit

Du erzählst ein Geheimnis drei Freunden. Am nächsten Tag erzählt jeder von ihnen es drei neuen Leuten. So geht es jeden Tag weiter. Wie viele Menschen erfahren das Geheimnis am fünften Tag neu?

Am ersten Tag sind es 3. Am zweiten Tag sind es 3 · 3 = 9. Am dritten Tag sind es 9 · 3 = 27, am vierten Tag 81 und am fünften Tag 243. Am fünften Tag musst du also fünf Dreien miteinander multiplizieren: 3 · 3 · 3 · 3 · 3.

Das ist mühsam aufzuschreiben. Nach zehn Tagen wären es zehn Dreien. Dafür gibt es eine Kurzschreibweise, die Potenz. Mit ihr schreibst du auch sehr große Zahlen wie eine Billion kurz auf, ohne zwölf Nullen zu zählen.

Definition

Potenz, Basis und Exponent

Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für ein Produkt aus lauter gleichen Faktoren. Statt 3⋅3⋅3⋅3⋅33 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 schreibst du 353^5.

Die große Zahl unten heißt Basis. Sie sagt, welche Zahl du als Faktor nimmst. Die kleine Zahl oben rechts heißt Exponent (auch Hochzahl). Sie sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. Du sprichst „3 hoch 5“. Den Wert der Potenz bekommst du, wenn du das Produkt ausrechnest.

Steht der Exponent 1, kommt die Basis nur einmal vor. Es gilt also 71=77^1 = 7.

35=3⋅3⋅3⋅3⋅3⏟5 Faktoren=2433^5 = \underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}_{5 \text{ Faktoren}} = 243
Beispiel

Potenzen aufschreiben und ausrechnen

Schreibe 5⋅5⋅5⋅55 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 als Potenz. Berechne dann 434^3, 252^5 und 545^4.

5⋅5⋅5⋅5=5443=4⋅4⋅4=16⋅4=6425=4⋅2⋅2⋅2=8⋅2⋅2=16⋅2=3254=25⋅25=625\begin{aligned} 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 &= 5^4 \\ 4^3 &= 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64 \\ 2^5 &= 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32 \\ 5^4 &= 25 \cdot 25 = 625 \end{aligned}

Die Zahl 5 kommt viermal als Faktor vor. Die Basis ist 5 und der Exponent ist 4. Beim Ausrechnen gehst du Schritt für Schritt von links nach rechts. Bei 434^3 rechnest du erst 4 · 4 = 16 und dann 16 · 4 = 64. Bei 252^5 fasst du die ersten beiden Zweien zu 4 zusammen und rechnest dann weiter. Bei 545^4 bildest du zwei Paare: 5 · 5 = 25, und dann 25 · 25 = 625. Du siehst, dass Potenzen schnell sehr groß werden.

Definition

Quadratzahlen

Hat eine Potenz den Exponenten 2, rechnest du die Basis mal sich selbst. Du sprichst „n hoch zwei“ oder „n Quadrat“. Das Ergebnis heißt Quadratzahl.

Der Name kommt vom Quadrat in der Geometrie. Ein Quadrat aus 5 Reihen mit je 5 Kästchen besteht aus 25 Kästchen. Es gilt also 52=255^2 = 25. Die ersten Quadratzahlen sind 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 und 144. Das sind die Werte von 121^2 bis 12212^2. Es lohnt sich, sie auswendig zu kennen.

n2=n⋅n62=6⋅6=36n^2 = n \cdot n \qquad 6^2 = 6 \cdot 6 = 36
Definition

Zehnerpotenzen

Besonders nützlich sind Potenzen mit der Basis 10. Sie heißen Zehnerpotenzen. Der Exponent sagt dir, wie viele Nullen hinter der 1 stehen:

PotenzAusgerechnetName
10110^110Zehn
10210^2100Hundert
10310^31 000Tausend
10610^61 000 000Million
10910^91 000 000 000Milliarde
101210^{12}1 000 000 000 000Billion

Das passt zum Stellenwertsystem. Jeder Stellenwert ist zehnmal so groß wie der rechts daneben. Der Tausenderplatz ist also 10310^3, der Zehntausenderplatz ist 10410^4 und so weiter. Mit Zehnerpotenzen kannst du jede Zahl nach ihren Stellenwerten zerlegen.

7 028=7⋅103+0⋅102+2⋅10+87\,028 = 7 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 + 8
Definition

Zehnerpotenzschreibweise

Mit Zehnerpotenzen schreibst du Zahlen mit vielen Nullen am Ende kurz auf. Du schreibst sie als Produkt aus einer kleineren Zahl und einer Zehnerpotenz. So gehst du vor:

  • Zähle die Nullen am Ende der Zahl. Diese Anzahl ist der Exponent.
  • Schreibe die übrigen Ziffern davor.

Umgekehrt gilt: Mal 10n10^n hängt nn Nullen an eine Zahl an.

7 000 000=7⋅106250 000=25⋅1047\,000\,000 = 7 \cdot 10^6 \qquad 250\,000 = 25 \cdot 10^4
Beispiel

Große Zahlen mit Zehnerpotenzen schreiben

a) Die Erde ist etwa 150 000 000 Kilometer von der Sonne entfernt. Schreibe die Zahl mit einer Zehnerpotenz.

b) Auf der Erde leben etwa 8 000 000 000 Menschen. Schreibe auch diese Zahl mit einer Zehnerpotenz.

c) Schreibe 52⋅10352 \cdot 10^3 als gewöhnliche Zahl.

150 000 000=15⋅1078 000 000 000=8⋅10952⋅103=52 000150\,000\,000 = 15 \cdot 10^7 \qquad 8\,000\,000\,000 = 8 \cdot 10^9 \qquad 52 \cdot 10^3 = 52\,000

a) Am Ende von 150 000 000 stehen sieben Nullen. Davor stehen die Ziffern 15. Also ist die Zahl gleich 15⋅10715 \cdot 10^7. Du könntest auch 150⋅106150 \cdot 10^6 schreiben. Beides stimmt, die erste Schreibweise ist aber kürzer. b) Bei 8 000 000 000 stehen neun Nullen hinter der 8. Das ergibt 8⋅1098 \cdot 10^9. c) Es ist 103=1 00010^3 = 1\,000. Du hängst also drei Nullen an die 52 an und erhältst 52 000.

Beispiel

Potenzen in Termen

Berechne 2+32⋅42 + 3^2 \cdot 4, 2⋅322 \cdot 3^2 und (2+3)2(2 + 3)^2.

2+32⋅4=2+9⋅4=2+36=382⋅32=2⋅9=18(2+3)2=52=25\begin{aligned} 2 + 3^2 \cdot 4 &= 2 + 9 \cdot 4 = 2 + 36 = 38 \\ 2 \cdot 3^2 &= 2 \cdot 9 = 18 \\ (2 + 3)^2 &= 5^2 = 25 \end{aligned}

In der ersten Aufgabe rechnest du zuerst die Potenz 32=93^2 = 9. Dann gilt Punkt vor Strich. In der zweiten Aufgabe gehört der Exponent nur zur 3. Die 2 ist ein eigener Faktor. In der dritten Aufgabe steht die Klammer vor dem Exponenten. Der Exponent gilt dann für die ganze Summe, also rechnest du zuerst 2+3=52 + 3 = 5.

Häufige Fehler

Der Exponent ist keine Malzahl

Jemand rechnet 23=2⋅3=62^3 = 2 \cdot 3 = 6 oder 104=10⋅4=4010^4 = 10 \cdot 4 = 40.

Richtig ist

Der Exponent sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. Richtig ist 23=2⋅2⋅2=82^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 und 104=10⋅10⋅10⋅10=10 00010^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000.

Häufige Fehler

Falsch gezählte Nullen

Jemand schreibt 3 400 000=34⋅1063\,400\,000 = 34 \cdot 10^6, weil hinter der 3 sechs Stellen stehen.

Richtig ist

Du zählst nicht alle Stellen hinter der ersten Ziffer, sondern nur die Nullen am Ende. Bei 3 400 000 sind es fünf. Die Ziffern 34 stehen davor. Richtig ist 3 400 000=34⋅1053\,400\,000 = 34 \cdot 10^5. Probe: 34⋅100 000=3 400 00034 \cdot 100\,000 = 3\,400\,000.

Häufige Fehler

Potenz und Faktor verwechseln

Jemand rechnet 2⋅32=62=362 \cdot 3^2 = 6^2 = 36.

Richtig ist

Der Exponent gehört nur zur Zahl direkt davor, hier zur 3. Zuerst kommt die Potenz: 32=93^2 = 9. Dann multiplizierst du: 2⋅9=182 \cdot 9 = 18. Nur mit Klammern gilt der Exponent für mehr als eine Zahl: (2⋅3)2=62=36(2 \cdot 3)^2 = 6^2 = 36.

Zusammenfassung

  • Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für ein Produkt aus gleichen Faktoren. Bei 353^5 ist 3 die Basis und 5 der Exponent. Es gilt 35=3⋅3⋅3⋅3⋅3=2433^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243.

  • Der Exponent sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. Er ist keine Malzahl: 23=82^3 = 8, nicht 6.

  • Eine Potenz mit dem Exponenten 2 ergibt eine Quadratzahl: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.

  • Bei einer Zehnerpotenz sagt der Exponent, wie viele Nullen hinter der 1 stehen: 103=1 00010^3 = 1\,000, 106=1 000 00010^6 = 1\,000\,000.

  • In der Zehnerpotenzschreibweise zählst du die Nullen am Ende. Es gilt zum Beispiel 250 000=25⋅104250\,000 = 25 \cdot 10^4.

  • Potenzen werden vor Punkt- und Strichrechnung berechnet. Klammern gehen noch davor.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne 343^4.

Aufgabe 2Multiple Choice

Welche Potenz gehört zu 7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅77 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7?

Aufgabe 3Numerisch

Es gilt 40 000 000=4⋅10n40\,000\,000 = 4 \cdot 10^n. Welche Zahl steht für nn?

Aufgabe 4Numerisch

Berechne 2⋅32+42 \cdot 3^2 + 4.

Aufgabe 5Multiple Choice

Welche dieser Zahlen ist keine Quadratzahl?

Aufgabe 6Freitext

Nenne alle Quadratzahlen, die zwischen 50 und 150 liegen. Schreibe jede als Potenz und als ausgerechnete Zahl.