Lektion 1.3

Rechengesetze, Vorrangregeln und Zahlterme

15 min Lesezeit

Du hast 2 Euro in der Tasche. Drei Wochen lang bekommst du jede Woche 4 Euro Taschengeld. Wie viel Geld hast du danach? Anna rechnet: 2 + 3 · 4. Sie rechnet zuerst 2 + 3 = 5 und dann 5 · 4 = 20. Sie sagt: „Ich habe 20 Euro.“ Ben rechnet zuerst 3 · 4 = 12 und dann 2 + 12 = 14. Er sagt: „Ich habe 14 Euro.“

Wer hat recht? Ben hat recht. Du hast 2 Euro und bekommst dreimal 4 Euro dazu. Damit nicht jeder anders rechnet, gibt es feste Regeln für die Reihenfolge.

Außerdem gibt es Gesetze, mit denen du geschickt rechnest. Wie rechnest du 4 · 27 · 25 im Kopf? Wenn du die Zahlen klug ordnest, geht es in einem Schritt. In dieser Lektion lernst du die Regeln und die Gesetze.

Definition

Zahlterm

Ein Term ist eine Rechenaufgabe ohne Ergebnis. Er besteht aus Zahlen, Rechenzeichen und manchmal Klammern. Stehen nur Zahlen darin, heißt er Zahlterm. Ein Beispiel ist 3+4⋅53 + 4 \cdot 5.

Wenn du einen Term ausrechnest, bekommst du seinen Wert. Der Term 3+4⋅53 + 4 \cdot 5 hat den Wert 23. Zwei Terme mit demselben Wert verbindest du mit einem Gleichheitszeichen.

3+4⋅5=233 + 4 \cdot 5 = 23
Definition

Vorrangregeln

Du musst wissen, was zuerst gerechnet wird. Dafür teilst du die Rechenarten in zwei Gruppen. Punktrechnung sind Malnehmen und Teilen, also ⋅\cdot und ::. Strichrechnung sind Plus und Minus, also ++ und −-. Es gelten drei Regeln:

  • Klammern zuerst. Stehen Klammern in Klammern, rechnest du die innersten zuerst.
  • Punkt vor Strich. Malnehmen und Teilen kommen vor Plus und Minus.
  • Von links nach rechts. Stehen nur Rechenarten derselben Gruppe nebeneinander, rechnest du in der Reihenfolge, in der du liest.
Beispiel

Punkt vor Strich

Rechne 2+3⋅42 + 3 \cdot 4 und 24−12:3+224 - 12 : 3 + 2.

2+3⋅4=2+12=1424−12:3+2=24−4+2=20+2=22\begin{aligned} 2 + 3 \cdot 4 &= 2 + 12 = 14 \\ 24 - 12 : 3 + 2 &= 24 - 4 + 2 = 20 + 2 = 22 \end{aligned}

Bei der ersten Aufgabe kommt die Malaufgabe zuerst. Ben hat also recht: Du hast 14 Euro. Bei der zweiten Aufgabe kommt zuerst 12 : 3 = 4. Danach bleiben nur Plus und Minus übrig. Die rechnest du von links nach rechts: erst 24 − 4 = 20, dann 20 + 2 = 22. Hättest du zuerst 4 + 2 gerechnet, wäre 18 herausgekommen. Das wäre falsch.

Beispiel

Klammern

Rechne (7+5)⋅(9−3)(7 + 5) \cdot (9 - 3) und 100−(2+3⋅6):5100 - (2 + 3 \cdot 6) : 5.

(7+5)⋅(9−3)=12⋅6=72100−(2+3⋅6):5=100−(2+18):5=100−20:5=100−4=96\begin{aligned} (7 + 5) \cdot (9 - 3) &= 12 \cdot 6 = 72 \\ 100 - (2 + 3 \cdot 6) : 5 &= 100 - (2 + 18) : 5 = 100 - 20 : 5 = 100 - 4 = 96 \end{aligned}

Bei der ersten Aufgabe rechnest du beide Klammern aus und multiplizierst dann. Bei der zweiten Aufgabe beginnst du in der Klammer. Dort gilt wieder Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18, dann 2 + 18 = 20. Jetzt steht 100 − 20 : 5 da. Punkt vor Strich heißt: erst 20 : 5 = 4, dann 100 − 4 = 96.

Definition

Summe, Differenz, Produkt und Quotient eines Terms

Jeder Term hat eine Rechnung, die du zuletzt ausführst. Nach ihr bekommt der ganze Term seinen Namen:

  • Zuletzt wird addiert: Der Term ist eine Summe.
  • Zuletzt wird subtrahiert: Der Term ist eine Differenz.
  • Zuletzt wird multipliziert: Der Term ist ein Produkt.
  • Zuletzt wird dividiert: Der Term ist ein Quotient.

Die Teile einer Summe heißen Summanden, die Teile eines Produkts heißen Faktoren. Der Term 3+4⋅53 + 4 \cdot 5 ist eine Summe, denn die Addition kommt zuletzt. Seine Summanden sind 3 und 4⋅54 \cdot 5. Der zweite Summand ist selbst ein Produkt. Der Term (3+4)⋅5(3 + 4) \cdot 5 ist dagegen ein Produkt mit den Faktoren (3+4)(3 + 4) und 5. Klammern können also die Struktur eines Terms verändern.

3+4⋅5=23(3+4)⋅5=353 + 4 \cdot 5 = 23 \qquad (3 + 4) \cdot 5 = 35
Beispiel

Aus Worten einen Term bauen

Schreibe als Term und berechne:

  • a) das Doppelte der Summe aus 7 und 5
  • b) die Differenz aus 20 und dem Produkt von 3 und 4
  • c) der Quotient aus 60 und der Summe von 4 und 6
a)  2⋅(7+5)=2⋅12=24b)  20−3⋅4=20−12=8c)  60:(4+6)=60:10=6\begin{aligned} \text{a)}\; & 2 \cdot (7 + 5) = 2 \cdot 12 = 24 \\ \text{b)}\; & 20 - 3 \cdot 4 = 20 - 12 = 8 \\ \text{c)}\; & 60 : (4 + 6) = 60 : 10 = 6 \end{aligned}

Das erste Wort der Beschreibung nennt die Rechnung, die zuletzt kommt: das Doppelte (mal 2), die Differenz, der Quotient. Die Teile danach stehen in den Klammern oder davor und dahinter. In a) und c) brauchst du Klammern, denn die Summe muss zuerst gerechnet werden. In b) brauchst du keine, denn Punkt kommt ohnehin vor Strich.

Definition

Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Beim Addieren und beim Multiplizieren darfst du die Zahlen vertauschen. Das Ergebnis bleibt gleich. In den Formeln stehen die Buchstaben aa und bb für beliebige natürliche Zahlen. Zum Beispiel gilt 3+9=9+3=123 + 9 = 9 + 3 = 12 und 4⋅7=7⋅4=284 \cdot 7 = 7 \cdot 4 = 28.

Beim Subtrahieren und beim Dividieren gilt das nicht. Es ist 9−3=69 - 3 = 6, aber 3−93 - 9 hat in den natürlichen Zahlen gar kein Ergebnis.

a+b=b+aa⋅b=b⋅aa + b = b + a \qquad a \cdot b = b \cdot a
Definition

Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)

Bei einer Kette, in der nur addiert oder nur multipliziert wird, darfst du frei wählen, welche Teile du zuerst zusammenrechnest. Du kannst die Klammern also setzen oder weglassen. Das Ergebnis bleibt gleich. Es gilt zum Beispiel (2+3)+4=2+(3+4)=9(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 und (2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)=24(2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4) = 24.

(a+b)+c=a+(b+c)(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(a + b) + c = a + (b + c) \qquad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
Definition

Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Du kaufst viermal ein Eis für 2 Euro und ein Getränk für 1 Euro. Du kannst rechnen: 4⋅(2+1)=4⋅3=124 \cdot (2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12 Euro. Du kannst auch die vier Eis und die vier Getränke getrennt rechnen: 4⋅2+4⋅1=8+4=124 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 8 + 4 = 12 Euro. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

Das ist das Distributivgesetz: Ein Faktor, der mit einer Summe oder Differenz multipliziert wird, wird auf jeden Teil einzeln „verteilt“. Bei der Differenz muss bb mindestens so groß wie cc sein.

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca⋅(b−c)=a⋅b−a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c
Beispiel

Rechenvorteile nutzen

Rechne geschickt, ohne alles Schritt für Schritt auszurechnen.

8+47+12+33=(8+12)+(47+33)=20+80=1004⋅27⋅25=27⋅(4⋅25)=27⋅100=2 7007⋅98=7⋅(100−2)=700−14=6866⋅53=6⋅50+6⋅3=300+18=3186⋅13+6⋅7=6⋅(13+7)=6⋅20=120\begin{aligned} 8 + 47 + 12 + 33 &= (8 + 12) + (47 + 33) = 20 + 80 = 100 \\ 4 \cdot 27 \cdot 25 &= 27 \cdot (4 \cdot 25) = 27 \cdot 100 = 2\,700 \\ 7 \cdot 98 &= 7 \cdot (100 - 2) = 700 - 14 = 686 \\ 6 \cdot 53 &= 6 \cdot 50 + 6 \cdot 3 = 300 + 18 = 318 \\ 6 \cdot 13 + 6 \cdot 7 &= 6 \cdot (13 + 7) = 6 \cdot 20 = 120 \end{aligned}

In den ersten beiden Zeilen vertauschst du Zahlen und verbindest sie neu. Du suchst Zahlen, die zusammen glatte Werte ergeben: 8 + 12 = 20, 47 + 33 = 80 und 4 · 25 = 100. In der dritten Zeile ist 98 fast 100. Du rechnest mit 100 und ziehst 7 · 2 = 14 wieder ab. In der vierten Zeile zerlegst du 53 in 50 und 3. In der letzten Zeile liest du das Distributivgesetz rückwärts: Beide Produkte haben den Faktor 6, also fasst du 13 + 7 zusammen und rechnest nur einmal mal 6.

Häufige Fehler

Immer von links nach rechts rechnen

Jemand rechnet 3+4⋅5=7⋅5=353 + 4 \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35.

Richtig ist

Punkt kommt vor Strich. Richtig ist 3+4⋅5=3+20=233 + 4 \cdot 5 = 3 + 20 = 23. Nur wenn Rechenarten derselben Gruppe nebeneinander stehen, rechnest du von links nach rechts.

Häufige Fehler

Gesetze bei Minus und Geteilt

Weil man beim Addieren Klammern verschieben darf, schreibt jemand 10−(5−2)=(10−5)−210 - (5 - 2) = (10 - 5) - 2.

Richtig ist

Das stimmt nicht. Es gilt 10−(5−2)=10−3=710 - (5 - 2) = 10 - 3 = 7, aber (10−5)−2=5−2=3(10 - 5) - 2 = 5 - 2 = 3. Auch beim Teilen ändert sich das Ergebnis: 12:(6:2)=12:3=412 : (6 : 2) = 12 : 3 = 4, aber (12:6):2=2:2=1(12 : 6) : 2 = 2 : 2 = 1. Das Vertauschungs- und das Verbindungsgesetz gelten nur für Plus und Mal.

Häufige Fehler

Nur einen Teil verteilen

Jemand rechnet 3⋅(4+5)=3⋅4+5=173 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 4 + 5 = 17.

Richtig ist

Der Faktor 3 muss zu beiden Summanden. Richtig ist 3⋅4+3⋅5=12+15=273 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 12 + 15 = 27. Das passt zu 3⋅(4+5)=3⋅9=273 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 9 = 27.

Zusammenfassung

  • Ein Zahlterm besteht aus Zahlen, Rechenzeichen und Klammern. Sein Ergebnis heißt Wert.

  • Reihenfolge beim Rechnen: Klammern zuerst, dann Punkt vor Strich, sonst von links nach rechts.

  • Die Rechnung, die du in einem Term zuletzt ausführst, bestimmt seinen Namen: Summe, Differenz, Produkt oder Quotient. Klammern ändern die Struktur.

  • Kommutativgesetz: Bei Plus und Mal darfst du vertauschen. Assoziativgesetz: Bei Plus und Mal darfst du frei verbinden. Beide gelten nicht für Minus und Geteilt.

  • Distributivgesetz: a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c. Du kannst es vorwärts und rückwärts nutzen.

  • Für Rechenvorteile suchst du Zahlen, die zusammen glatte Werte wie 10, 100 oder 1 000 ergeben, und zerlegst Zahlen in der Nähe von glatten Zahlen.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Berechne 18−3⋅4+218 - 3 \cdot 4 + 2.

Aufgabe 2Multiple Choice

Welcher dieser Terme ist ein Produkt?

Aufgabe 3Numerisch

Berechne 48:(2+6)⋅348 : (2 + 6) \cdot 3.

Aufgabe 4Numerisch

Rechne geschickt: 99 · 8. Wie lautet das Ergebnis?

Aufgabe 5Multiple Choice

Bei welcher Aufgabe darfst du die beiden Zahlen nicht vertauschen, ohne das Ergebnis zu ändern?

Aufgabe 6Freitext

Schreibe als Term und berechne: die Differenz aus dem Produkt von 6 und 7 und der Summe von 9 und 5. Warum brauchst du Klammern?