Lektion 6.6

Vierecke: Arten und Eigenschaften

16 min Lesezeit

Ein Fenster, ein Papierdrachen, eine Bodenfliese und ein Eimer von der Seite: Alle haben vier Ecken und vier Seiten. Trotzdem sehen sie sehr verschieden aus.

Wie unterscheidest du sie genau? Und stimmt es, dass ein Quadrat auch ein Rechteck ist? In dieser Lektion lernst du die wichtigsten Vierecke kennen, ihre Eigenschaften und wie sie zusammenhängen. Am Ende kannst du sie auch zeichnen.

Definition

Viereck und Diagonalen

Ein Viereck hat vier Ecken $A$ , $B$ , $C$ und $D$ , vier Seiten und vier Winkel $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ und $\delta$ . Du beschriftest die Ecken entgegen dem Uhrzeigersinn. Gegenüberliegende Seiten treffen sich in keiner Ecke. Benachbarte Seiten treffen sich in einer Ecke. Die Innenwinkel ergeben zusammen $360^\circ$ .

Eine Diagonale ist eine Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken. Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Sie heißen $e = \overline{AC}$ und $f = \overline{BD}$ . Sie sind oft ein guter Weg, um ein Viereck zu erkennen.

e = \overline{AC} \qquad f = \overline{BD}

Definition

Trapez und Parallelogramm

Ein Trapez hat mindestens ein Paar gegenüberliegender Seiten, die parallel sind. Ein Eimer von der Seite ist ein Trapez: Der Rand oben und der Boden unten sind parallel.

Ein Parallelogramm hat zwei Paare paralleler Seiten. Es sieht aus wie ein schiefes Rechteck. Seine gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang. Seine gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß. Zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen $180^\circ$ . Das folgt aus den Winkeln an Parallelen. Seine Diagonalen halbieren sich: Der Punkt, an dem sie sich schneiden, teilt jede Diagonale in zwei gleich lange Teile.

Definition

Rechteck, Raute und Quadrat

Ein Rechteck hat vier rechte Winkel. Fenster, Türen und Hefte sind Rechtecke. Es ist ein Parallelogramm. Seine Diagonalen sind gleich lang.

Eine Raute hat vier gleich lange Seiten. Das „Karo“ im Kartenspiel ist eine Raute. Sie ist ein Parallelogramm. Ihre Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Seine Diagonalen sind gleich lang und stehen senkrecht aufeinander. Ein Feld auf dem Schachbrett ist ein Quadrat.

Definition

Drachenviereck

Ein Drachenviereck hat zwei Paare gleich langer Seiten, die nebeneinander liegen. So sieht ein Papierdrachen aus. Zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß, und zwar die Winkel, in denen die zwei unterschiedlich langen Seiten zusammentreffen. Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Eine Diagonale halbiert die andere.

Definition

Übersicht der Eigenschaften

Viereck	Seiten	Winkel	Diagonalen
Trapez	mindestens ein Paar parallel	an jeder nicht parallelen Seite $180^\circ$ zusammen	nichts Besonderes
Parallelogramm	zwei Paare parallel, gegenüber gleich lang	gegenüber gleich groß	halbieren sich
Rechteck	wie Parallelogramm	vier rechte Winkel	gleich lang, halbieren sich
Raute	vier gleich lange Seiten	gegenüber gleich groß	senkrecht, halbieren sich
Quadrat	vier gleich lange Seiten	vier rechte Winkel	gleich lang, senkrecht, halbieren sich
Drachenviereck	zwei Paare gleich langer Nachbarseiten	ein Paar gegenüber gleich groß	senkrecht, eine halbiert die andere

Definition

Haus der Vierecke

Manche Vierecke sind Sonderfälle von anderen. Ein Sonderfall hat alle Eigenschaften der anderen Figur und noch mindestens eine mehr. Ein Quadrat hat vier rechte Winkel, also ist es ein Rechteck. Es hat vier gleich lange Seiten, also ist es auch eine Raute.

Viereck	ist ein Sonderfall von
Trapez	Viereck
Drachenviereck	Viereck
Parallelogramm	Trapez
Raute	Parallelogramm und Drachenviereck
Rechteck	Parallelogramm
Quadrat	Rechteck und Raute

Zeichnet man das als Haus, steht das allgemeine Viereck im Keller und das Quadrat unter dem Dach. Je höher ein Viereck steht, desto mehr Eigenschaften hat es. Es erbt alle Eigenschaften der Figuren unter sich.

Beispiel

Viereck erkennen

Welches Viereck ist gemeint?

a) Alle vier Seiten sind gleich lang, die Diagonalen sind auch gleich lang.
b) Die Diagonalen halbieren sich, sind aber ungleich lang. Es gibt keinen rechten Winkel, und die Seiten sind nicht alle gleich lang.
c) Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Nur eine Diagonale wird halbiert.

a) Vier gleich lange Seiten bedeuten eine Raute. Gleich lange Diagonalen haben Rechteck und Quadrat. Eine Raute mit gleich langen Diagonalen ist also ein Quadrat.

b) Halbierte Diagonalen deuten auf ein Parallelogramm hin. Ohne rechten Winkel und ohne vier gleich lange Seiten ist es weder Rechteck noch Raute, also ein gewöhnliches Parallelogramm.

c) Senkrechte Diagonalen, von denen nur eine halbiert wird: ein Drachenviereck.

Beispiel

Ein Rechteck zeichnen

Zeichne ein Rechteck $ABCD$ mit $\overline{AB} = 5\,\text{cm}$ und $\overline{BC} = 3\,\text{cm}$ .

Gehe so vor:

Zeichne mit dem Lineal die Strecke $\overline{AB}$ mit 5 cm Länge.
Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf $\overline{AB}$ und schiebe es, bis die lange Kante an $A$ liegt. Zeichne durch $A$ eine Senkrechte nach oben. Trage darauf 3 cm von $A$ aus ab. Das ist $D$ .
Mache dasselbe bei $B$ . Trage 3 cm nach oben ab. Das ist $C$ .
Verbinde $D$ mit $C$ . Prüfe: $\overline{DC}$ muss 5 cm lang sein.

Beispiel

Eine Raute mit dem Zirkel zeichnen

Zeichne eine Raute $ABCD$ mit der Seitenlänge 4 cm.

Gehe so vor:

Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit 4 cm Länge.
Stelle den Zirkel auf 4 cm ein. Steche in $A$ ein und zeichne einen Kreisbogen. Wähle darauf einen Punkt $D$ , der nicht auf der Geraden $AB$ liegt. Dann ist $\overline{AD} = 4\,\text{cm}$ .
Zeichne mit demselben Radius einen Bogen um $B$ und einen Bogen um $D$ . Die Bögen schneiden sich in zwei Punkten. Einer ist $A$ , der andere ist $C$ .
Verbinde $B$ mit $C$ und $D$ mit $C$ . Alle vier Seiten sind 4 cm lang. Zeichne die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ und prüfe mit dem Geodreieck, dass sie senkrecht aufeinander stehen.

Beispiel

Ein Parallelogramm im Koordinatensystem

Von einem Parallelogramm $ABCD$ kennst du $A(1|1)$ , $B(6|1)$ und $C(8|4)$ . Bestimme $D$ .

D(3|4)

Von $B$ nach $C$ gehst du 2 Einheiten nach rechts und 3 nach oben. Bei einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Also gehst du von $A$ nach $D$ genauso: $1 + 2 = 3$ nach rechts und $1 + 3 = 4$ nach oben. Probe: $D(3|4)$ und $C(8|4)$ haben dieselbe y-Koordinate. $\overline{DC}$ ist waagerecht und 5 Einheiten lang, genau wie $\overline{AB}$ .

Häufige Fehler

Ein Quadrat ist kein Rechteck

Jemand sagt: „Ein Quadrat ist kein Rechteck, denn ein Rechteck hat zwei lange und zwei kurze Seiten.“

Richtig ist

Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Mehr verlangt die Erklärung nicht. Ein Quadrat hat vier rechte Winkel, also ist es ein Rechteck, und zwar ein besonderes. Umgekehrt ist ein Rechteck nur dann ein Quadrat, wenn alle Seiten gleich lang sind.

Häufige Fehler

Diagonalen im Rechteck

Jemand sagt: „Die Diagonalen eines Rechtecks stehen senkrecht aufeinander.“

Richtig ist

Das stimmt nur beim Quadrat, bei der Raute und beim Drachenviereck. Beim Rechteck sind die Diagonalen gleich lang und halbieren sich. Sie stehen aber nur dann senkrecht, wenn das Rechteck ein Quadrat ist.

Häufige Fehler

Vier gleich lange Seiten, also Quadrat

Jemand sagt: „Alle vier Seiten sind gleich lang, also ist es ein Quadrat.“

Richtig ist

Das reicht nicht. Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute. Eine Raute kann schief aussehen. Für ein Quadrat müssen zusätzlich alle vier Winkel rechte Winkel sein.

Zusammenfassung

Ein Viereck hat vier Ecken, vier Seiten, vier Winkel und zwei Diagonalen. Die Innenwinkel ergeben zusammen $360^\circ$ .
Trapez: mindestens ein Paar paralleler Seiten. Parallelogramm: zwei Paare paralleler Seiten, die Diagonalen halbieren sich.
Rechteck: vier rechte Winkel, gleich lange Diagonalen. Raute: vier gleich lange Seiten, senkrechte Diagonalen. Quadrat: beides zusammen.
Drachenviereck: zwei Paare gleich langer Nachbarseiten, senkrechte Diagonalen.
Haus der Vierecke: Ein Sonderfall hat alle Eigenschaften der Figur unter sich. Das Quadrat ist ein Rechteck, eine Raute, ein Parallelogramm und ein Trapez.
Zeichnen: Rechtecke mit Senkrechten und Lineal, Rauten mit dem Zirkel, Parallelogramme mit Koordinaten oder Parallelen.

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Welche Aussage über Vierecke stimmt?

Aufgabe 2Multiple Choice

Bei welchem dieser Vierecke stehen die Diagonalen immer senkrecht aufeinander?

Aufgabe 3Numerisch

In einem Parallelogramm ist $\alpha = 70^\circ$ . Wie groß ist der benachbarte Winkel $\beta$ in Grad?

Aufgabe 4Numerisch

Ein Drachenviereck hat die Winkel $110^\circ$ , $110^\circ$ und $70^\circ$ . Wie groß ist der vierte Winkel in Grad?

Aufgabe 5Numerisch

Von einem Parallelogramm $ABCD$ kennst du $A(2|1)$ , $B(7|1)$ und $C(9|3)$ . Welche x-Koordinate hat $D$ ?

Aufgabe 6Freitext

Erkläre, warum jedes Quadrat auch ein Rechteck ist, aber nicht jedes Rechteck ein Quadrat.

Lektion 6.6 · Geometrische Grundbegriffe und ebene Figuren

Vierecke: Arten und Eigenschaften

Ein Fenster, ein Papierdrachen, eine Bodenfliese und ein Eimer von der Seite: Alle haben vier Ecken und vier Seiten. Trotzdem sehen sie sehr verschieden aus.

Definition

Viereck und Diagonalen

e = \overline{AC} \qquad f = \overline{BD}

Definition

Trapez und Parallelogramm

Ein Trapez hat mindestens ein Paar gegenüberliegender Seiten, die parallel sind. Ein Eimer von der Seite ist ein Trapez: Der Rand oben und der Boden unten sind parallel.

Definition

Rechteck, Raute und Quadrat

Ein Rechteck hat vier rechte Winkel. Fenster, Türen und Hefte sind Rechtecke. Es ist ein Parallelogramm. Seine Diagonalen sind gleich lang.

Eine Raute hat vier gleich lange Seiten. Das „Karo“ im Kartenspiel ist eine Raute. Sie ist ein Parallelogramm. Ihre Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Seine Diagonalen sind gleich lang und stehen senkrecht aufeinander. Ein Feld auf dem Schachbrett ist ein Quadrat.

Definition

Drachenviereck

Definition

Übersicht der Eigenschaften

Viereck	Seiten	Winkel	Diagonalen
Trapez	mindestens ein Paar parallel	an jeder nicht parallelen Seite $180^\circ$ zusammen	nichts Besonderes
Parallelogramm	zwei Paare parallel, gegenüber gleich lang	gegenüber gleich groß	halbieren sich
Rechteck	wie Parallelogramm	vier rechte Winkel	gleich lang, halbieren sich
Raute	vier gleich lange Seiten	gegenüber gleich groß	senkrecht, halbieren sich
Quadrat	vier gleich lange Seiten	vier rechte Winkel	gleich lang, senkrecht, halbieren sich
Drachenviereck	zwei Paare gleich langer Nachbarseiten	ein Paar gegenüber gleich groß	senkrecht, eine halbiert die andere

Definition

Haus der Vierecke

Viereck	ist ein Sonderfall von
Trapez	Viereck
Drachenviereck	Viereck
Parallelogramm	Trapez
Raute	Parallelogramm und Drachenviereck
Rechteck	Parallelogramm
Quadrat	Rechteck und Raute

Beispiel

Viereck erkennen

Welches Viereck ist gemeint?

a) Alle vier Seiten sind gleich lang, die Diagonalen sind auch gleich lang.
b) Die Diagonalen halbieren sich, sind aber ungleich lang. Es gibt keinen rechten Winkel, und die Seiten sind nicht alle gleich lang.
c) Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Nur eine Diagonale wird halbiert.

a) Vier gleich lange Seiten bedeuten eine Raute. Gleich lange Diagonalen haben Rechteck und Quadrat. Eine Raute mit gleich langen Diagonalen ist also ein Quadrat.

b) Halbierte Diagonalen deuten auf ein Parallelogramm hin. Ohne rechten Winkel und ohne vier gleich lange Seiten ist es weder Rechteck noch Raute, also ein gewöhnliches Parallelogramm.

c) Senkrechte Diagonalen, von denen nur eine halbiert wird: ein Drachenviereck.

Beispiel

Ein Rechteck zeichnen

Zeichne ein Rechteck $ABCD$ mit $\overline{AB} = 5\,\text{cm}$ und $\overline{BC} = 3\,\text{cm}$ .

Gehe so vor:

Zeichne mit dem Lineal die Strecke $\overline{AB}$ mit 5 cm Länge.
Lege die Mittellinie des Geodreiecks auf $\overline{AB}$ und schiebe es, bis die lange Kante an $A$ liegt. Zeichne durch $A$ eine Senkrechte nach oben. Trage darauf 3 cm von $A$ aus ab. Das ist $D$ .
Mache dasselbe bei $B$ . Trage 3 cm nach oben ab. Das ist $C$ .
Verbinde $D$ mit $C$ . Prüfe: $\overline{DC}$ muss 5 cm lang sein.

Beispiel

Eine Raute mit dem Zirkel zeichnen

Zeichne eine Raute $ABCD$ mit der Seitenlänge 4 cm.

Gehe so vor:

Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit 4 cm Länge.
Stelle den Zirkel auf 4 cm ein. Steche in $A$ ein und zeichne einen Kreisbogen. Wähle darauf einen Punkt $D$ , der nicht auf der Geraden $AB$ liegt. Dann ist $\overline{AD} = 4\,\text{cm}$ .
Zeichne mit demselben Radius einen Bogen um $B$ und einen Bogen um $D$ . Die Bögen schneiden sich in zwei Punkten. Einer ist $A$ , der andere ist $C$ .
Verbinde $B$ mit $C$ und $D$ mit $C$ . Alle vier Seiten sind 4 cm lang. Zeichne die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ und prüfe mit dem Geodreieck, dass sie senkrecht aufeinander stehen.

Beispiel

Ein Parallelogramm im Koordinatensystem

Von einem Parallelogramm $ABCD$ kennst du $A(1|1)$ , $B(6|1)$ und $C(8|4)$ . Bestimme $D$ .

D(3|4)

Häufige Fehler

Ein Quadrat ist kein Rechteck

Jemand sagt: „Ein Quadrat ist kein Rechteck, denn ein Rechteck hat zwei lange und zwei kurze Seiten.“

Häufige Fehler

Diagonalen im Rechteck

Jemand sagt: „Die Diagonalen eines Rechtecks stehen senkrecht aufeinander.“

Häufige Fehler

Vier gleich lange Seiten, also Quadrat

Jemand sagt: „Alle vier Seiten sind gleich lang, also ist es ein Quadrat.“

Das reicht nicht. Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute. Eine Raute kann schief aussehen. Für ein Quadrat müssen zusätzlich alle vier Winkel rechte Winkel sein.

Zusammenfassung

Ein Viereck hat vier Ecken, vier Seiten, vier Winkel und zwei Diagonalen. Die Innenwinkel ergeben zusammen $360^\circ$ .
Trapez: mindestens ein Paar paralleler Seiten. Parallelogramm: zwei Paare paralleler Seiten, die Diagonalen halbieren sich.
Rechteck: vier rechte Winkel, gleich lange Diagonalen. Raute: vier gleich lange Seiten, senkrechte Diagonalen. Quadrat: beides zusammen.
Drachenviereck: zwei Paare gleich langer Nachbarseiten, senkrechte Diagonalen.
Haus der Vierecke: Ein Sonderfall hat alle Eigenschaften der Figur unter sich. Das Quadrat ist ein Rechteck, eine Raute, ein Parallelogramm und ein Trapez.
Zeichnen: Rechtecke mit Senkrechten und Lineal, Rauten mit dem Zirkel, Parallelogramme mit Koordinaten oder Parallelen.