Lektion 3.6

Kreis und Gerade: Sehne, Sekante, Tangente und Peripheriewinkel

18 min Lesezeit

Eine gerade Straße liegt neben einem runden Kreisverkehr. Du schiebst sie in Gedanken Stück für Stück zur Mitte hin. Zuerst liegt sie ganz außerhalb. Dann streift sie den Kreisverkehr in genau einem Punkt. Schiebst du weiter, läuft sie quer durch ihn hindurch. Diese drei Lagen haben in der Geometrie eigene Namen.

Ein zweites Beispiel: Ein Fußballtor hat zwei Pfosten $A$ und $B$ . Eine Spielerin steht an einem Punkt $P$ und sieht das Tor unter einem bestimmten Winkel, dem Schusswinkel. Wo darf sie stehen, damit dieser Winkel gleich bleibt? Die Antwort ist ein Stück Kreislinie. Warum, klärst du in dieser Lektion.

Definition

Passante, Tangente, Sekante und Sehne

Ein Kreis hat den Mittelpunkt $M$ und den Radius $r$ . Eine Gerade $g$ hat von $M$ den Abstand $d$ , gemessen auf dem Lot. Dann gibt es drei Fälle:

Name	gemeinsame Punkte mit dem Kreis	Abstand
Passante	keiner	$d > r$
Tangente	genau einer, der Berührpunkt	$d = r$
Sekante	genau zwei	$d < r$

Die Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten einer Sekante mit dem Kreis heißt Sehne. Ein Durchmesser ist eine Sehne durch den Mittelpunkt. Er ist die längste Sehne des Kreises. Eine Sekante ist eine Gerade, sie hat keine Länge. Eine Sehne ist eine Strecke und hat eine.

Satz

Berührungsradius

Der Radius zum Berührpunkt einer Tangente steht senkrecht auf der Tangente.

\overline{MB} \perp t

Beispiel

Lage bestimmen und Tangente zeichnen

a) Ein Kreis hat den Radius $r = 5$ cm. Welche Lage hat eine Gerade, die von $M$ den Abstand 7 cm, 5 cm oder 3 cm hat?
b) Zeichne in einem Punkt $B$ eines Kreises die Tangente.

a) Bei 7 cm ist $d > r$ : Passante. Bei 5 cm ist $d = r$ : Tangente. Bei 3 cm ist $d < r$ : Sekante.

b) Zeichne den Radius $\overline{MB}$ . Lege das Geodreieck mit der Mittellinie an $\overline{MB}$ und schiebe es, bis die lange Kante durch $B$ geht. Zeichne die Gerade entlang der langen Kante. Sie steht senkrecht auf dem Berührungsradius und ist damit die Tangente.

Beispiel

Winkel mit dem Berührungsradius

Die Gerade $t$ ist Tangente in $B$ . Der Punkt $P$ liegt auf $t$ , und der Winkel bei $M$ im Dreieck $MBP$ misst $40^\circ$ . Wie groß ist der Winkel bei $P$ ?

Der Berührungsradius $\overline{MB}$ steht senkrecht auf $t$ . Das Dreieck $MBP$ hat bei $B$ einen rechten Winkel. Der Winkel bei $P$ ist $180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$ .

Definition

Zentriwinkel und Peripheriewinkel

Sei $\overline{AB}$ eine Sehne, die kein Durchmesser ist. Der Winkel $\angle AMB$ am Mittelpunkt heißt Zentriwinkel über $\overline{AB}$ . Den Winkel mit Scheitel $M$ zwischen den Strahlen durch $A$ und $B$ schreibst du so. Liegt $C$ auf dem Kreis auf der Seite von $\overline{AB}$ , auf der auch $M$ liegt, heißt der Winkel $\angle ACB$ Peripheriewinkel über $\overline{AB}$ . Die Peripherie ist die Kreislinie.

Satz

Zentriwinkelsatz und Peripheriewinkelsatz

Zentriwinkelsatz: Der Zentriwinkel über einer Sehne ist doppelt so groß wie jeder Peripheriewinkel über dieser Sehne.
Peripheriewinkelsatz: Alle Peripheriewinkel über derselben Sehne sind gleich groß.

\angle AMB = 2 \cdot \angle ACB

Beispiel

Zentri- und Peripheriewinkel

a) Der Zentriwinkel über einer Sehne misst $100^\circ$ . Wie groß ist ein Peripheriewinkel?
b) Ein Peripheriewinkel über $\overline{AB}$ misst $35^\circ$ . Wie groß sind die Winkel im Dreieck $AMB$ ?

\begin{aligned} \text{a)}\; & 100^\circ : 2 = 50^\circ \\ \text{b)}\; & \angle AMB = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ, \quad \angle MAB = \angle MBA = (180^\circ - 70^\circ) : 2 = 55^\circ \end{aligned}

In a) halbierst du den Zentriwinkel. In b) verdoppelst du den Peripheriewinkel und bekommst den Zentriwinkel. Das Dreieck $AMB$ ist gleichschenklig, denn $\overline{MA}$ und $\overline{MB}$ sind Radien. Die beiden Basiswinkel teilen sich die restlichen $110^\circ$ . Der Schusswinkel vom Anfang bleibt also auf dem Kreisbogen gleich. Ein Durchmesser hat den Zentriwinkel $180^\circ$ , und der Peripheriewinkel ist $90^\circ$ . Das ist der Satz des Thales.

Definition

Sehnenviereck

Ein Viereck, dessen vier Ecken auf einem Kreis liegen, heißt Sehnenviereck. Seine vier Seiten sind Sehnen. Jeder Kreis gehört zu vielen Sehnenvierecken, aber nicht jedes Viereck ist eines.

Satz

Satz vom Sehnenviereck

Im Sehnenviereck ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu $180^\circ$ .

\alpha + \gamma = 180^\circ \qquad \beta + \delta = 180^\circ

Beispiel

Winkel im Sehnenviereck

Im Sehnenviereck $ABCD$ ist $\alpha = 85^\circ$ und $\beta = 70^\circ$ . Berechne $\gamma$ und $\delta$ .

\gamma = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ \qquad \delta = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ

$\gamma$ liegt gegenüber von $\alpha$ , $\delta$ gegenüber von $\beta$ . Probe: $85^\circ + 70^\circ + 95^\circ + 110^\circ = 360^\circ$ .

Häufige Fehler

Sehne und Sekante verwechseln

Jemand sagt: „Die Sekante ist 6 cm lang.“

Richtig ist

Eine Sekante ist eine Gerade und hat keine Länge. Die Strecke zwischen ihren beiden Schnittpunkten mit dem Kreis ist die Sehne. Sie kann 6 cm lang sein.

Häufige Fehler

Zentriwinkel und Peripheriewinkel vertauschen

Jemand rechnet: „Der Zentriwinkel misst $80^\circ$ , also misst der Peripheriewinkel $160^\circ$ .“

Richtig ist

Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel, nicht umgekehrt. Der Peripheriewinkel misst $80^\circ : 2 = 40^\circ$ .

Häufige Fehler

Jedes Viereck hat einen Umkreis

Jemand sagt: „Durch die vier Ecken eines Parallelogramms mit den Winkeln $70^\circ$ und $110^\circ$ geht ein Kreis.“

Richtig ist

Dann wäre es ein Sehnenviereck. Gegenüberliegende Winkel müssten sich zu $180^\circ$ ergänzen. Beim Parallelogramm sind gegenüberliegende Winkel gleich groß, hier $70^\circ + 70^\circ = 140^\circ$ . Es gibt keinen solchen Kreis.

Zusammenfassung

Eine Gerade hat mit einem Kreis keinen Punkt (Passante), genau einen (Tangente) oder zwei (Sekante). Die Strecke zwischen den zwei Schnittpunkten ist die Sehne.
Der Abstand $d$ der Geraden vom Mittelpunkt entscheidet: $d > r$ Passante, $d = r$ Tangente, $d < r$ Sekante.
Der Berührungsradius steht senkrecht auf der Tangente.
Zentriwinkelsatz: Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel über derselben Sehne.
Peripheriewinkelsatz: Alle Peripheriewinkel über derselben Sehne (auf derselben Seite) sind gleich groß. Der Satz des Thales ist der Sonderfall mit dem Durchmesser.
Im Sehnenviereck ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu $180^\circ$ .

Übungen

Aufgabe 1Multiple Choice

Ein Kreis hat den Radius 4 cm. Eine Gerade hat vom Mittelpunkt den Abstand 4 cm. Wie heißt die Gerade?

Aufgabe 2Numerisch

Der Zentriwinkel über einer Sehne misst $130^\circ$ . Wie groß ist ein Peripheriewinkel über dieser Sehne in Grad?

Aufgabe 3Numerisch

Die Gerade $t$ ist Tangente in $B$ , und $P$ liegt auf $t$ . Im Dreieck $MBP$ misst der Winkel bei $M$ genau $62^\circ$ . Wie groß ist der Winkel bei $P$ in Grad?

Aufgabe 4Numerisch

Im Sehnenviereck $ABCD$ ist $\alpha = 100^\circ$ . Wie groß ist der gegenüberliegende Winkel $\gamma$ in Grad?

Aufgabe 5Multiple Choice

Welche Aussage ist richtig?

Aufgabe 6Freitext

Eine Spielerin steht auf einem Kreisbogen durch die Torpfosten $A$ und $B$ und sieht das Tor unter $30^\circ$ . Ein Mitspieler steht auf demselben Bogen auf derselben Seite des Tors an einer anderen Stelle. Unter welchem Winkel sieht er das Tor? Wie groß ist der Zentriwinkel über $\overline{AB}$ ? Begründe.

Lektion 3.6 · Dreiecke, Kongruenz und Kreissätze

Kreis und Gerade: Sehne, Sekante, Tangente und Peripheriewinkel

Definition

Passante, Tangente, Sekante und Sehne

Ein Kreis hat den Mittelpunkt $M$ und den Radius $r$ . Eine Gerade $g$ hat von $M$ den Abstand $d$ , gemessen auf dem Lot. Dann gibt es drei Fälle:

Name	gemeinsame Punkte mit dem Kreis	Abstand
Passante	keiner	$d > r$
Tangente	genau einer, der Berührpunkt	$d = r$
Sekante	genau zwei	$d < r$

Satz

Berührungsradius

Der Radius zum Berührpunkt einer Tangente steht senkrecht auf der Tangente.

\overline{MB} \perp t

Beweis

Sei $t$ eine Tangente und $B$ ihr Berührpunkt. Alle anderen Punkte von $t$ liegen außerhalb des Kreises. Läge einer innen, müsste $t$ den Kreis noch ein zweites Mal schneiden. Alle anderen Punkte von $t$ haben also von $M$ einen Abstand größer als $r$ . Der Punkt $B$ hat den Abstand $r$ . Damit ist $B$ der Punkt von $t$ , der $M$ am nächsten liegt. Der kürzeste Weg von $M$ zu einer Geraden ist das Lot. Also ist $\overline{MB}$ das Lot auf $t$ und steht senkrecht auf $t$ .

q.e.d.

Beispiel

Lage bestimmen und Tangente zeichnen

a) Ein Kreis hat den Radius $r = 5$ cm. Welche Lage hat eine Gerade, die von $M$ den Abstand 7 cm, 5 cm oder 3 cm hat?
b) Zeichne in einem Punkt $B$ eines Kreises die Tangente.

a) Bei 7 cm ist $d > r$ : Passante. Bei 5 cm ist $d = r$ : Tangente. Bei 3 cm ist $d < r$ : Sekante.

Beispiel

Winkel mit dem Berührungsradius

Die Gerade $t$ ist Tangente in $B$ . Der Punkt $P$ liegt auf $t$ , und der Winkel bei $M$ im Dreieck $MBP$ misst $40^\circ$ . Wie groß ist der Winkel bei $P$ ?

Der Berührungsradius $\overline{MB}$ steht senkrecht auf $t$ . Das Dreieck $MBP$ hat bei $B$ einen rechten Winkel. Der Winkel bei $P$ ist $180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$ .

Definition

Zentriwinkel und Peripheriewinkel

Satz

Zentriwinkelsatz und Peripheriewinkelsatz

Zentriwinkelsatz: Der Zentriwinkel über einer Sehne ist doppelt so groß wie jeder Peripheriewinkel über dieser Sehne.
Peripheriewinkelsatz: Alle Peripheriewinkel über derselben Sehne sind gleich groß.

\angle AMB = 2 \cdot \angle ACB

Beweis

Wir betrachten den Fall, dass $M$ im Inneren des Dreiecks $ABC$ liegt. Zeichne den Durchmesser $\overline{CD}$ . Das Dreieck $AMC$ ist gleichschenklig, denn $\overline{MA} = \overline{MC}$ . Seine Basiswinkel bei $A$ und $C$ seien $\varphi$ . Der Winkel $\angle AMD$ ist der Außenwinkel bei $M$ . Nach dem Außenwinkelsatz ist er $\varphi + \varphi = 2\varphi$ . Ebenso hat das gleichschenklige Dreieck $BMC$ die Basiswinkel $\psi$ , und $\angle DMB = 2\psi$ . Zusammen ist $\angle AMB = 2\varphi + 2\psi = 2 \cdot (\varphi + \psi)$ . Der Winkel $\angle ACB$ besteht aus den Teilen $\varphi$ und $\psi$ , also ist $\angle AMB = 2 \cdot \angle ACB$ . Der Peripheriewinkelsatz folgt: Jeder Peripheriewinkel ist die Hälfte desselben Zentriwinkels. Liegt $M$ nicht im Dreieck, rechnest du ähnlich mit einer Differenz statt einer Summe.

q.e.d.

Beispiel

Zentri- und Peripheriewinkel

\begin{aligned} \text{a)}\; & 100^\circ : 2 = 50^\circ \\ \text{b)}\; & \angle AMB = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ, \quad \angle MAB = \angle MBA = (180^\circ - 70^\circ) : 2 = 55^\circ \end{aligned}

Definition

Sehnenviereck

Ein Viereck, dessen vier Ecken auf einem Kreis liegen, heißt Sehnenviereck. Seine vier Seiten sind Sehnen. Jeder Kreis gehört zu vielen Sehnenvierecken, aber nicht jedes Viereck ist eines.

Satz

Satz vom Sehnenviereck

Im Sehnenviereck ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu $180^\circ$ .

\alpha + \gamma = 180^\circ \qquad \beta + \delta = 180^\circ

Beweis

Der Mittelpunkt $M$ liege im Inneren des Vierecks $ABCD$ . Verbinde $M$ mit den vier Ecken. Es entstehen vier gleichschenklige Dreiecke, denn alle vier Strecken sind Radien. Ihre Basiswinkel seien $p$ bei $A$ und $B$ , $q$ bei $B$ und $C$ , $r$ bei $C$ und $D$ und $s$ bei $D$ und $A$ . Dann sind die Winkel des Vierecks $\alpha = s + p$ , $\beta = p + q$ , $\gamma = q + r$ und $\delta = r + s$ . Ihre Summe ist $2 \cdot (p + q + r + s) = 360^\circ$ , also $p + q + r + s = 180^\circ$ . Damit ist $\alpha + \gamma = (s + p) + (q + r) = 180^\circ$ und $\beta + \delta = (p + q) + (r + s) = 180^\circ$ . Der Satz gilt auch, wenn $M$ nicht im Inneren liegt.

q.e.d.

Beispiel

Winkel im Sehnenviereck

Im Sehnenviereck $ABCD$ ist $\alpha = 85^\circ$ und $\beta = 70^\circ$ . Berechne $\gamma$ und $\delta$ .

\gamma = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ \qquad \delta = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ

$\gamma$ liegt gegenüber von $\alpha$ , $\delta$ gegenüber von $\beta$ . Probe: $85^\circ + 70^\circ + 95^\circ + 110^\circ = 360^\circ$ .

Häufige Fehler

Sehne und Sekante verwechseln

Jemand sagt: „Die Sekante ist 6 cm lang.“

Eine Sekante ist eine Gerade und hat keine Länge. Die Strecke zwischen ihren beiden Schnittpunkten mit dem Kreis ist die Sehne. Sie kann 6 cm lang sein.

Häufige Fehler

Zentriwinkel und Peripheriewinkel vertauschen

Jemand rechnet: „Der Zentriwinkel misst $80^\circ$ , also misst der Peripheriewinkel $160^\circ$ .“

Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel, nicht umgekehrt. Der Peripheriewinkel misst $80^\circ : 2 = 40^\circ$ .

Häufige Fehler

Jedes Viereck hat einen Umkreis

Jemand sagt: „Durch die vier Ecken eines Parallelogramms mit den Winkeln $70^\circ$ und $110^\circ$ geht ein Kreis.“

Zusammenfassung

Eine Gerade hat mit einem Kreis keinen Punkt (Passante), genau einen (Tangente) oder zwei (Sekante). Die Strecke zwischen den zwei Schnittpunkten ist die Sehne.
Der Abstand $d$ der Geraden vom Mittelpunkt entscheidet: $d > r$ Passante, $d = r$ Tangente, $d < r$ Sekante.
Der Berührungsradius steht senkrecht auf der Tangente.
Zentriwinkelsatz: Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel über derselben Sehne.
Peripheriewinkelsatz: Alle Peripheriewinkel über derselben Sehne (auf derselben Seite) sind gleich groß. Der Satz des Thales ist der Sonderfall mit dem Durchmesser.
Im Sehnenviereck ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu $180^\circ$ .