Lektion 2.3

Ähnlichkeit und zentrische Streckung

17 min Lesezeit

Du kopierst eine Seite von DIN A4 auf DIN A3. Am Kopierer stellst du etwa 141 % ein. Alle Längen werden also etwa 1,41-mal so groß, und das Bild sieht genauso aus wie vorher, nur größer. Ein A3-Blatt bietet aber genau doppelt so viel Fläche wie ein A4-Blatt. Wie passt das zusammen? Warum bringen 141 % bei den Längen eine Verdopplung der Fläche?

Eine zweite Frage: Auf einer Wanderkarte mit dem Maßstab 1 : 25 000 ist ein Weg 6,4 cm lang. Wie lang ist er in Wirklichkeit? In beiden Fällen wird eine Figur vergrößert oder verkleinert, ohne ihre Form zu ändern. Diese Lektion beschreibt das genau.

Definition

Zentrische Streckung

Wähle einen Punkt $Z$ , das Streckzentrum, und eine positive Zahl $k$ , den Streckfaktor. Die zentrische Streckung bildet jeden Punkt $P$ auf den Punkt $P'$ ab, der auf dem Strahl von $Z$ durch $P$ liegt und $k$ -mal so weit von $Z$ entfernt ist wie $P$ . Das Zentrum $Z$ selbst bleibt an seinem Platz.

Bei $k > 1$ wird die Figur vergrößert, bei $k < 1$ verkleinert, bei $k = 1$ bleibt sie gleich. Hier betrachten wir nur positive Streckfaktoren. Für die Abbildung einer Figur streckst du alle ihre Eckpunkte und verbindest die Bildpunkte wieder.

\overline{ZP'} = k \cdot \overline{ZP}

Definition

Eigenschaften der zentrischen Streckung

Bei einer zentrischen Streckung mit dem Faktor $k$ gilt:

Jede Strecke wird $k$ -mal so lang: $\overline{A'B'} = k \cdot \overline{AB}$ .
Winkel bleiben gleich groß.
Das Bild einer Geraden ist eine zu ihr parallele Gerade. Geht die Gerade durch $Z$ , ist sie ihr eigenes Bild.
Die Figur behält ihre Form. Nur ihre Größe ändert sich.

Beispiel

Ein Dreieck strecken

Strecke das Dreieck mit $A(4 | 2)$ , $B(6 | 2)$ , $C(5 | 4)$ vom Zentrum $Z(2 | 1)$ aus mit dem Faktor $k = 2$ .

A'(6 | 3) \qquad B'(10 | 3) \qquad C'(8 | 7)

Gehe von $Z$ aus den doppelten Weg. Von $Z$ zu $A$ sind es 2 nach rechts und 1 nach oben. Von $Z$ aus gehst du also 4 nach rechts und 2 nach oben und landest bei $A'(6 | 3)$ . Von $Z$ zu $B$ sind es 4 nach rechts und 1 nach oben, doppelt 8 und 2: $B'(10 | 3)$ . Von $Z$ zu $C$ sind es 3 und 3, doppelt 6 und 6: $C'(8 | 7)$ . Prüfe die Eigenschaften: $\overline{AB} = 2$ und $\overline{A'B'} = 4$ . Beide Strecken sind waagerecht, also parallel.

Definition

Ähnlichkeit und Maßstab

Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn die eine aus der anderen durch eine zentrische Streckung und danach durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln hervorgeht. Sie haben dieselbe Form, aber nicht unbedingt dieselbe Größe. Man schreibt $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ . In ähnlichen Figuren sind entsprechende Winkel gleich groß, und alle entsprechenden Strecken stehen im gleichen Verhältnis $k$ . Kongruente Figuren sind der Sonderfall $k = 1$ .

Beim Maßstab $1 : n$ ist ein Bild, zum Beispiel eine Karte, $n$ -mal kleiner als die Wirklichkeit. Es ist also $k = \frac{1}{n}$ . Beim Maßstab $n : 1$ ist das Bild $n$ -mal größer, etwa bei einem Mikroskopbild.

Beispiel

Mit dem Maßstab rechnen

Eine Wanderkarte hat den Maßstab $1 : 25\,000$ . Wie lang ist ein Weg in Wirklichkeit, der auf der Karte 6,4 cm lang ist? Wie lang erscheint ein 3 km langer Weg auf der Karte?

\begin{aligned} 6{,}4 \cdot 25\,000 &= 160\,000 \text{ cm} = 1\,600 \text{ m} \\ 3 \text{ km} &= 300\,000 \text{ cm}, \quad 300\,000 : 25\,000 = 12 \text{ cm} \end{aligned}

Die Wirklichkeit ist 25 000-mal größer als die Karte. Du multiplizierst die Kartenlänge mit 25 000 und wandelst dann um: Der Weg ist 1,6 km lang. Für den umgekehrten Weg rechnest du die Wirklichkeit in Zentimeter um und teilst durch 25 000. Der 3 km lange Weg ist auf der Karte 12 cm lang.

Definition

Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in einer dieser Angaben übereinstimmen:

WW: in zwei Winkeln. Der dritte Winkel passt dann auch, denn die Winkelsumme ist 180°.
SSS: im Verhältnis aller drei Seiten: $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$ .
SWS: im Verhältnis zweier Seiten und im eingeschlossenen Winkel.
SsW: im Verhältnis zweier Seiten und im Winkel, der der größeren dieser beiden Seiten gegenüberliegt.

Die Sätze entsprechen den Kongruenzsätzen. Der Unterschied ist: Statt gleich langer Seiten genügt das gleiche Verhältnis der Seiten.

Beispiel

Ähnlichkeit prüfen und Seiten berechnen

a) Das Dreieck $ABC$ hat die Winkel $\alpha = 50°$ und $\beta = 60°$ . Das Dreieck $DEF$ hat $\delta = 60°$ und $\varepsilon = 70°$ . Sind sie ähnlich?
b) Das Dreieck $ABC$ hat die Seiten $a = 4$ , $b = 6$ , $c = 8$ . Das ähnliche Dreieck $A'B'C'$ hat die Seite $b' = 9$ . Berechne $a'$ und $c'$ .

\begin{aligned} \text{a)}\; & \gamma = 180° - 50° - 60° = 70° \qquad \zeta = 180° - 60° - 70° = 50° \\ \text{b)}\; & k = \frac{9}{6} = 1{,}5 \qquad a' = 1{,}5 \cdot 4 = 6 \qquad c' = 1{,}5 \cdot 8 = 12 \end{aligned}

In a) hat das erste Dreieck die Winkel 50°, 60°, 70° und das zweite 60°, 70°, 50°. Sie stimmen in zwei Winkeln überein, also sind sie nach WW ähnlich. In b) liefert die bekannte Seitenpaarung $b$ und $b'$ den Streckfaktor $k = 1{,}5$ . Mit ihm rechnest du die anderen Seiten aus.

Beispiel

Die Höhe eines Baums

Ein 1,5 m langer, senkrecht stehender Stab wirft einen Schatten von 2 m. Zur gleichen Zeit wirft ein Baum auf dem ebenen Boden einen Schatten von 12 m. Wie hoch ist der Baum?

k = \frac{12}{2} = 6 \qquad h = 6 \cdot 1{,}5 = 9

Die Sonnenstrahlen sind parallel, und Stab und Baum stehen senkrecht. Beide Dreiecke aus Gegenstand, Schatten und Sonnenstrahl haben einen rechten Winkel und denselben Winkel am Boden. Sie sind nach WW ähnlich. Die Schatten verhalten sich wie 12 : 2 = 6, und so auch die Höhen. Der Baum ist 9 m hoch.

Definition

Flächen- und Volumenänderung

Bei einer Streckung mit dem Faktor $k$ werden alle Längen $k$ -mal so groß. Die Flächeninhalte werden $k^2$ -mal so groß und die Volumen $k^3$ -mal so groß.

Das siehst du am Rechteck mit den Seiten $a$ und $b$ : Es wird zu einem Rechteck mit den Seiten $ka$ und $kb$ und hat den Flächeninhalt $ka \cdot kb = k^2 ab$ . Bei einem Quader mit den Kanten $a$ , $b$ , $c$ ist das Volumen danach $ka \cdot kb \cdot kc = k^3 abc$ . Dasselbe gilt für jede Figur und jeden Körper, denn man kann sie aus kleinen Quadraten oder Würfeln annähern.

A' = k^2 \cdot A \qquad V' = k^3 \cdot V

Beispiel

Fläche und Volumen beim Strecken

a) Ein Foto ist 10 cm breit und 15 cm hoch. Es wird als Poster mit $k = 3$ gedruckt. Wie groß ist die Fläche des Posters?
b) Ein Glas fasst 250 ml. Ein ähnliches Glas ist doppelt so hoch. Wie viel fasst es?
c) Wie groß ist $k$ bei A4 auf A3?

\begin{aligned} \text{a)}\; & 150 \cdot 3^2 = 150 \cdot 9 = 1\,350 \text{ cm}^2 \\ \text{b)}\; & 250 \cdot 2^3 = 250 \cdot 8 = 2\,000 \text{ ml} \\ \text{c)}\; & k^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad k = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \end{aligned}

In a) hat das Foto $10 \cdot 15 = 150$ cm². Das Poster ist 30 cm mal 45 cm groß, also $1\,350$ cm². In b) ist $k = 2$ , das Volumen wird 8-mal so groß: 2 Liter. In c) hat A3 die doppelte Fläche von A4, also ist $k^2 = 2$ . Das erklärt die 141 % aus der Einleitung.

Häufige Fehler

Doppelte Länge heißt doppelte Fläche

Jemand sagt: Ein Würfel mit der doppelten Kantenlänge hat die doppelte Oberfläche und das doppelte Volumen.

Richtig ist

Bei $k = 2$ wird jede Fläche $2^2 = 4$ -mal so groß und das Volumen $2^3 = 8$ -mal so groß. Ein Würfel mit der Kante 2 cm hat das Volumen 8 cm³. Mit der Kante 4 cm hat er 64 cm³.

Häufige Fehler

Addieren statt multiplizieren

Ein Rechteck mit 4 cm mal 6 cm wird vergrößert, indem man jede Seite um 2 cm verlängert. Jemand sagt, das neue Rechteck mit 6 cm mal 8 cm sei ähnlich zum alten.

Richtig ist

Beim Strecken werden alle Längen mit demselben Faktor multipliziert. Hier ist $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ , aber $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ . Die Verhältnisse sind verschieden, also ändert sich die Form. Ähnlich wäre zum Beispiel 6 cm mal 9 cm mit $k = 1{,}5$ .

Häufige Fehler

Den Maßstab andersherum lesen

Jemand liest den Maßstab $1 : 25\,000$ so: 1 cm in der Wirklichkeit sind 25 000 cm auf der Karte.

Richtig ist

Es ist umgekehrt. Beim Maßstab $1 : 25\,000$ steht die 1 für die Karte. 1 cm auf der Karte sind 25 000 cm in der Wirklichkeit, also 250 m.

Zusammenfassung

Bei der zentrischen Streckung mit Zentrum $Z$ und Faktor $k$ liegt der Bildpunkt $P'$ auf dem Strahl von $Z$ durch $P$ , und es gilt $\overline{ZP'} = k \cdot \overline{ZP}$ . Winkel bleiben gleich, Strecken werden $k$ -mal so lang, Geraden gehen in parallele Geraden über.
Ähnliche Figuren haben dieselbe Form. Entsprechende Winkel sind gleich, entsprechende Strecken stehen im selben Verhältnis $k$ .
Beim Maßstab $1 : n$ ist $k = \frac{1}{n}$ .
Ähnlichkeitssätze für Dreiecke: WW, SSS, SWS und SsW, jeweils mit gleichem Verhältnis der Seiten statt gleich langer Seiten.
Mit dem Streckfaktor berechnest du unbekannte Strecken in ähnlichen Figuren, zum Beispiel die Höhe eines Baums aus den Schatten.
Flächeninhalte wachsen auf das $k^2$ -fache, Volumen auf das $k^3$ -fache.

Übungen

Aufgabe 1Numerisch

Eine Strecke $AB$ ist 6 cm lang. Sie wird mit dem Faktor $k = 2{,}5$ gestreckt. Wie lang ist die Bildstrecke $A'B'$ in Zentimetern?

Aufgabe 2Numerisch

Ein Grundriss hat den Maßstab $1 : 200$ . Eine Wand ist im Plan 7,5 cm lang. Wie lang ist die Wand in Wirklichkeit in Metern?

Aufgabe 3Multiple Choice

Ein Dreieck hat die Seiten 3 cm, 5 cm und 7 cm. Welches Dreieck ist zu ihm ähnlich?

Aufgabe 4Numerisch

Ein Quader hat das Volumen 40 cm³. Alle seine Kanten werden mit dem Faktor 3 gestreckt. Wie groß ist das Volumen des neuen Quaders in Kubikzentimetern? Schreibe die Zahl ohne Punkt.

Aufgabe 5Numerisch

Eine Figur hat den Flächeninhalt 40 cm². Eine ähnliche Figur hat den Flächeninhalt 90 cm². Wie groß ist der Streckfaktor $k$ von der ersten zur zweiten Figur?

Aufgabe 6Freitext

Ein Rechteck ist 4 cm mal 6 cm groß, ein anderes 6 cm mal 8 cm. Ein Schüler sagt: „Bei beiden Seiten kommen 2 cm dazu, also sind die Rechtecke ähnlich.“ Stimmt das? Begründe.